Matematik HTX maj 2011

naalakkersuisut.gl

Matematik HTX maj 2011

HTX

Matematik A

Onsdag den 11. maj 2011

Kl. 09.00 -14.00

GL111 - MAA - HTX

1


Prøvens varighed er 5 timer.

Alle hjælpemidler er tilladt.

Matematik A

Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse.

Side 1 af 7 sider

I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt

på, om eksaminandens tankegang klart fremgår, herunder om der i opgavebesvarelsen er:

– en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte

opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på

– en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen

– dokumentation af beregninger og anvendt fremgangsmåde ved hjælp af mellemregninger,

forklarende tekst og brug af it-værktøjer

– brug af figurer og illustrationer

– en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer

– en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart

sprog og med brug af sædvanlig matematisk notation.

3


0

Side 1 af 6

Side 2 af 7 sider

Opgave 1

På billedet ses en barnestol. Stolens sæde er vandret.

Stolen placeres i et koordinatsystem som vist på figur 1. Punkterne A og B har koordinaterne

A(55; 0; 0) og B(44; 10; 56). Alle mål er i cm.

a) Bestem parameterfremstillingen for linjen gennem punkterne A og B.

Punktet E ligger i højden z = 91.

Parameterfremstillingen for linjen gennem C, D og E er givet ved

! x$

! 0 $ ! 11$

# y&

= #

# &

50&

+ t· # '10&

# & # &

"

# z%

& " 0 % "

# 56%

&

4

Gengivet med tilladelse fra IKEA Figur 1

t (!

b) Vis, at punktet E har koordinaterne E(17,875; 33,75; 91).

Ryglænet ligger i den plan, der er udspændt af E og punkterne

F(20; 19; 56) og G(20; 31; 56), se figur 2.

c) Bestem ligningen for den plan som ryglænet er en del af.

d) Bestem den stumpe vinkel mellem sæde og ryglæn.

Figur 2


Opgave 2

Side 3 af 7 sider

Side 2 af 6

Ud fra klimadata for perioden 1961 – 1990 fra DMI kan dagtemperaturen i Sisimiut for et

kalenderår tilnærmelsesvis beskrives ved modellen

f (t) = 10,5!sin " # &

!t + 4,2

$

% 6 '

(

t )[0;12[

hvor t angives i måneder og f(t) er temperaturen i °C. t = 0 svarer til den 1. januar.

a) Tegn grafen for f.

b) Bestem amplituden for f, og gør rede for, hvad den fortæller om dagtemperaturerne i Sisimiut.

c) Bestem den periode af året, hvor modellen forudsiger, at der er frostfrit om dagen i Sisimiut.

Middeltemperaturen for en periode [a; b] kan beregnes som

T = 1

b

f (t)dt

b ! a "

a

d) Bestem middeltemperaturen i den frostfri periode.

5


Side

Side

3 af

4

6

af 7 sider

Opgave 3

Billedet viser facaden på Malik svømmehal i Nuuk.

Svømmehallen er tegnet af KHR arkitekterne.

Taget understøttes af 14 skrå stivere (figur 3).

Afstandene mellem stiverne er 6 m ved jorden.

Et tværsnit af taget indlægges i et koordinatsystem som vist på figur 3. En del af taget kan i

intervallet [0; 26] tilnærmelsesvis beskrives ved funktionen f. Denne del er markeret med rødt på

figuren. Alle mål er i meter.

Figur 3

Funktionen f er givet ved

6

f (x) = 1,55⋅10 −4 x 3 − 2,7 ⋅10 −2 x 2 + 0,78x + 4,4

a) Bestem højden, h, der er givet ved grafens skæring med y-aksen (figur 3).

b) Bestem længden af stiveren AB (figur 3).

c) Bestem vinklen, v, mellem taget og lodret (figur 3).

d) Bestem tagets maksimale højde.

Gengivet med tilladelse fra KHR arkitekterne


Opgave 4

Side 5 af 7 sider

Side 4 af 6

På billedet ses en lampeskærm. Lampeskærmen består af en ydre og en indre glasskål. Den ydre

skål har form som en kuglekalot. Målene fremgår af tværsnittet på figur 4.

a) Bestem overfladearealet af kuglekalotten.

b) Bestem radius i den kugle som den ydre skål er en del

af.

Et tværsnit gennem lampen indlægges i et

koordinatsystem som vist på figur 5.

Tværsnittet af den indre skål er vist med rødt.

Den øverste del af tværsnittet følger grafen for

funktionen, f, givet ved

4

f (x) = ax + b

Grafen for f går gennem punkterne A(-2,925; 1,5) og B.

c) Bestem konstanterne a og b.

Figur 5

Figur 4

7


Side 6 af 7 sider

Side 5 af 6

Opgave 5A

Funktionen f er givet ved

8

Af opgaverne 5A, 5B og 5C må kun 2 afleveres til bedømmelse.

f (x) = 3x3 + x ! 4

x 2 ! 2x + 1

a) Bestem definitionsmængden for f.

b) Bestem en ligning for hver af asymptoterne til grafen for f.

c) Bestem de værdier af x, hvor grafen for f har tangenthældningen 2.

Opgave 5B

Hvis mere end 2 opgaver afleveres, bedømmes kun

Udviklingen af vægten for en klumpfisk i fangenskab kan beskrives ved den logistiske

differentialligning

dM

dt

= M ! ( 0,15- 0,001M )

hvor M er vægten målt i kg, og t er tiden målt i måneder. Til t = 0 vejede klumpfisken 32 kg.

a) Bestem den løsning til differentialligningen, y = M(t), som opfylder ovenstående betingelse.

b) Bestem vægten efter 12 måneder.

besvarelsen af de første 2 opgaver.

c) Hvor tung forventes klumpfisken at blive?

Begrund dit svar.

Klumpfisken “Andrea”


Opgave 5C

Billedet viser et forstenet havdyr – en ammonit.

Indlægges ammonitten i et koordinatsystem som vist på

figur 6, følger den kurven givet ved vektorfunktionen

!

r(t) = e0,1!t !cos(t)

e 0,1!t " %

$ ' t ([)6,5; 18,5]

#

$ !sin(t) &

'

a) Bestem et udtryk for tangentvektoren ! r '(t) .

Side 7 af 7 sider

Side 6 af 6

Kurven er kendetegnet ved, at vinklen v mellem stedvektoren ! r(t) og tangentvektoren ! r '(t) er

den samme overalt. Vinklen er altså uafhængig af t.

b) Bestem vinklen v.

Længden af en kurve givet ved forskriften ! r(t) = x(t) ! $

# & , hvor t '[a;b], er givet ved formlen

" y(t) %

L = x'(t) 2 + y'(t) 2 b

!

dt

a

c) Bestem længden af kurven vist på figur 6.

Figur 6

9


12

Naqinneqarfia • Tryk: Inerisaavik

Kultureqarnermut, Ilinniartitaanermut, Ilisimatusarnermut, Ilageeqarnermullu Naalakkersuisoqarfik

Departementet for Kultur, Uddannelse, Forskning og Kirke

More magazines by this user
Similar magazines