Numerisk løsning af en integralligning fra en antennemodel

4.3 Produkt trapez metoden 29
Fra (4.24) defineres
samt
Vi foretager substitutionen
Dermed kan (4.25) skrives
i2 =
i1 =
xj
xj−1
xj
xj−1
1
dy (4.25)
a2 +(y − x) 2
y − x
d(y − x). (4.26)
a2 +(y − x) 2
t = y − x
dt
dy =1
dt = dy
Grænseskift :
a = xj−1 ⇔ g(a) =xj−1 − x
b = xj ⇔ g(b) =xj − x
i1 =
xj−x
xj−1−x
Udtrykket i (4.28) kan integreres vha. invers substitution
Dermed f˚as
i1 =
=
=
xj−x
xj−1−x
xj−x
xj−1−x
r sec 2 (θ)
r sec(θ) dθ
sec(θ) dθ
t = a tan(θ)
dt
dθ = a sec 2 (θ)
dt = a sec 2 (θ)dθ
ln sec(θ) + tan(θ)
t=xj−x t=xj−1−x
⎫
⎪⎬
⎪⎭
(4.27)
1
√ dt. (4.28)
a2 + t2 ⎫
⎬
⎭
t
!
a (4.29)
= ln
√ a2 + t2 +
a
t
a
t=xj−x t=xj−1−x
√
t + a2 + t2
= ln
a
t=xj−x t=xj−1−x
xj − x +
= ln
a2 +(xj − x) 2
xj−1 − x +
− ln
a
a2 +(xj−1 − x) 2
a
xj − x +
= ln
a2 +(xj − x) 2
xj−1 − x + a2 +(xj−1 − x) 2
. (4.30)
Anvendes substitutionen (4.27) p˚a integralet i2 fra ligning (4.26), f˚as
i2 =
xj−x
xj−1−x
t
√ dt (4.31)
a2 + t2