Heltals-Aritmetik

Heltals-Aritmetik
Definition: Hvis a og b er heltal og der findes et heltal k så b = ka
da siges at a går op i b hvilket skrives a|b. Der siges ligeledes at a er
en divisor for b.
Simple egenskaber
Hvis a, b og c er heltal da gælder følgende :
• Hvis a|b og a|c da vil a|(b + c)
• Hvis a|b da vil a|b · c
• Hvis a|b og b|c da vil a|c
• Hvis a|b og a|c da vil a|sb + tc for alle heltal s og t.
1

Primtal
Definition: Et heltal p > 1 kaldes et primtal hvis de eneste tal der
går op i p er tallene ±1 og ±p. Et tal som ikke er et primtal kaldes
sammensat.
Aritmetikkens Fundamentalsætning: Ethvert positivt heltal
kan på entydig vis skrives som produkt af primtal.
sætning: Hvis n er et positivt sammensat heltal da findes en
divisor k for n så k ≤ √ n.
sætning (Euklid): Der findes uendelig mange primtal.
2

sætning (Divisions Algoritmen): Hvis a og d er heltal så d > 0
da findes entydige heltal q og r så 0 ≤ r < d således a = dq + r.
Vi skriver at q = a div d og r = a mod d.
Definition: Hvis a, b og m er heltal så m ≥ 1, da skrives at
a ≡ b(mod m) hvis m|a − b.
egenskaber
Hvis m er et positivt heltal, a ≡ b(mod m) og c ≡ d(mod m) da vil
• a + c ≡ b + d(mod m) og
• ac ≡ bd(mod m).
3

Definition: Hvis a og b er heltal som ikke begge er lig 0 da kaldes
det største heltal d så d|a og d|b den største fælles divisor af a og b.
d betegnes da som gcd(a, b).
Definition: To heltal a og b kaldes indbyrdes primske hvis
gcd(a, b) = 1.
Definition: Det mindste fælles multiplum af to heltal a og b er det
mindste positive heltal som både a og b er divisorer for. Det
mindste fælles multiplum for a og b betegnes lcm(a, b).
4

Euklids algoritme
Problem : Hvordan findes den største fælles divisor mellem to tal.
lemma: Hvis a = bq + r hvor a, b, q og r er heltal. Da er
gcd(a, b) = gcd(b, r).
Fra divisionsalgoritmen følger det at der for heltal a og b findes
følger af heltal r0, r1, . . .,rn og q1, q2, . . .,qn så r0 = a, r1 = b og
r0 = r1q1 + r2
r1 = r2q2 + r3
r2 = r3q3 + r4
.
rn−2 = rn−1q3 + rn
rn−1 = rnqn + 0.
5
0 ≤ r2 < r1
0 ≤ r3 < r2
0 ≤ r4 < r3
0 ≤ rn < rn−1

Det følger af lemmaet at
gcd(a, b) = gcd(r0, r1) = gcd(r1, r2) = · · ·
= gcd(rn−1, rn) = gcd(rn, 0) = rn.
1. procedure gcd(a,b : positive heltal)
2. x:= a
3. y:=b
4. while y = 0 do
5. r:= x mod y
6. x:=y
7. y:=r
8. return x
antal gennemløb af løkke : O(log(min(a,b)))
Det følger fra euklids algoritme at der for heltal a og b findes heltal
s og t så
gcd(a, b) = sa + tb.
6

Repræsentation af heltal
sætning: Lad b ≥ 2 være et heltal. Hvis n er et positivt heltal da
kan n entydigt repræsenteres ved a0, . . .,ak hvis der skal gælde at:
n = akb k + ak−1b k−1 + . . . + a1b 1 + a0
hvor k er et ikke-negativt heltal, a0, . . .,ak er ikke-negative heltal
mindre end b og ak = 0.
Bemærk: Ved b = 2 fås binær repræsentation.
Eksempel med b=2 : Tallet 488 kan her repræsenteres ved
1,1,1,1,0,1,0,0,0 (binært : 111101000) da
488 = 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 .
Eksempel med b=16 : Her kan 488 repræsenteres ved 1,14,8 da
488 = 16 2 + 14 · 16 + 8. (hexadecimal 1E8)
7

1. procedure base b rep(n : positivt heltal)
2. q:= n
3. k:=0
4. while q = 0 do
5. ak:= q mod b
6. q:=⌊ q
b ⌋
7. k:=k+1
8. return ak−1, ak−2, . . .,a0
8

Addition og multiplikation mellem binære tal
1. procedure add(an−1an−2 · · ·a0, bn−1bn−2 · · ·b0: binære heltal)
2. c:=0
3. for j := 0 to n-1 do
4. d:= ⌊ aj+bj+c
2 ⌋
5. sj:=aj + bj + c − 2d
6. c:=d
7. sn:=c
8. return sn, sn−1, . . .,s0
Tidskompleksitet : O(n)
9

1. procedure mult(an−1an−2 · · ·a0, bn−1 · · ·b0: binære heltal)
2. for j := 0 to n-1 do
3. if bj:=1 then cj := a shifted j pladser
4. else cj:=0
5. p:=0
6. for j := 0 to n-1 do
7. p := add(p,cj)
8. return p
Tidskompleksitet : O(n 2 )
10

Div og mod
1. procedure divogmod(a: heltal, d positivt heltal)
2. q := 0
3. r := |a|
4. while r ≥ d do
5. r:=r-d
6. q := q + 1
7. if a < 0 og r > 0 then
8. r := d − r
9. q := −(q + 1)
10. return q og r
Tidskompleksitet : O(q · log a) hvis q = a div d
11

modulær eksponering
1. procedure modeks(b : int, m : postiv int, ak−1ak−2 · · ·a1a0
binært tal)
2. x := 1
3. power := b mod m
4. for i:= 0 to k-1 do
5. if ai = 1 then x:= (x· power) mod m
6. power:=(power · power) mod m
7. return x (x = b n mod m hvor n er det binære tal
ak−1ak−2 · · ·a1a0)
Tidskompleksitet : O((log m) 2 log n)
12