Hvad skal vi lave i dag? Ventetid på krone ved møntkast Ventetid på ...

data.imf.au.dk

Hvad skal vi lave i dag? Ventetid på krone ved møntkast Ventetid på ...

Hvad skal vi lave i dag?

Eksempler stokastiske variable.

Ventetid krone ved møntkast.

Antal plat ved n kast.

Antal radioaktive henfald.

Ventetiden en flyulykke.

Udtrækning af tal i et interval.

Hovedklasse 1: Diskrete stokastiske variable.

En heltallig sv er diskret.

Ventetid krone ved møntkast

BBB C BB C B C ...

Lad nu X betegne første kast hvor vi får krone.

Ovenfor observeres X = 3.

Hvad kan siges om sandsynligheden P(X = n) for

n = 1, 2,...?

Hændelsen {X = 1} indtræffer hvis vi ser krone

allerede i første kast.

Derfor er P(X = 1) = 1 − π.

– p. 1/26

– p. 3/26

Ventetid krone ved møntkast

Supplerende eksempel 5.1

En mønt kastes igen og igen. Kastene er uafhængige.

Sandsynligheden for plat er π, og plat betegnes med B.

Sandsynligheden for krone er dermed 1 − π, og krone

betegnes B C .

En streng som

BBB C BB C B C ...

angiver “plat i de to første kast, krone i tredje kast o.s.v”.

Ventetid krone ved møntkast

For n = 1, 2,... er

{X = n} = BB ...BBB C

hvor der højre side står B n − 1 gange.

Derfor er

P(X = n) = π n−1 (1 − π) for n = 1, 2,...

(Senere beregner vi sandsynligheden P(Xulige) for at X er

ulige. )

– p. 2/26

– p. 4/26


Antal plat ved møntkast

Supplerende Eksempel 5.2

En mønt kastes n gange. Kastene er uafhængige.

Sandsynligheden for plat er π, og plat betegnes med B.

Sandsynligheden for krone er dermed 1 − π, og krone

betegnes B C .

En streng som

BBB C ...B

angiver “plat i de to første kast, krone i tredje kast og ...

og plat i nte kast.

Eksempel:

Antal plat ved møntkast

{X = 1} = BB C B C ...B C

∪ B C BB C ...B C

∪ ...

∪ B C B C ...B C B

(Plat i første kast, resten krone; eller plat i 2. kast resten

krone eller ... eller plat i nte kast, resten krone)

Derfor er

P(X = 1) = n · π(1 − π) n−1

– p. 5/26

– p. 7/26

Antal plat ved møntkast

Lad X betegne antal plat der observeres.

Beregn sandsynligheden P(X = x) for x = 0, 1,... ,n.

Eksempel:

{X = 0} = B C B C ...B C

({X = 0} svarer til lutter krone).

Det vil sige

Generelt er

(x = 0, 1,... ,n).

Her er

P(X = 0) = (1 − π) n

Antal plat ved møntkast


n

P(X = x) =

x


n

=

x

π x (1 − π) n−x .

n!

x!(n − x)!

antal strenge af længde hvori der er x B’er og (n − x) B c ’er

– p. 6/26

– p. 8/26


Antal plat ved møntkast

Vi siger, at X er binomialfordelt med antalsparameter n og

sandsynlighedsparameter π og skriver

X ∼ b(n,π)

Antal radioaktive henfald

Men hvis π → 0 og n → ∞ en sådan måde at

nπ → λ > 0, så gælder


n

π

x

x (1 − π) n−x → e −λλx

x! .

Derfor benytter vi ofte modellen

P(X = x) = e −λλx

, x = 0, 1, 2,... .

x!

I dette tilfælde siges X at være Poissonfordelt med

parameter λ, og vi skriver X ∼ po(λ).

– p. 9/26

– p. 11/26

Antal radioaktive henfald

Supp. Eks. 5.3

Vi registrer antal radioaktive henfald X i løbet af T

tidsenheder.

Model for X?

Første model: X ∼ b(n,π). (Fordi vi har plat-krone

eksperiment for hver isotop: enten henfalder den eller også

gør den ikke).

Modellen duer ikke: n ukendt, π lille.

Glemsomme stokastiske variabel

Antag: Vi vil modellere en “glemsom” stokastisk variabel.

Eksempler:

Ventetiden at vand koger er ikke glemsom.

Ventetiden en flyulykke må formodes at være

glemsom: Selvom det er lang tid siden vi sidst har set

en flyulykke, så medfører dette ikke, at der større risiko

for flyulykke i den nærmeste fremtid.

– p. 10/26

– p. 12/26


Glemsomme stokastiske variabel

Matematisk: X er glemsom, hvis X er positiv og

Ækvivalent:

P(X > s + t|X > s) = P(X > t) s,t > 0

P(X > s + t) = P(X > s)P(X > t).

Hvilke stokastiske variable er glemsomme?

Hovedtyper af sv

Vi har mødt to typer af stokastiske variable:

Heltallige:

Ventetid krone

Antal plat (binomialfordelingen)

Antal radioaktive henfald (Poissonfordelingen)

“Kontinuerte” (P(X = x) = 0 for ethvert x):

Ventetid flyulykke (eksponentialfordelingen)

Heltallige stokastiske variable er de vigtigste eksempler

diskrete stokastiske variable, som defineres i det følgende.

– p. 13/26

– p. 15/26

Glemsomme stokastiske variabel

Antag X ∼ e(λ) (X er eksponentialfordelt med parameter λ).

Hermed menes

Da gælder at X er glemsom.

P(X > t) = e −λt , t > 0.

Har også det omvendte resultat:

X glemsom medfører X eksponentialfordelt!

Det vil sige, at hvis X glemsom, så findes λ med X ∼ e(λ).

Kapitel 6: λ er den inverse middelværdi.

Hovedtype 1: Diskrete sv

Definition 5.4 (IPT) En stokastisk variabel X siges at være

diskret, hvis der findes en tællelig mængde S således, at

P(X ∈ S) = 1.

Uhørt vigtigt:

Enhver mængde af hele tal er tællelig.

Det vil sige, at hvis X er heltallig, så er X diskret.

– p. 14/26

– p. 16/26


Hovedtype 1: Diskrete sv

Supp. Eksempel 5.7

Antal øjne ved terningekast er diskret med

S = {1,...,6}.

Sum af øjne ved kast med to terninger er diskret med

S = {2,...,12}.

“Første krone” er diskret med S = {1, 2,...}.

X ∼ b(n,π) (antal plat) er diskret med S = {0, 1,... ,n}.

X ∼ po(λ) er diskret med S = {0, 1,...}.

Eksponentialfordelingen er ikke diskret.

Eksempel anvendelse af notation

X ∼ b(n,π) medfører, at p er

og


⎪⎨ n

p(x) = x

⎪⎩

0 ellers.

π x (1 − π) n−x hvis x ∈ {0, 1, 2,... ,n}

supp p = {0, 1,... ,n}.

(Tænk supp p som smart notation for S fra tidligere.)

– p. 17/26

– p. 19/26

Hovedtype 1: Diskrete sv

(Definition 5.4 i IPT).

Notation

Lad X være en diskret sv. Vi definerer da

sandsynlighedsfunktionen for X ved

p(x) = P(X = x), x ∈ R.

Sandsynlighedsfunktionen betegnes også pX.

Mængden {x ∈ R | p(x) > 0} kaldes for støtten for p og

betegnes supp p.

Egenskaber ved p

Sætn. 5.4 (IPT) Lad X være ssfunktionen for diskret X.

Da gælder

i) p(x) ≥ 0 for alle x;

ii) Mængden {x | p(x) > 0} er tællelig;

iii)

x:p(x)>0

p(x) = 1.

Omvendt: Hvis p opfylder i)–iii), så findes diskret sv X så X

har ssfkt p.

– p. 18/26

– p. 20/26


Sætn. 5.4 (IPT) - fortsat.

Egenskaber ved p

Antag at X har ssfkt p. Da gælder for A ⊆ R

P(X ∈ A) =

x∈A∩supp p

p(x). (5.4)

Undertiden vil jeg kalde elementerne i A ∩ supp p for “de

gunstige værdier”.

Vi har da

Example 5.8

P(X > 0) = pX(1) + pX(2) + pX(3) = 0.7

hvor vi har benyttet Sætn. 5.4 med

A =]0, ∞[

A ∩ supp p = {1, 2, 3} (de “gunstige værdier”)

– p. 21/26

– p. 23/26

Example 5.8

Lad X være diskret med ssfkt.


⎪⎨

P(X = x) = pX(x) =

⎪⎩

0.1 hvis x = −2

0.2 hvis x = −1

0.2 hvis x = 1

0.4 hvis x = 2

0.1 hvis x = 3

0 ellers.

Kan evt. repræsentere p ved pindediagram (Jan forklarer

nærmere).

Bemærk at supp p = {−2, −1, 1, 2, 3}.

Første krone ved møntkast

Supp. Eks. 5.9

Lad X modellere første krone ved møntkast. Supp. Eks. 5.1

viser

P(X = x) = pX(x) =

hvor π er ss for plat.

D.v.s.


π x−1 (1 − π) hvis x ∈ {1, 2,...}

0 ellers,

supp pX = {1, 2,...}

– p. 22/26

– p. 24/26


Første krone ved møntkast

Ønske: Beregn P(X ulige ).

D.v.s. de “gunstige værdier” er 1, 3, 5,....

Heraf følger

P(X ulige ) = pX(1) + pX(3) + pX(5) + ...

mellemregninger næste slide

= 1

1 + π

– p. 25/26

Første krone ved møntkast

Mellemregninger:

P(X ulige ) = pX(1) + pX(3) + pX(5) + · · ·


= pX(2n + 1)

=

n=0


π 2n+1−1 (1 − π)

n=0

= (1 − π)


n=0

(π 2 ) n

1 1

= (1 − π) =

1 − π2 1 + π ,

– p. 26/26

More magazines by this user
Similar magazines