5. Statistik

Følgende fremstilling er baseret på
5. Statistik
Hayati Balo,AAMS
1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime
1. Ugrupperede Observationer
Hvis der foreligger et antal målinger eller observationer i form af tal, taler man
om ugrupperede observationer, hvis man ikke slår dem sammen i grupper.
Som eksempel tænker vi os, at man har bedt 200 familier om at opgøre, hvor
mange reklametryksager de har modtaget en bestemt week-end. Resultaterne kan
sammenfattes i en tabel som denne:
1

Antal tryksager Antal familier Antal familier kumuleret Antal familier i pct. Antal familier kumuleret i pct.
Observation - x Hyppighed - h(x) Kumuleret hyppighed - H(x) Frekvens i pct. f(x) Kumuleret frekvens F(x)
8 24 24 12% 12%
9 30 54 15% 27%
10 42 96 21% 48%
11 40 136 20% 68%
12 36 172 18% 86%
13 28 200 14% 100%
200
Der er altså 24 familier, der modtog 8 tryksager og disse 24 udgjorde 12% af
de 200 familier.
Kumuleret betyder opsummeret og den kumulerede frekvens angiver hvor mange
procent af talmaterialet der ligger under en given grænse. Fx. har 68% af fami-
lierne modtaget højst 11 tryksager og 86% har modtaget 12 eller derunder.
Stolpediagram og fraktiler
Frekvenserne kan anskueliggøres i et såkaldt stolpediagram som vist nedenunder.
I Geogebras regneark facilitet skal ma blot indtaste antal tryksager i den første
kolonne og hyppighederne i den anden kolonne. Dernæst skal man lave en list
af punkter så der fremkommer følgende stolpediagram som viser f.eks. 9 stk af
tryksagerne svarer til 15%.
2

Stolpedigrammer kan også laves ved at bruge antal tryksager x sammen med
kumulerede frekvenser F(x). Brug kommandoen StickGraph[List of points].
Ordet fraktil betyder brøkdel. Vi kan f.eks. være interesseret i at finde, under
3

hvilket antal tryksager 40% af familierne ligger.
Der er 27% af familierne, der har modtagert 9 eller færre tryksager og 48%
har modtaget 10 eller færre, så grænsen på 40 tryksager omfatter i hvert fald 40%
af familierne. Derfor siger man at 40 %-fraktilen er 10.
Vi forestiller os nu materialet stillet op i voksende rækkefølge:
8,8,8,....8,9,9,......9,10,10,...,10,11,11,...,11,12,12,...,12,13,13,...,13
Medianen er den midterste observation, hvis der er et ulige antal observationer
og gennemsnittet af de to midterste, hvis der er et lige antal. Medianen er et tal
med den egenskab, at halvdelen af materialet ligger under halvdelen over.
I dette tilfælde er der 200 observationer, så medianen er gennemsnittet af ob-
servation nr. 100 og nr. 101 dvs. den er
11 + 11
2
= 11
I GeoGebra kan man indsætte talmaterialet som en liste ved at skrive følgende
(se. evt geogebra filen “statistik_ugrupperet.ggb” ).
{8,8,...8,9,9,...9,10,10,....,10,11,11,......,11,12,12,....,12,13,13,....,13}
Og skrive følgende kommando til at beregne medianen.
Median[list1]
list1 er Geogebras navn til talmaterialet ovenover.
Den nederste halvdel af talmaterialet har også en median, som kaldes 1.kvartil.
Dette tal har altså den egenskab, at en fjerdedel af talmaterialet ligger under, tre
fjerdedel over.
4

På samme måde har den øverste halvdel af materialet en median, som kaldes
3.kvartil. Tre fjerdedele af materialet ligger under dette tal, en fjerdedel over.
I eksemplet ovenover, består talmaterialets nederste halvdel af 100 tal. 1. kvar-
til fås som gennemsnittet mellem tal nr. 50 og tal nr. 51, dvs. den er 9. GeoGebra’s
kommando til at finde 1.kvartil hedder Q1 og ses af GeoGebra filen.
På samme måde fås 3. kvartil som gennemsnittet af tal nr. 150 og tal nr. 151,
dvs. den er 12.
Kvartilsættet består af 1. kvartil, median og 3. kvartil, så det vises som
Kvartilsættet=(9,11,12)
Kvartilsættet kan sammen med mindsteværdien og størsteværdien (8 og 13)
illustreres på et såkaldt boxdiagram.
GeoGebra’s kommando BoxPlot[2,1,list1] bruges til at tegne boxdiagrammet.
Kassen i midten strækker sig fra 1. til 3. kvartil og er delt med en tværstreg ved
medianen. Linjerne i enderne strækker sig til mindsteværdien og størsteværdien.
Forskellen mellem største- og mindsteværdi kaldes variationsbredden,og den
er 13-8=5.
5

Middelværdi
Vi kan beregne middelværdien eller gennemsnittet ved at lægge observationerne
sammen og dividere med antallet. Det gennemsnitlige antal tryksager, som en
familie har modtaget bliver
µ =
8 · 24 + 9 · 30 + 10 · 42 + 11 · 40 + 12 · 36 + 13 · 28
200
= 10,59
Middelværdien kan også beregnes ved at bruge frekvenserne i stedet på føl-
gende måde:
µ = 8 · 0,12 + 9 · 0,15 + 10 · 0,21 + 11 · 0,20 + 12 · 0,18 + 13 · 0,14 = 10,59
Her har man brugt det græske bogstav µ(my) til at betegne middelværdien.
GeoGebra’s kommando til at finde middelværdien er:
Mean[list1]
Man kan sige, at middelværdien af tallene i materialet (8,9,10,11,12,13) fremkom-
mer som et såkaldt vejet gennemsnit. Tallet 8 har vægten 12%, tallet 9 har vægten
15% osv. og middelværdien på 10,59 fås netop ved at tallene bidrager til mid-
delværdien med deres vægte, dvs. med deres frekvenser.
Talmaterialets middelværdi omtales også som den matematiske forventning -
familien kan jo forvente at modtage ca. 10,59 tryksager i gennemsnit. Man bruger
også betegnelsen E(X), hvor X betegner observationerne(antal tryksager) og hvor
E står for expectation,så E(X) = 10,59.
I almindelighed er middelværdien ikke tilstrækkelig til at beskrive et talmate-
riale. I en prøve kan en klasses elever fx. alle opnå karakteren 7, mens en anden
klasses gennemgår prøven med det resultat at halvdelen får 00 og halvdelen 12.
6

Også denne klasse har et gennemsnit på 7 - men man må sige at de to klasser trods
ens gennemsnit er meget forskellige.
EKSEMPEL 1
To skoleklasser A-klassen og B-klassen med henholdsvis 13 og 11 elever, har
gennemgået en prøve, hvor der kan gives maksimalt 50 points. der blev givet
følgende pointtal:
A-klassen B-klassen
7 20
11 23
17 24
22 27
24 28
29 30
30 31
31 32
35 33
39 34
41 37
45
46
i alt 377 points ialt 319 points
Middelværdien for pointtallene i de to klasser er ens:
A − klassen : 377
13
7
= 29

B − klassen : 319
= 29
11
Man kan alså ikke vurdere klasserne baseret alene på middelværdierne!
Medianen er den midterste observation og ved optælling ser vi, at det midterste
tal i både a.klassen og B-klassen er 30. Altså er medianen for de to klasser:
A − klassen = 30
B − klassen = 30
Medianerne er heller ikke nok til at vurdere klasserene!
Derimod ligger pointtallene åbenbart mere spredt i B-klassen end i A-klassen.
Vi finder kvartilsættene i de to klasser for at finde et bedre vurderingsgrundlag.
For A-klassen er den nederste halvdel af talmaterialet
7,11,17,22,24,29
og medianen af dette talsæt er gennemsnittet af 17 og 22, dvs.
Øverste halvdel af materialet er
17 + 22
Dvs. 1. kvartil = = 19,5
2
31,35,39,41,45,46
39 + 41
3.kvartil = = 40
2
Kvartilsættet for A-klassen er = (19,5;30;40)
For B-klassen er nederste og øverste halvdel af materialet henholdsvis
8

1. kvartil er 24 og 3.kvartil er 33.
20,23,24,27,28
31,32,33,34,37
Kvartilsættet for B-klassen er = (24,30,33)
Og tallet i midten 30 er jo medianen så kvartilsættet skrives som (1. kvartil,
medianen,3.kvartil)
De to boxdiagrammer nedenunder illustrerer udmærket den meget forskellige
spredning af pointtallene i de to klasser.
Diagrammet er konstrueret af GeoGebra kommandoen:
BoxPlot[2,1,{7,11,17,22,24,29,30,31,35,39,41,45,46]
9

Og på tilsvarende måde:
BoxPlot[2,1,{20,23,24,27,28,30,31,32,33,34,37}]
Vi ser at A-klassen har en variationsbredde på 46-7=39 mens den for B-klassen
kun er 37-20=17
Varians og Spredning
Vi bruger nu antal tryksager og antal familier i starten af dokumentet og
indfører et mål for, hvor spredt observationerne ligger i forhold til middelværdien.
Man udregner det vejede gennemsnit - dvs. ganges med frekvenserne - af
kvadraterne på forskellene mellem middelværdien µ = 10.59 og observationerne,
og beregner summen af
0,12(8 − 10,59) 2 = 0,80
0,15(9 − 10,59) 2 = 0,38
0,21(10 − 10,59) 2 = 0,073
10

som giver: 2,46.
0,20(11 − 10,59) 2 = 0,034
0,18(12 − 10,59) 2 = 0,36
0,14(13 − 10,59) 2 = 0,81
Sum 2,46
Dette tal kaldes observationssættets varians og skrives som:
Var(X) = 2,46
Spredningen σ(X) defineres som kvadratroden af dette tal:
σ(X) = √ 2,46 = 1,57
Dette giver et mål for, hvor spredt søjlerne i stolpediagrammet står.
Spredningen -eller standartafvigelsen som også kaldes- for et talmateriale kan
ikke umiddelbart aflæses på en figur.
Man kan ved hjælp af GeoGebra beregne varians og spredning(standartafvigelsen)
på følgende måde:
SampleVarians[list1]
SD[list1]
11

Antal tryksager(x) frekvens - f(x) f(x)·(x-µ) 2
8 0,12 0,12(8-10,59) 2 = 0,80
9 0,15 0,15(9-10,59) 2 = 0,38
10 0,21 0,21(10-10,59) 2 = 0,073
11 0,20 0,20(11-10,59) 2 = 0,034
12 0,18 0,18(12-10,59) 2 = 0,36
13 0,14 0,14(13-10,59) 2 = 0,81
12
Var(x) = 2.46

2. Grupperede Observationer
Et eksempel på grupperede observation:
En virksomhed fremstiller reservedele til maskiner. Der produceres bl.a. små
metalaksler, hvis længde varierer mellem 10 og 20 mm. Man udtager 40 sådanne
aksler og måler deres længde. De 40 målinger sammensættes i en tabel, hvor
tallene er grupperet i intervaller:
Observationsinterval(mm) Intervalhyppighed(antal) Intervalfrekvens(%) Kumuleret intervalfrekvens(%)
x h(x) f(x) F(x)
]10;12] 4 10,0 10,0
]12;14] 7 17,5 27,5
]14;16] 15 37,5 65,0
]16;18] 8 20,0 85,0
]18;20] 6 15,0 100,0
Hver af de 40 målinger kaldes en observation. Observationsintervallerne er
de intervaller, man har valgt at dele målingerne i. Man har vedtaget, at højre
endepunkt er med i intervallet, venstre ikke.
terval.
Intervalhyppighederne angiver det antal målinger, der ligger i hvert interval.
Intervalfrekvenser er den procentdel af observationerne, der ligger i hvert in-
Vi ser desuden, at 27,5% af observationerne er på 14 mm. eller derunder.
13

Histogram
For at lette overblikket anskueliggør man de tal, der er samlet i en tabel som
ovenstående, i forskellige figurer. Et histogram ses på nedenstående figur.
For at tegne histogrammet i GeoGebra skal man først i regnearket indtæste
følgende værdier fra grupperede tabel og lave to lister en for hver kolonne.
Observationsinterval Interval frekvens (%)
x f(x)
10 10
12 17,5
14 37,5
16 20,0
18 15,0
20 -
14

Læg mærke til hvordan tabellen er konstrueret og som ses hyppigheds kolon-
nen mangler sidste tal. Sådan skal det være for at konstruere histogrammet vha.
kommandoen
Histogram[list1,list2]
På x-aksen er intervalendepunkterne afsat og over hvert interval er tegnet et
rektangel, hvis areal svarer til procentdelen af observationer i intervallet.
Sumkurve
De kumulerede intervalfrekvenser afbildes ved hjælp af en sumkurve. Vi kon-
struerer følgende tabel for at tegne sumkurve.
Observationsinterval Kumuleret intervalfrekvens(%)
x F(x)
10 0,0
12 10,0
14 27,5
16 65,0
18 85,0
20 100,0
Polyline[ list1] kommandoen i GeoGebra bruges til at forbinde de afsatte
punkter på sumkurven. Der skal laves et liste af punkter som hedder list1 i Ge-
oGebra inden. man kan også bruge kommandoen StickGraph[List of points ]
15

Ved hjælp af sumkurven - som kan konstrueres ved x og F(x) og polyline
between points - kan man besvare forskellige spørgsmål:
16

- Hvor mange procent af akslerne er højst 17 mm lange?
Dette kan aflæses direkte på figuren ovenover som funktionsværdien af 17,
altså 75 %.
- Hvor mange procent af akslerne er mindst 13 mm lange?
På figuren ses at 19% er 13 mm lange eller derunder, så 81% må være mindst
13 mm lange.
- Hvor mange procent af akslerne er mellem 15 og 19 mm lange?
På figuren ses, at 93% af akslerne er højst 19 mm lange og 46 % er højst 15
mm lange. Derfor er 93 % - 46 % = 47 % mellem 15
og 19 mm lange.
Fraktiler
Fraktiler defineres på samme måde som ved ugrupperede observationer. Således
er 40 %-fraktilen den grænse under hvilken 40 % af materialet ligger. På sumkur-
ven er det den værdi på x-aksen, der svarer til 40 % på y-aksen. 40 %-fraktilen
er 14,7 mm, så 40 % af materialet har en længde på 14,7 mm eller derunder.
Kvartilsættet er (13,7;15,2;17).
Middelværdi
Man finder middelværdien eller gennemsnittet af en række målinger ved at lægge
dem sammen og dividere med antallet. I dette tilfælde kender vi imidlertid ikke
hver enkelt aksels længde. Vi kan alligevel beregne et tal, som er tæt på det rigtige
gennemsnit.
17

Vi tillader os at gå ud fra, at de aksler, der er mellem 10 og 12 mm lange, er
jævn fordelt i intervallet ]10;12], så vi ikke begår nogen særlig fejl ved at tillægge
dem alle længden 11 mm. Akslerne bidrager altså med 4*11=44 mm til den sam-
lede længde.
De 7 aksler i intervallet ]12;14] tillægges alle en længde på 13 mm osv. Derfor
indfører vi middelværdien af materialet sådan:
Middelværdien beregnes ved at gange hvert intervalmidtpunkt med antallet af
observationer i intervallet,lægge sammen og dividere med det samlede antal
I dette tilfælde får vi:
Så middelværdien bliver
observationer.
4·11 + 7 · 13 + 15 · 15 + 8 · 17 + 6 · 19 = 610 mm
µ = 610
40
= 15,25 mm
Hvis intervalhyppighederne ikke oplyses, men kun intervalfrekvenserne, kan
vi bruge disse til beregning af middelværdien.
18

Observationsinterval Intervalhyppighed Intervalmidtpunkt Frekvens
x h(x) m f(x) m·f(x) m 2 E(X 2 ) =m 2 · f (x)
]10;12] 4 11 0,10 1,1 121 121 · 0,10 = 12,1
]12;14] 7 13 0,175 2,275 169 169 · 0,175 = 29,575
]14;16] 15 15 0,375 5,625 225 225 · 0,375 = 84,375
]16;18] 8 17 0,20 3,4 289 289 · 0,20 = 57,8
]18;20] 6 19 0,15 2,85 361 361 · 0,15 = 54,15
40 µ = E(X) = 15,25 E(X 2 ) = 238
µ = E(X) = 11 · 0,1 + 13 · 0,175 + 15 · 0,375 · 17 · 0,2 + 19 · 0,15 = 15,25
Varians og spredning
Varians og spredning er
Opgave
Var(X) = 238 − 15,25 2 = 5,4375
σ(X) = √ 5,4375 = 2,33
Der er registreret følgende fødselsvægte i gram for børn.
vægt 2800-3000 3000-3200 3200-3400 3400-3600 3600-3800 3800-4000 4000-4200 sum
antal 2 3 6 7 6 4 2 30
frekvens 0,067 0,100 0,200 0,233 0,200 0,133 0,067 1,000
kumuleret 0,067 0,167 0,367 0,600 0,80 0,933 1,000
19

a) Tegn en sumkurve
b) Bestem kvartilsættet og middelværdien
Løsning:
a) For at tegne sumkurve skal vi lave følgende tabel:
Interval Kumuleret frekvens
2800 0,0
3000 0,067
3200 0,167
3400 0,367
3600 0,600
3800 0,80
4000 0,933
4200 1,00
Vi indtaster disse to søjler i GeoGebras regneark og laver en liste af punkter
vha. “create list of points”. Bagefter forbindes punkterne vha. kommandoen
“PolyLine[list1]” eller kommandoen StickGraph[] bruges.
Kvartilsættet kan aflæses direkte ud fra figuren.
20

) Middelværdien beregnes
µ = E(X) = ∑(mi · fi)
hvor mi er intervalmidtpunkter og fi er frekvenserne
µ = (2900 · 0,067 + 3100 · 0,100 + 3300 · 0,2 + 3500 · 0,233 + 3700 · 0,2 + 3900 ·
0,133 + 4100 · 0,67) = 3513,2
21