43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

) Vis ved hjælp af (*), at tæthedsfunktionen for X2 er
fX2(x2) = 2x2, for x2 ∈ [0, 1] .
c) Vis, at E X2 = 2/3 og at V ar X2 = 1/18.
Opgave 19 A er en hændelse med sandsynlighed p. X er en stokastisk variabel, defineret ved
1 hvis e ∈ A
X(e) =
−1 hvis e ∈ AC .
Tegn fordelingsfunktionen for X. Vis, at E X = 2p − 1 og at V ar X = 4p(1 − p).
Opgave 20 I mange hasardspil vædder man om, at en hændelse A indtræffer. Gevinsten ved
indsatsen 1 er
⎧
⎨ 1 − p
hvis e ∈ A
X(e) = p
⎩
−1 hvis e ∈ AC ,
hvor p = P (A). Vis, at E X = 0. Vis desuden, at V ar X = (1 − p)/p samt at variansen vokser,
n˚ar p aftager.
Opgave 21 En kontinuert stokastisk variabel X har tæthedsfunktionen
a) Find sandsynligheden for at X > 1/4.
b) Beregn middelværdi og varians af X.
fX(x) = 2(1 − x), hvis x ∈ ]0, 1[.
Opgave 22 Form˚alet med denne opgave er at illustrere vigtige begreber s˚asom middelværdi,
varians, kovarians, korrelation og uafhængighed i en situation, hvor de numeriske beregninger
forh˚abentlig ikke volder det store besvær.
I den nedenst˚aende tabel er angivet sandsynlighedsfunktionen for en diskret to-dimensional
stokastisk vektor (X1, X2). Desuden er angivet de marginale sandsynlighedsfunktioner for X1
og X2, for eksempel er P (X1 = 1) = 0.34 og P (X2 = 1) = 0.36.
X2 \X1 −1 0 1 P (X2 = ·)
1 0.11 0.10 0.15 0.36
0 0.14 0.12 0.14 0.40
−1 0.09 0.08 0.07 0.24
P (X1 = ·) 0.34 0.30 0.36
1) Check, at marginalfordelingernes sandsynlighedsfunktioner er beregnet korrekt.
5