Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

”system” eller lignende. Med ordene ”vel afgrænset” menes, at det nøje skal
være fastlagt, hvilke elementer der tilhører mængden. N˚ar vi beskriver en
mængde, dvs angiver dens elementer, skal det alts˚a af beskrivelsen helt klart
fremg˚a, hvilke elementer der er indeholdt i mængden, og hvilke der ikke er
det.
Eksempler p˚a mængder er en flok duer, samlingen af stater i USA, mængden
af alle primtal. Det er vigtigt at erkende, at en mængde kan være et
element i en anden mængde, for det fænomen vil optræde gang p˚a gang
under jeres matematikstudier. F.eks. er en linje en mængde af punkter; og
mængden af alle linjer i planen er s˚aledes en mængde, hvis elementer selv er
mængder.
Begrebet mængde er en s˚a primitiv begrebsdannelse, at vi ikke vil søge
at definere det ud fra andre begreber, men nøjes med den ovenfor givne
beskrivelse, hvor vi benyttede udtryk som ”samling”, ”objekt”, ”afgrænset”,
for at fremkalde den rigtige forestilling hos læseren.
Lad nu X betegne en mængde. At x betegner et element, der tilhører X,
skriver vi som følger: x ∈ X. Dette læses alts˚a som ”x tilhører X” eller ”x
er indeholdt i X”. At x betegner et element, der ikke tilhører X, skriver vi
som følger: x /∈ X.
Bemærkning 1.1. Det er en version af det græske bogstav epsilon, der indg˚ar
i udtrykket ”x ∈ X”. Den benyttes s˚a ofte til at betegne ”indeholdt i”, at de
fleste matematikere kun benytter den i denne mængdeteoretiske sammenhæng.
De benytter ɛ eller ε, n˚ar de i andre sammenhænge har brug for det
femte bogstav i det græske alfabet.
Er X og Y mængder, s˚a betegner X = Y , at X og Y best˚ar af de samme
elementer, alts˚a at x ∈ X ⇔ x ∈ Y .
Bemærkning 1.2. Vi benytter en pil ⇒ i betydningen ”medfører”, og en
dobbeltpil ⇔ i betydningen ”medfører og medføres af”.
En mængde X angives undertiden p˚a følgende m˚ade: X = {...}, hvor
man p˚a prikkernes plads tænker sig samtlige mængdens elementer anbragt.
Hvis mængden f.eks. best˚ar af tallene 1, 3, 5, 7 og 9, betegner vi den med
symbolet {1,3,5,7,9}. Da en mængde er karakteriseret alene ved de elementer,
den indeholder, betegner symbolerne {1,3,5,7,9} og {9,5,3,7,1} den
samme mængde. Dvs {1,3,5,7,9} = {9,5,3,7,1}, idet et lighedstegn mellem
betegnelserne for to mængder tilkendegiver, at de to mængder best˚ar af
de samme elementer.
Man anvender ogs˚a en skrivem˚ade af følgende art:
X = {x | ...}, (1.1)
hvor man p˚a prikkernes plads tænker sig angivet en egenskab, som x har,
hvis og kun hvis x betegner et element, der tilhører X. Det er klart, at der
for enhver mængde X gælder, at X = {x | x ∈ X}.
2