06.08.2013 Views

Noter til Geometri - Aarhus Universitet

Noter til Geometri - Aarhus Universitet

Noter til Geometri - Aarhus Universitet

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

N o t e r t i l G e o m e t r i<br />

J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n<br />

J a n u a r 2 0 0 6<br />

I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g<br />

D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t<br />

A a r h u s U n i v e r s i t e t


Kompileret 8. marts 2006


Indhold<br />

Litteratur ii<br />

1 Metriske rum 1<br />

2 Fuldstændige metriske rum 7<br />

3 Eksistens- og entydighedssætningen for 1. ordens differentialligninger<br />

11<br />

4 Den globale eksistenssætning 17<br />

5 Topologiske rum 23<br />

6 Kompakte rum 33<br />

7 Den inverse funktions sætning 39<br />

8 Regulære flader i R 3 45<br />

8.1 Generelle konstruktioner af flader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />

8.2 Egenskaber ved flader og glatte afbildninger . . . . . . . . . . . . . . 50<br />

9 Opgaver A<br />

Appendices G<br />

A Greens sætning i planen I<br />

B Nogle begreber fra lineær algebra i 2 dimensioner M<br />

B.1 Vektorrum og lineære afbildninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M<br />

B.2 Indre produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O


Litteratur<br />

[dC] Manfred P. do Carmo. Differential Geometry of Curves and Surfaces.<br />

Prentice-Hall, 1976.<br />

[R] H.L.Royden. Real Analysis. Prentice-Hall, 1988.<br />

[D] Johan L. Dupont. Topologi. Matematisk Institut, <strong>Aarhus</strong> <strong>Universitet</strong>, 1989.<br />

[L] Niels Lauritzen. Algebra 1. Matematisk Institut, Århus <strong>Universitet</strong>, 2000.<br />

[BV] Marcel Bökstedt, Henrik Vosegaard. Notes on point set topology. Matematisk<br />

Institut, Århus <strong>Universitet</strong>, 2000.<br />

[KT] Klaus Thomsen. Introduktion <strong>til</strong> matematisk analyse. Matematisk Institut,<br />

Århus <strong>Universitet</strong>, 2000.<br />

[ETP] Ebbe Thue Poulsen, Funktioner af en og flere variable. Gads Forlag, København<br />

2002.<br />

ii


1 Metriske rum<br />

I det Euklidiske talrum R n har vi den sædvanlige norm<br />

og den her<strong>til</strong> hørende afstandsfunktion<br />

|x| = (x 2 1 + · · · + x2 n )1/2 , x = (x1, . . .,xn)<br />

d(x, y) = |x − y|. (1.1)<br />

For enhver delmængde X ⊆ R n giver restriktionen af d en afbildning<br />

med følgende egenskaber:<br />

d : X × X → R<br />

(M1) d(x, y) ≥ 0 og d(x, y) = 0 ⇔ x = y (tro)<br />

(M2) d(x, y) = d(y, x) (symmetri)<br />

(M3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (trekantsulighed)<br />

Definition 1.1. Et metrisk rum er et par (X, d) bestående af en mængde X og en<br />

afbildning d : X × X → R , som opfylder M1, M2 og M3.<br />

Afbildningen d i ovenstående definition kaldes afstandsfunktionen eller metrikken på<br />

X. Vi anvender ofte en geometrisk sprogbrug og kalder elementerne i X for punkter.<br />

Eksempel 1.2. Kugleoverfladen S 2 = {x ∈ R 3 | |x| = 1} er en delmængde af R 3<br />

og dermed et metrisk rum ved at bruge afstandsfunktionen i (1.1) på R 3 . Men der er<br />

en anden afstandsfunktion, som kan synes mere rimelig, nemlig buelængden af den<br />

korteste storcirkel, som forbinder de to punkter. Mere konkret har vi en bijektiv,<br />

aftagende afbildning<br />

cos : [0, π] → [−1, 1],<br />

med invers afbildning arccos, og vi definerer<br />

d : S 2 × S 2 → R, d(x, y) = arccos(〈x, y〉), (1.2)<br />

hvor 〈x, y〉 = x1y1 +x2y2 +x3y3 er det sædvanlige indre produkt i R 3 . Betingelserne<br />

M1 og M2 er lette, men M3 kræver en overvejelse.<br />

Lad x, y, z ∈ S 2 og sæt d(x, y) = a, d(y, z) = b, d(x, z) = c. Da cosinus er<br />

aftagende på intervallet [0, π], er det <strong>til</strong>strækkeligt at vise uligheden<br />

cos(a + b) ≤ cos(c) for a + b ≤ π . (1.3)<br />

Hvis a + b ≥ π, så er trekantsuligheden a + b ≥ c automatisk opfyldt, da c ≤ π.<br />

For at vise (1.3) indfører vi projektionerne ¯x, ¯z af x, z på planen {y} ⊥ ,<br />

¯x = x − 〈x, y〉y , ¯z = z − 〈z, y〉y.<br />

1


2 1. Metriske rum<br />

En let udregning giver<br />

|¯x| 2 = 〈¯x, ¯x〉 = 1 − 〈x, y〉 2 = 1 − cos 2 (a) = sin 2 (a)<br />

og <strong>til</strong>svarende |¯z| 2 = sin 2 (b). Da både a og b ligger i intervallet [0, π] er sin(a) og<br />

sin(b) ikke-negative, og<br />

Additionsformlen<br />

giver<br />

sin(a) = |¯x| , sin(b) = |¯z|<br />

cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)<br />

cos(a + b) = 〈x, y〉〈y, z〉 − |¯x| · |¯z|<br />

= 〈x, z〉 − 〈¯x, ¯z〉 − |¯x| · |¯z|<br />

≤ 〈x, z〉<br />

I sidste ulighed har vi anvendt Cauchy-Schwarz’ ulighed |〈¯x, ¯z〉| ≤ |¯x| · |¯z|.<br />

Definition 1.3. Et normeret vektorrum er et vektorrum V med en afbildning<br />

som opfylder:<br />

(i) N(v) ≥ 0 og N(v) = 0 ⇒ v = 0<br />

(ii) N(λv) = |λ| · N(v), λ ∈ R<br />

(iii) N(v + w) ≤ N(v) + N(w).<br />

N : V → R ,<br />

I mange vigtige <strong>til</strong>fælde kommer normen fra et indre produkt,<br />

〈·, ·〉 : V × V → R ,<br />

på vektorrummet V . Vi minder om, at et indre produkt opfylder følgende betingelser<br />

(i) 〈v, v〉 ≥ 0 og 〈v, v〉 = 0 ⇒ v = 0 (tro)<br />

(ii)<br />

〈v1 + v2, w〉 = 〈v1, w〉 + 〈v2, w〉, 〈λv, w〉 = λ〈v, w〉<br />

〈v, w1 + w2〉 = 〈v, w1〉 + 〈v, w2〉, 〈v, λw〉 = λ〈v, w〉<br />

(bilinearitet)<br />

(iii) 〈v, w〉 = 〈w, v〉 (symmetri)<br />

I et vektorrum med indre produkt (V, 〈·, ·〉) gælder Cauchy-Schwarz’ ulighed:<br />

|〈v, w〉| ≤ |v| · |w|, |v| = 〈v, v〉 1/2<br />

(1.4)


1. Metriske rum 3<br />

Beviset for (1.4), som skulle være kendt fra Mat 10, er som følger. Fra (i) og (ii) ser<br />

vi, at<br />

〈w, w〉t 2 + 2〈v, w〉t + 〈v, v〉 = 〈v + tw, v + tw〉 ≥ 0<br />

Funktionen At 2 +2Bt+C har minimum i punktet t = −B/A med værdien B 2 /A −<br />

2B 2 /A + C ≥ 0. Dette giver B 2 ≤ AC, som medfører (1.4).<br />

Et vektorrum med indre produkt bliver et normeret vektorrum med normen<br />

N(v) = 〈v, v〉 1/2 .<br />

Trekantsuligheden for N følger fra Cauchy-Schwarz’ ulighed.<br />

Et normeret vektorrum (V, N) er et metrisk rum med afstandsfunktionen<br />

dN : V × V → R , dN(v, w) = N(v − w)<br />

Eksempel 1.4. Den Euklidiske norm | · | på R n med <strong>til</strong>hørende afstandsfunktion d<br />

fra (1.1) kommer fra det sædvanlige indre produkt på R n ,<br />

Her er to andre normer på R n :<br />

〈x, y〉 = x · y = xiyi.<br />

|x|∞ = max{ |xi| | i = 1, . . ., n}<br />

|x|1 = |x1| + . . . + |xn| , x = (x1, . . .,xn).<br />

Eksempel 1.5. Lad K = [a, b] være et lukket interval på den reelle akse. Det<br />

uendeligt dimensionale vektorrum C(K, Rm ) af kontinuerte funktioner fra K ind i<br />

Rm har et indre produkt:<br />

<br />

〈〈f, g〉〉2 = f(t) · g(t) dt<br />

og en <strong>til</strong>hørende norm, som ofte kaldes L 2 -normen,<br />

K<br />

f2 = 〈〈f, f〉〉 1/2<br />

2 . (1.5)<br />

For vores senere anvendelser er det dog en anden norm, som vil blive brugt, nemlig<br />

den såkaldte supremumsnorm:<br />

f∞ = sup{ |f(t)| | t ∈ K}. (1.6)<br />

Vi minder om, at en følge {fn} i C(K, R m ) kaldes uniformt konvergent med grænseværdi<br />

f : K → R m , hvis<br />

og at f nødvendigvis bliver kontinuert.<br />

f − fn∞ → 0 for n → ∞


4 1. Metriske rum<br />

I et metrisk rum (X, d) indføres åbne og lukkede kugler:<br />

Bd(x, r) = {y ∈ X| d(x, y) < r}<br />

Bd(x, r) = {y ∈ X| d(x, y) ≤ r}<br />

(1.7)<br />

Som regel er afstandsfunktionen d underforstået og vi skriver blot B(x, r) og B(x, r).<br />

En afbildning f : X → Y mellem metriske rum er kontinuert i punktet x ∈ X,<br />

hvis den opfylder betingelsen<br />

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : dX(x, y) < δ ⇒ dY (f(y), f(x)) < ε. (1.8)<br />

Afbildningen er kontinuert, hvis den er kontinuert i alle sine punkter. Begrebet<br />

kontinuitet kan gives en bedre formulering ved at indføre begrebet åben mængde:<br />

Definition 1.6. En delmængde U ⊆ X af et metrisk rum kaldes åben, hvis der <strong>til</strong><br />

ethvert punkt x ∈ U findes en kugle B(x, ε) ⊆ U.<br />

Kuglen B(x, ε) ⊆ X er en åben mængde, og komplementet X − B(x, ε) er ligeledes<br />

åben. Dette følger umiddelbart fra trekantsuligheden.<br />

Sætning 1.7. En afbildning f : X → Y mellem metriske rum er kontinuert, hvis<br />

og kun hvis urbilledet f −1 (U) er åbent for enhver åben mængde U ⊆ Y .<br />

Bevis. Antag først, at f er kontinuert i alle sine punkter, og lad U ⊆ Y være åben.<br />

For x ∈ f −1 (U) vælges ε > 0, så B(f(x), ε) ⊆ U. Ifølge (1.8) findes δ > 0 med<br />

f(B(x, δ)) ⊆ B(f(x), ε) og dermed B(x, δ) ⊆ f −1 (U). Dette gælder for ethvert<br />

x ∈ f −1 (U), som derfor er åben.<br />

Antag modsat, at f −1 (U) er åben for enhver åben delmængde U af Y . Vi viser,<br />

at f er kontinuert i punktet x ∈ X. Lad ε > 0. Da B(f(x), ε) ⊆ Y er åben, er<br />

f −1 (B(f(x), ε)) ⊆ X åben, og da x ∈ f −1 (B(f(x), ε)) findes en kugle B(x, δ) ⊆<br />

f −1 (B(f(x), ε)). Dette er præcis betingelsen (1.8). <br />

Definition 1.8. En delmængde A ⊆ X af det metriske rum kaldes lukket, såfremt<br />

komplementet X − A er åbent.<br />

Vi bemærker, at Sætning 1.7 har følgende korollar.<br />

Sætning 1.9. En afbildning f : X → Y mellem metriske rum er kontinuert, hvis<br />

og kun hvis urbilledet f −1 (A) er lukket for enhver lukket mængde A ⊆ Y .<br />

Bevis. Der gælder for urbilleder, at<br />

Betingelserne<br />

f −1 (Y − A) = X − f −1 (A).<br />

f −1 (åben) = åben<br />

f −1 (lukket) = lukket<br />

er derfor ækvivalente.


1. Metriske rum 5<br />

Forskellige metrikker d og d ′ på den samme mængde X kan give anledning <strong>til</strong> det<br />

samme system af åbne mængder. Dette sker, hvis metrikkerne opfylder følgende<br />

betingelse:<br />

Til ethvert x ∈ X og ethvert ε > 0 findes δ > 0 og δ ′ > 0, således at<br />

Bd(x, δ) ⊆ Bd ′(x, ε) og Bd ′(x, δ′ ) ⊆ Bd(x, ε) (1.9)<br />

Vi kalder sådanne metrikker ækvivalente.<br />

Sætning 1.10. Ækvivalente metrikker giver samme system af åbne mængder.<br />

Bevis. Hvis U er åben m.h.t. d ′ og x ∈ U, så findes ε > 0, så Bd ′(x, ε) ⊆ U. Vælg<br />

δ > 0 med Bd(x, δ) ⊆ Bd ′(x, ε) ⊆ U. Dermed er U åben m.h.t. d. <br />

Eksempel 1.11. Metrikkerne på R n givet ved<br />

d1(x, y) =<br />

<br />

(xi − yi) 2<br />

1/2 d2(x, y) = max |xi − yi|<br />

d3(x, y) = |xi − yi|<br />

er alle ækvivalente. For n = 2 har vi følgende billede af enhedskuglerne m.h.t.<br />

de tre metrikker Den yderste kasse er Bd2(0, 1), den inderste kasse er Bd3(0, 1) og<br />

cirkelskiven er enhedskuglen hørende <strong>til</strong> d1.


2 Fuldstændige metriske rum<br />

I dette afsnit studerer vi konvergens af følger i metriske rum X = (X, d).<br />

Definition 2.1. En følge {xk} af punkter i X siges at konvergere mod x ∈ X, hvis<br />

der <strong>til</strong> ethvert ε > 0 findes et tal N ∈ N, således at xk ∈ B(x, ε) for k ≥ N.<br />

For to forskellige punkter x, y ∈ X giver trekantsuligheden, at B(x, ε)∩B(y, ε) =<br />

∅ når ε< 1<br />

2d(x, y). En konvergent følge {xk} kan derfor kun konvergere mod ét punkt<br />

x ∈ X. Dette kaldes grænseværdien for {xk}, og man skriver ofte xk → x for k → ∞.<br />

I §1 definerede vi begrebet lukket delmængde af et metrisk rum, Definition 1.8.<br />

Lukkede mængder kan også karakteriseres ved følgers grænseværdi på følgende vis:<br />

Lemma 2.2. En delmængde A af et metrisk rum X er lukket, hvis og kun hvis A<br />

opfylder følgende betingelse:<br />

Lad {xk} være en vilkårlig konvergent følge i X med grænseværdi x. Hvis<br />

xk ∈ A for k ∈ N, så vil x ∈ A.<br />

Bevis. Antag at X − A er åben, at xk ∈ A for alle k, og at xk → x for k → ∞. Vi<br />

skal vise, at x ∈ A. Antag modsætningsvis, at x ∈ X −A. Da X −A er åben, findes<br />

der et ε > 0, således at kuglen B(x, ε) ⊆ X − A. Da x er grænseværdien for {xk},<br />

må xk ∈ B(x, ε) for k <strong>til</strong>strækkeligt stor i modstrid med, at xk ∈ A for alle k. Vi<br />

slutter heraf, at x ∈ A.<br />

Lad os omvendt antage, at A ⊆ X er en delmængde, som opfylder betingelsen i<br />

lemmaet, og vælg et punkt x ∈ X − A. Vi skal finde et ε > 0, så B(x, ε) ⊆ X − A.<br />

Antag modsætningsvis, at dette ikke kan lade sig gøre. Så er<br />

<br />

B x, 1<br />

<br />

∩ A = ∅ for alle k.<br />

k<br />

Vælg et xk i denne mængde. Følgen {xk} af elementer i A konvergerer mod x. Thi<br />

for ethvert ε > 0 er 1<br />

1 < ε for k > . Dette er en modstrid. <br />

k ε<br />

Definition 2.3. En følge {xk} af punkter i X kaldes en Cauchy følge, såfremt der<br />

<strong>til</strong> ethvert ε > 0 findes et N ∈ N, således at d(xn, xm) < ε for n, m ≥ N.<br />

Det er let at se, at en konvergent følge er en Cauchy følge; men det omvendte behøver<br />

ikke at være <strong>til</strong>fældet.<br />

Definition 2.4. Et metrisk rum kaldes fuldstændigt, hvis enhver Cauchy følge er<br />

konvergent.<br />

Det er velkendt, at det Euklidiske talrum R n med den sædvanlige afstandsfunktion<br />

(1.1) er fuldstændigt. Vektorrummet C(K, R n ) af kontinuerte funktioner fra det<br />

lukkede interval K = [a, b] med L 2 -normen f2 fra Eksempel 1.5 er derimod ikke<br />

fuldstændigt.<br />

Hvis vi giver C(K, R n ) supremumsnormen og den <strong>til</strong>hørende afstandsfunktion<br />

d(f, g)∞ = f − g∞ = sup |f(t) − g(t)| t ∈ K <br />

(2.1)<br />

så gælder:<br />

7


8 2. Fuldstændige metriske rum<br />

Sætning 2.5. Det metriske rum C(K, R n ) med afstandsfunktionen i (2.1) er fuldstændigt.<br />

Bevis. Lad {fk} være en Cauchy følge i C(K, R n ). Til ε > 0 findes N ∈ N, så<br />

For et fast t ∈ K og n, m ≥ N er<br />

fn − fm∞ < ε for n, m ≥ N.<br />

|fn(t) − fm(t)| < fn − fm∞ < ε (2.2)<br />

så {fn(t)} er en Cauchy følge i R n og dermed konvergent. Vi kalder grænseværdien<br />

f(t),<br />

fk(t) → f(t) for k → ∞.<br />

Vi lader m → ∞ i (2.2). Det giver<br />

|fn(t) − f(t)| ≤ ε for n ≥ N, t ∈ K.<br />

Dette udtrykker, at funktionsfølgen {fn} konvergerer uniformt mod funktionen f.<br />

Fra teorien for funktioner af én variabel følger heraf, at grænsefunktionen f : K →<br />

R n er kontinuert, og vi ser fra den sidste ulighed, at<br />

fn − f∞ ≤ ε for n ≥ N.<br />

Dermed er følgen {fn} i C(K, R n ) konvergent med grænseværdi f. <br />

Lad X = (X, d) være et metrisk rum. En afbildning T : X → X kaldes en<br />

kontraktion, hvis der findes et tal 0 ≤ β < 1 så<br />

d(Tx, Ty) ≤ β d(x, y) (2.3)<br />

for alle x, y ∈ X. Et fikspunkt for T er et x ∈ X med Tx = x.<br />

Sætning 2.6 (Fikspunktssætningen). En kontraktion T på et fuldstændigt metrisk<br />

rum har præcist et fikspunkt.<br />

Bevis. Vi viser først eksistensen af et fikspunkt. Vælg et vilkårligt x0 ∈ X. Dette<br />

giver en følge {xn} i X ved at sætte x1 = Tx0, x2 = Tx1 osv., dvs. xn = T n (x0).<br />

Vi påstår, at {xn} er en Cauchy følge. For vilkårlige n, k ∈ N giver trekantsuligheden,<br />

at<br />

d(xn+k, xn) ≤ d(xn+k, xn+k−1) + d(xn+k−1, xn),<br />

og derfor induktivt, at<br />

k−1<br />

d(xn+k, xn) ≤<br />

Nu er xn+i = T n+i (x0), så (2.3) viser, at<br />

i=0<br />

d(xn+i+1, xn+i) ≤ β d(xn+i, xn+i−1).<br />

d(xn+i+1, xn+i). (2.4)


2. Fuldstændige metriske rum 9<br />

Induktivt får vi derfor uligheden<br />

Fra (2.4) ser vi, at<br />

d(xn+i+1, xn+i) ≤ β n+i d(x1, x0).<br />

d(xn+k, xn) ≤ (β n + β n+1 + . . . + β n+k−1 )d(x1, x0) = β n<br />

k 1 − β<br />

<br />

d(x1, x0).<br />

1 − β<br />

Højre side af denne ulighed konvergerer mod nul for n → ∞, så {xn} er en Cauchy<br />

følge i X. Da X er forudsat at være fuldstændigt, er følgen konvergent:<br />

xn → x for n → ∞.<br />

Det følger fra (2.3), at T er en kontinuert funktion og at d(Txn, Tx) → 0 for n → ∞,<br />

så<br />

Txn → Tx for n → ∞.<br />

Men Txn = xn+1, så følgen {Txn} har samme grænsepunkt som {xn}, dvs. Tx = x.<br />

Vi har hermed fundet et fikspunkt for T.<br />

Antag, at x og y begge er fikspunkter for T. Fra (2.3) ses, at<br />

d(x, y) = d(Tx, Ty) ≤ β d(x, y).<br />

Da β < 1 og d(x, y) ≥ 0, kan denne ulighed kun være opfyldt, når d(x, y) = 0, og<br />

dermed x = y. <br />

I næste paragraf skal vi anvende fikspunktssætningen på en lukket delmængde af<br />

C(K, R n ), og vi har brug for følgende:<br />

Lemma 2.7. Lad (X, d) være et fuldstændigt metrisk rum og A ⊆ X en lukket<br />

delmængde. Så er det metriske rum (A, d) fuldstændigt.<br />

Bevis. Lad {an} være en Cauchy følge af punkter i A. Da X er fuldstændigt har<br />

{an} en grænseværdi x ∈ X. Det følger fra Lemma 2.2, at x ∈ A. <br />

Bemærkning 2.8. Mange interessante metriske rum er ikke fuldstændige. Her er<br />

to vigtige eksempler på sådanne:<br />

(i) (Q, d) ; d(x, y) = |x − y|<br />

(ii) C(K, Rn ) ; d2(f, g) = f − g2, hvor .2 er normen hørende <strong>til</strong> det indre<br />

produkt 〈〈f, g〉〉 = <br />

f(t) · g(t) dt, hvor K som ovenfor er et lukket interval.<br />

K<br />

Vi afslutter denne paragraf med at formulere en sætning, som fortæller, at ethvert<br />

metrisk rum kan opfattes som delrum af et fuldstændigt metrisk rum.<br />

En delmængde T af et metrisk rum X kaldes tæt i X, hvis enhver åben mængde<br />

i X indeholder punkter fra T. Der gælder nu følgende generelle


10 2. Fuldstændige metriske rum<br />

Sætning 2.9. Lad (X, d) være et metrisk rum. Så findes et fuldstændigt metrisk<br />

rum ( X, d), og en afstandsbevarende afbildning i : X → X, således at i(X) er tæt i<br />

X. To sådanne fuldstændiggørelser er isometriske, dvs. der findes en afstandsbevarende<br />

bijektion mellem dem. <br />

I eksemplerne (i) og (ii) fra Bemærkning 2.8 har vi<br />

(Q, d) = R<br />

(C(K, R n ), d2) = L 2 (K, R n )<br />

hvor L 2 (K, R n ) er rummet af funktioner, hvis kvadrat er Lebesgue integrabel. Sætning<br />

2.9 findes bevist i [BV] (Se også Opgave 7.17 eller 10.16 i [R]). At L 2 (K, R n )<br />

er fuldstændigt er bevist i f.eks. [R].


3 Eksistens- og entydighedssætningen for<br />

1. ordens differentialligninger<br />

Lad U ⊆ R n være åben (m.h.t. den sædvanlige afstandsfunktion) og lad I = (a, b)<br />

være et åbent interval i R. Vi betragter en kontinuert funktion<br />

f : U × I → R n<br />

(3.1)<br />

I denne paragraf skal vi undersøge, i hvilket omfang der findes differentiable kurver<br />

x : I → U, så<br />

x ′ (t) = f(x(t), t); t ∈ I (3.2)<br />

Vi tænker på f som givet og ønsker at finde alle løsninger x, som opfylder ligningen<br />

(3.2). En sådan ligning kaldes en ordinær differentialligning (på engelsk Ordinary<br />

Differential Equation). Vi skal arbejde under følgende antagelse på f:<br />

Afbildningen f : U × I → Rn er kontinuert, de partielle afledede<br />

∂f<br />

(x, t) i = 1, . . .,n, eksisterer for alle (x, t) ∈ U × I og er<br />

∂xi<br />

kontinuerte på U × I.<br />

(3.3)<br />

Bemærk at der ikke gøres nogen antagelse om eksistensen af den afledede af f<br />

med hensyn <strong>til</strong> t. Hovedsætningen siger nu følgende:<br />

Hovedsætning 3.1. Lad U være en åben delmængde af R n , I ⊆ R et åbent interval<br />

og<br />

f : U × I → R n<br />

en funktion som opfylder antagelsen (3.3). Da har vi<br />

(i) (Lokal eksistens) Til x0 ∈ U og t0 ∈ I findes et åbent interval J ⊆ I, som<br />

indeholder t0, og en differentiabel kurve x : J → U med x(t0) = x0, og som<br />

løser (3.2).<br />

(ii) (Global entydighed) Hvis x1, x2 : I → U er løsninger <strong>til</strong> (3.2), og der findes et<br />

t0 med x1(t0) = x2(t0), så er x1 = x2.<br />

Beviset tager resten af denne paragraf. Først har vi brug for et lemma.<br />

Lemma 3.2. Lad D0 = B(x0, r) ⊆ U og I0 = [t0 − a, t0 + a] ⊆ I. Under antagelsen<br />

(3.3) findes der en konstant c, så<br />

|f(y, t) − f(x, t)| ≤ c|y − x| for x, y ∈ D0, t ∈ I0<br />

Bevis. Da D0 × I0 ⊆ Rn+1 er lukket og begrænset, har enhver af funktionerne<br />

∂fj<br />

∂xi (x, t) et maksimum og et minimum på D0 × I0, [KT] Sætning 2.11. Der findes<br />

derfor en konstant d ∈ R, så<br />

<br />

∂fj<br />

<br />

<br />

(x, t) <br />

∂xi<br />

≤ d; i, j = 1, . . .,n, (x, t) ∈ D0 × I0.<br />

11


12 3. Eksistens- og entydighedssætningen for 1. ordens differentialligninger<br />

For x, y ∈ D0 og t ∈ I0 har vi de differentiable funktioner på U,<br />

z ↦→ fj(z, t), j = 1, . . .,n.<br />

Vi påstår, at der findes et punkt z j<br />

t ∈ [x, y] på liniestykket, der forbinder x med y i<br />

D0, således at<br />

fj(y, t) − fj(x, t) = ∂fj<br />

(z<br />

∂xi<br />

j<br />

t,t)(yi − xi). (3.4)<br />

Dette ses på følgende måde. Liniestykket [x, y] er mængden<br />

[x, y] = {θx + (1 − θ)y | 0 ≤ θ ≤ 1}.<br />

Vi lader g t j være restriktionen af fj(−, t) <strong>til</strong> [x, y],<br />

g t j (θ) = fj(θx + (1 − θ)y, t), 0 ≤ θ ≤ 1<br />

Middelværdisætningen fortæller, at der findes et θt j ∈ (0, 1), så<br />

i<br />

g t j (1) − gt j (0) = ∂gt j<br />

∂θ (θt j ).<br />

Vi kan bruge kædereglen, [ETP] Sætning 9.14, <strong>til</strong> at udregne differentialkvotienten<br />

af den sammensatte funktion g t j (θ):<br />

∂gt j<br />

∂θ (θt j ) =<br />

n ∂fj<br />

(θ<br />

∂xi<br />

t jx + (1 − θt j )y, t)(xi − yi).<br />

i=1<br />

Sæt z t j = θ t jx + (1 − θ t j)y. Dette z t j opfylder nu (3.4), og dermed fås<br />

|fj(y, t) − fj(x, t)| ≤ d |yi − xi| ≤ √ nd|y − x|,<br />

hvor den sidste ulighed følger fra Cauchy-Schwarz’ ulighed:<br />

|yi − xi| = |〈y − x, 〉| ≤ |y − x| · | | = √ n|y − x|,<br />

hvor = (1, 1, . . ., 1). Det følger så, at<br />

|f(y, t) − f(x, t)| ≤ nd|y − x|. <br />

Bevis. (for Sætning 3.1)<br />

(i) Lokal eksistens: Vælg I0 og D0 som i Lemma 3.2. For et lukket og begrænset<br />

delinterval K af I0 som indeholder t0, definerer vi en afbildning<br />

T : C(K, D0) → C(K, R n ),


3. Eksistens- og entydighedssætningen for 1. ordens differentialligninger 13<br />

hvor Tx er funktionen<br />

Tx(t) = x0 +<br />

t<br />

t0<br />

f(x(s), s) ds, t ∈ K. (3.5)<br />

At Tx faktisk er en kontinuert funktion i t ses let, idet f er kontinuert. Vi vil først<br />

vise, at når længden ℓ(K) af K er lille, da vil T transformere C(K, D0) i sig selv.<br />

Lad S = sup{|f(x, t)| (x, t) ∈ D0 × I0}. Så gælder<br />

<br />

<br />

t <br />

|Tx(t) − x0| ≤ <br />

|f(x(s), s)| ds<br />

≤<br />

<br />

<br />

t <br />

<br />

S ds<br />

≤ Sℓ(K), t ∈ K.<br />

t0<br />

Det følger, at Tx(t) ∈ D0 for alle t ∈ K når ℓ(K) ≤ rS−1 . I det følgende antages<br />

dette. Vi betragter nu T som en operator på C(K, D0). For x, y ∈ C(K, D0) har vi,<br />

idet vi benytter supremumsnormen · ∞ på C(K, Rn ) fra (2.1), at<br />

<br />

<br />

t<br />

<br />

|Ty(t) − Tx(t)| = <br />

(f(y(s), s) − f(x(s), s)) ds<br />

<br />

(3.6)<br />

t0 <br />

<br />

t<br />

<br />

≤ <br />

|f(y(s), s) − f(x(s), s)| ds<br />

<br />

t0 <br />

<br />

t<br />

<br />

≤ <br />

c|y(s) − x(s)| ds<br />

<br />

t0 <br />

<br />

t <br />

≤ <br />

cy − x∞ ds<br />

<br />

Det følger, at<br />

t0<br />

t0<br />

= cy − x∞ · |t − t0| ≤ cℓ(K)y − x∞, ∀t ∈ K.<br />

Ty − Tx∞ ≤ cℓ(K)y − x∞. (3.7)<br />

Lad os rekapitulere situationen. Vi begyndte i Lemma 3.2 med at vælge D0 =<br />

B(x0, r) og et interval I0 ⊆ I som indeholder t0, og fandt en konstant c ≥ 0, således<br />

at uligheden i Lemma 3.2 er opfyldt. Ovenfor så vi, at hvis K ⊆ I0 er et delinterval,<br />

som indeholder t0, så giver T defineret i (3.5) en afbildning<br />

T : C(K, D0) → C(K, D0), (3.8)<br />

forudsat at længden ℓ(K) af intervallet K opfylder uligheden ℓ(K) ≤ rS−1 . Her er<br />

r radius i D0 og S er supremum af {|f(x, t) | (x, t) ∈ D0 × I0}. I (3.7) fandt vi at T<br />

er en kontraktion forudsat at cℓ(K) < 1.<br />

Vi vælger nu K så lille, at begge uligheder er opfyldt, dvs.<br />

<br />

1 r<br />

<br />

ℓ(K) < min , . (3.9)<br />

c S<br />

Vi ønsker at bruge fikspunktssætningen, Sætning 2.6, på afbildningen T i (3.8).<br />

Dette kræver, at C(K, D0) er fuldstændigt. Vi ved fra Sætning 2.5, at C(K, R n )<br />

er fuldstændigt, og ifølge Lemma 2.7 er det nok at vise, at C(K, D0) er en lukket


14 3. Eksistens- og entydighedssætningen for 1. ordens differentialligninger<br />

delmængde af C(K, R n ). Vi bruger Lemma 2.2 og antager at {xk} er en følge af<br />

elementer i C(K, D0), som konvergerer mod x ∈ C(K, R n ),<br />

x − xk∞ → 0 for k → ∞<br />

Da |x(t) − xk(t)| ≤ x − xk∞ for ethvert t ∈ K, ser vi, at<br />

xk(t) → x(t) for k → ∞<br />

Da xk(t) ∈ D0 og D0 ⊆ R n er lukket, følger at x(t) ∈ D0. Dette gælder for ethvert<br />

t ∈ K, så x ∈ C(K, D0) og C(K, D0) er lukket i C(K, R n ), og dermed fuldstændigt.<br />

En anvendelse af Sætning 2.6 fortæller, at der findes et x ∈ C(K, D0) med<br />

Tx = x. Ifølge (3.5) har vi derfor for dette x ligningen<br />

x(t) = x0 +<br />

t<br />

t0<br />

f(x(s), s) ds; t ∈ K. (3.10)<br />

Højre side i (3.10) er en stamfunktion <strong>til</strong> funktionen g(t) = f(x(t), t), så ved differentiation<br />

fås<br />

x ′ (t) = f(x(t), t). (3.11)<br />

Dermed er x(t) en løsning <strong>til</strong> differentialligningen defineret på intervallet K, og vi<br />

har bevist den lokale eksistenssætning.<br />

(ii) Global entydighed: Vi antager, at vi har givet to differentiable funktioner<br />

x1, x2 ∈ C(I, U), som begge løser differentialligningen:<br />

x ′ 1 (t) = f(x1(t), t)<br />

x ′ 2(t) = f(x2(t), t), t ∈ I.<br />

(3.12)<br />

Vi antager at x1(t0) = x2(t0) = x0, og skal vise, at x1(t) = x2(t) for alle t ∈ I. Først<br />

viser vi, at x1(t) og x2(t) stemmer overens i en omegn af t0 ∈ I.<br />

Vi vælger D0 og K som i beviset for eksistenssætningen, således at<br />

T : C(K, D0) → C(K, D0)<br />

er en kontraktion. Da x1(t0) = x2(t0) ∈ D0 og x1, x2 : K → U er kontinuerte, findes<br />

der et delinterval t0 ∈ K0 ⊆ K, så<br />

x1(K0) ⊆ D0, x2(K0) ⊆ D0,<br />

og dermed x1, x2 ∈ C(K0, D0). Fra (3.12) fås ved integration<br />

x1(t) = x0 +<br />

x2(t) = x0 +<br />

t<br />

t0<br />

t<br />

t0<br />

f(x1(s), s) ds<br />

f(x2(s), s) ds, t ∈ K0.


3. Eksistens- og entydighedssætningen for 1. ordens differentialligninger 15<br />

Dette betyder, at x1 og x2 begge er fikspunkter for<br />

T : C(K0, D0) → C(K0, D0).<br />

Entydighedsdelen af Sætning 2.6 fortæller, at x1(t) = x2(t) for t ∈ K0. Betragt nu<br />

mængden<br />

E+ = {t ∈ I | t > t0, x1|[t0,t] = x2|[t0,t]}.<br />

Da x1 og x2 stemmer overens på K0, er E+ = ∅. Lad t+ = sup E+. For ethvert<br />

t0 ≤ t < t+ er x1(t) = x2(t). Hvis t+ ligger i det åbne interval I = (a, b), så ville<br />

x1(t+) = x2(t+), da x1 og x2 er kontinuerte og x1(t) = x2(t) for t < t+. Men dette<br />

ville medføre at x1(t) = x2(t) i en omegn K+ af t+, i modstrid med definitionen af<br />

t+ = sup E+. Det følger, at t+ = b, det højre endepunkt af I. Helt <strong>til</strong>svarende kan<br />

vi indføre E− og vise, at t− = inf E− er venstre endepunkt af intervallet I. Dette<br />

viser entydighedsudsagnet. <br />

Hovedsætning 3.1 giver også oplysning om løsning af højere ordens differentialligninger.<br />

Som eksempel betragter vi 2. ordens ligninger, dvs. ligninger af formen<br />

hvor g er en kontinuert funktion<br />

x ′′<br />

(t) = g(x(t), X ′<br />

(t), t) (3.13)<br />

g : V × R n × I → R n<br />

og V ⊆ R n er åben. Vi vil antage at g opfylder (3.3) med U = V × R n ⊆ R 2n .<br />

Sætning 3.3. Til hvert (x0, y0) ∈ V × R n og t0 ∈ I findes et åbent delinterval<br />

t0 ∈ J ⊆ I og en to gange differential kurve x : J → V således at<br />

(i) x ′′<br />

(t) = g(x(t), x ′<br />

(t), t),<br />

(ii) x(t0) = x0 og x ′<br />

(t0) = y0<br />

Hvis x1, x2 : I → U opfylder (i) og (ii), så er x1 = x2.<br />

Bevis. Hvis x(t) opfylder (i) og (ii), så vil kurven x(t), y(t) ⊆ V × Rn , hvor y(t) =<br />

x ′<br />

(t), opfylde ligningerne<br />

x ′<br />

(t) = y(t)<br />

y ′<br />

(t) = g(x(t), y(t), t)<br />

(3.14)<br />

Hvis omvendt (x(t), y(t)) opfylder 3.14, så opfylder x(t) ligningen 3.13. Heraf ses at<br />

Sætning 3.3 følger fra Hovedsætning 3.1. <br />

Tilsvarende eksistens- og entydighedssætninger kan bevises for n’te ordens differentialligninger.


4 Den globale eksistenssætning<br />

I denne paragraf antager vi som hid<strong>til</strong> at I = (a, b) er et åbent interval, og at<br />

er kontinuert.<br />

f : R n × I → R n<br />

Definition 4.1 (Lipschitz betingelsen). Vi siger, at f opfylder den globale Lipschitz<br />

betingelse, hvis der for ethvert lukket og begrænset interval K ⊆ I findes en<br />

konstant cK ∈ R, således at<br />

for alle x, y ∈ R n og alle t ∈ K.<br />

|f(y, t) − f(x, t)| ≤ cK|y − x| (4.1)<br />

Sætning 4.2. Lad f opfylde den globale Lipschitz betingelse. Hvis K er et lukket<br />

og begrænset delinterval af I, t0 ∈ K og x0 ∈ Rn , så vil operatoren T : C(K, Rn ) →<br />

C(K, Rn ) givet ved<br />

Tx(t) = x0 +<br />

t<br />

have præcist ét fikspunkt i C(K, R n ).<br />

Bevis. Lad k ∈ N og x, y ∈ C(K, R n ). Vi vil vise<br />

t0<br />

f(x(s), s) ds, x ∈ C(K, R n ), t ∈ K<br />

T k y − T k x∞ ≤ ck ℓ k<br />

hvor ℓ er længden af K og c = cK fra (4.1). Faktisk viser vi, at<br />

k! y − x∞, (4.2)<br />

|T k y(t) − T k x(t)| ≤ ck |t − t0| k<br />

y − x∞, t ∈ K (4.3)<br />

k!<br />

hvorfra (4.2) følger umiddelbart.<br />

Vi bruger induktion over k. Tilfældet k = 0 er oplagt. Under antagelsen af, at<br />

uligheden er gyldig for k, finder vi at<br />

|T k+1 y(t) − T k+1 x(t)| = |T(T k y)(t) − T(T k x)(t)|<br />

<br />

t<br />

≤ <br />

(f(T<br />

t0<br />

k y(s), s) − f(T k <br />

<br />

x(s), s)) ds<br />

<br />

<br />

t<br />

≤ <br />

|f(T<br />

t0<br />

k y(s), s) − f(T k <br />

<br />

x(s), s)| ds<br />

<br />

<br />

t<br />

≤ c <br />

|T<br />

t0<br />

k y(s) − T k <br />

<br />

x(s)| ds<br />

<br />

<br />

t<br />

≤ c <br />

c<br />

<br />

k<br />

k! |s − t0| k <br />

<br />

y − x∞ ds<br />

<br />

t0<br />

= ck+1<br />

(k + 1)! |t − t0| k+1 y − x∞.<br />

17


18 4. Den globale eksistenssætning<br />

Dette afslutter beviset for (4.3). Da<br />

c<br />

lim<br />

k→∞<br />

kℓk k!<br />

= 0,<br />

er T k en kontraktion for <strong>til</strong>strækkelig stort k, og vi kan anvende Sætning 2.6. Lad<br />

x være det entydigt bestemte fixpunkt for T k . Så er x også et fixpunkt for T. Thi<br />

T k (Tx) = T(T k x) = Tx, så Tx er også et fixpunkt for T k . Da fixpunkter for T k er<br />

entydige, er Tx = x. Hvis omvendt x er et fixpunkt for T, så er x også et fixpunkt<br />

for T k og dermed entydigt bestemt. <br />

Sætning 4.3. Antag at f : R n × I → R n er kontinuert og <strong>til</strong>fredss<strong>til</strong>ler (4.1). For<br />

ethvert t0 ∈ I og x0 ∈ R n findes en og kun en differentiabel kurve x : I → R n ,<br />

således at<br />

x ′ (t) = f(x(t), t) og x(t0) = x0.<br />

Bevis. Lad x : I → R n være en differentiabel kurve med<br />

Så er<br />

x ′ (t) = f(x(t), t) og x(t0) = x0. (4.4)<br />

x(t) = x0 +<br />

t<br />

t0<br />

f(x(s), s) ds; t ∈ I.<br />

Betragt nu vektorrummet C(I, Rn ) af kontinuerte afbildninger fra I <strong>til</strong> Rn og operatoren<br />

T<br />

Tx(t) = x0 +<br />

t<br />

t0<br />

f(x(s), s) ds; t ∈ I. (4.5)<br />

Som vi har set, er der en 1−1 korrespondance mellem løsninger <strong>til</strong> ligningen (4.4) og<br />

fikspunkter for T. Det er derfor <strong>til</strong>strækkeligt at vise, at operatoren T på C(I, R n )<br />

har et og kun et fikspunkt.<br />

For ethvert lukket og begrænset delinterval K af I som indeholder t0, vil operatoren<br />

T inducere en operator på C(K, R n ), der ifølge Sætning 4.2 har præcist ét<br />

fikspunkt xK ∈ C(K, R n ). Hvis K og L, L ⊇ K, er sådanne lukkede og begrænsede<br />

delintervaller af I, vil xL(t) = xK(t) for alle t ∈ K p.g.a. entydigheden af fikspunktet.<br />

Det følger, at vi kan stykke xK’erne sammen <strong>til</strong> et x ∈ C(I, R n ), der vil være<br />

et fikspunkt for T. Lad omvendt x ∈ C(I, R n ) være et fikspunkt for T. For ethvert<br />

K som ovenfor vil der gælde at x(t) = xK(t) for t ∈ K, igen p.g.a. entydigheden af<br />

fikspunktet. Dette viser, at fikspunktet for T på hele I er entydigt bestemt. <br />

Vi betragter et simpelt eksempel på en anvendelse af Sætning 4.3. Lad Mn =<br />

Mn(R) være vektorrummet af reelle (n × n)-matricer. Vi giver Mn(R) normen, som<br />

hører <strong>til</strong> det indre produkt<br />

〈A, B〉 = tr(AB T ) =<br />

n<br />

i,j=1<br />

aijbij,


4. Den globale eksistenssætning 19<br />

dvs.<br />

<br />

<br />

|A| =<br />

i,j<br />

a 2 ij<br />

1/2<br />

.<br />

Lad A : I → Mn(R) være en kontinuert afbildning. Dette er ækvivalent med udsagnet,<br />

at hver indgang aij(t) er kontinuert. Vi betragter differentialligningen<br />

x ′ (t) = A(t) · x(t), x(t0) = x0 (4.6)<br />

hvor x : I → R n er en differentiabel kurve. Med notationen brugt ovenfor er f(x, t) =<br />

A(t)x. Vi viser at denne funktion opfylder (4.1).<br />

Lad K være et lukket og begrænset delinterval af I. Betragt nu funktionen<br />

g : R n × K → R givet ved<br />

g(x, t) = |A(t)x|<br />

for (x, t) ∈ R n × K. Da g er en sammensætning af kontinuerte funktioner, er g<br />

kontinuert. Men så er g begrænset på den lukkede og begrænsede mængde:<br />

(x, t) ∈ R n × K |x| = 1 .<br />

Altså lad cK ∈ R, således at g(x, t) ≤ cK for t ∈ K og |x| = 1. Lad nu x, y ∈ Rn være vilkårlige, således at x = y og t ∈ K. Vi ser da, at g y−x<br />

|x−y| , t ≤ cK, hvilket er<br />

ækvivalent med, at<br />

|f(y, t) − f(x, t)| ≤ cK|y − x|,<br />

som netop er (4.1).<br />

Korollar 4.4. Lad I være et åbent interval og A : I → Mn(R) en kontinuert<br />

afbildning. For t0 ∈ I og x0 ∈ R n findes der en entydig bestemt differentiabel kurve<br />

x : I → R n som er løsning <strong>til</strong> (4.6). <br />

Bemærkning 4.5. I både §3 og §4 har vi antaget, at funktionen<br />

f : U × I → R n<br />

er kontinuert, og vi har fundet differentiable løsninger x(t) <strong>til</strong> differentialligningen<br />

x ′ (t) = f(x(t), t).<br />

Hvis vi antager, at f er uendelig ofte differentiabel, så bliver løsningerne x(t) også<br />

uendelig ofte differentiable. Dette følger induktivt fra selve differentialligningen.<br />

Som anvendelse kan vi nu endelig vise eksistensdelen i følgende:<br />

Sætning 4.6 (Kurveteoriens Hovedsætning). Givet glatte funktion k(s) > 0<br />

og τ(s), s ∈ I = (a, b) så findes en kurve α : I → R 3 parametriseret ved kurvelængde<br />

s, så k(s) er krumningen og τ(s) er torsionen af α. Yderligere er α éntydigt<br />

bestem på nær en flytning.


20 4. Den globale eksistenssætning<br />

Bevis. Frenets ligninger<br />

dt<br />

= kn<br />

ds<br />

dn<br />

= −kt − τn<br />

ds<br />

db<br />

= τn<br />

ds<br />

(4.7)<br />

skrives ud med de variable t = (t1, t2, t3), n = (n1, n2, n3), b = (b1, b2, b3) så R 9 er<br />

givet de variable (t1, t2, t3, n1, . . .,b3). Så lad f : I × R 9 → R 9 være funktionen<br />

<br />

t1 <br />

f s, . =<br />

b3<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎜−k<br />

⎜<br />

⎝<br />

0<br />

−k<br />

0<br />

−k<br />

k<br />

τ<br />

k<br />

0<br />

τ<br />

k<br />

τ<br />

−τ<br />

0<br />

−τ<br />

0<br />

−τ<br />

⎞ ⎛<br />

t1<br />

⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟ ⎜ . ⎟<br />

⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟ ⎜ ⎟<br />

⎟ ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ . ⎠<br />

Så Korollaret giver en éntydig løsning <strong>til</strong> (4.7) t(s), n(s), b(s) med t(s0), n(s0),<br />

b(s0) = 1 00<br />

<br />

,<br />

010<br />

<br />

,<br />

001<br />

<br />

, for givet s0 ∈ I.<br />

Derefter løses α ′ (s) = t(s) med α(s0) = p ∈ R 3 .<br />

Påstand.<br />

(1) α er parametriseret ved kurvelængde.<br />

(2) Krumning = k(s).<br />

(3) Torsion = τ(s).<br />

Første vises at t(s), n(s), b(s) er en ortonormal basis for hvert s. Her<strong>til</strong> betragtes<br />

de 6 funktioner<br />

som løsninger <strong>til</strong> ligningssystemet<br />

〈t, n〉, 〈t, b〉, 〈n, b〉, 〈t, t〉, 〈n, n〉, 〈b, b〉<br />

d<br />

〈t, n〉 = k〈n, n〉 − k〈t, t〉 − τ〈t, b〉,<br />

ds<br />

d<br />

〈t, b〉 = k〈t, b〉 + τ〈t, n〉,<br />

ds<br />

d<br />

〈n, b〉 = −k〈t, b〉 − τ〈b, b〉 + τ〈n, n〉,<br />

ds<br />

b3<br />


4. Den globale eksistenssætning 21<br />

Men dette har de konstante løsninger<br />

d<br />

〈t, t〉 = 2k〈t, n〉,<br />

ds<br />

d<br />

〈n, n〉 = −2k〈n, t〉 − 2τ〈n, b〉,<br />

ds<br />

d<br />

〈b, b〉 = 2τ〈b, n〉.<br />

ds<br />

0, 0, 0, 1, 1, 1<br />

så da dette er <strong>til</strong>fældet i s0 fås at t(s), n(s), b(s) er en ortonormal basis for ethvert<br />

s ∈ I. Specielt er |α ′ (s)| = |t(s)| = 1 så (1) er opfyldt. Da<br />

|α ′′ (s)| = |t ′ (s)| = |k(s)n(s)| = k(s) <br />

gælder (2). Endelig er b(s) = ±binormalvektoren; men da det t(s), n(s), b(s) = ±1<br />

er kontinuert og = +1 i s0, er b(s) binormalen så b ′ (s) = τ(s)n(s) giver at τ(s) er<br />

torsionen.


5 Topologiske rum<br />

Et topologisk rum er den mest generelle matematiske struktur, hvor begreberne<br />

omegn og kontinuitet har en mening. Det kan sammenlignes med de mest generelle<br />

matematiske strukturer, hvori man regner. Her er strukturerne gruppe, ring og<br />

vektorrum velkendte.<br />

Inden vi giver definitionen, er det praktisk at samle en række mængdeteoretiske<br />

udsagn, som det overlades <strong>til</strong> læseren at bevise.<br />

For en mængde X lader vi P(X) betegne familien af alle delmængder af X<br />

inklusiv ∅ og X selv. En afbildning f : X → Y giver anledning <strong>til</strong> en afbildning<br />

hvor for V ∈ P(X)<br />

f −1 : P(Y ) → P(X) (“urbilledet”)<br />

f −1 (V ) = {x ∈ X | f(x) ∈ V } (5.1)<br />

For delmængder Aα ∈ P(X), α ∈ I har vi deres foreningsmængde ∪Aα ∈ P(X)<br />

af elementer i X, som er indeholdt i mindst ét Aα, deres fællesmængde ∩Aα af<br />

elementer i X, som <strong>til</strong>hører alle Aα. Endelig har vi differensmængden (eller komplementærmængden)<br />

X − A af elementer i X, som ikke ligger i A. Der gælder<br />

X − <br />

Aα = <br />

(X − Aα), X − <br />

Aα = <br />

(X − Aα). (5.2)<br />

α∈I<br />

α∈I<br />

α∈I<br />

Urbilledafbildningen fra (5.1) har følgende egenskaber:<br />

f −1<br />

<br />

<br />

<br />

= <br />

f −1 (Bα)<br />

α∈I<br />

f −1<br />

<br />

<br />

Bα<br />

Bα<br />

α∈I<br />

α∈I α∈I<br />

f −1 (Y − B) = X − f −1 (B).<br />

α∈I<br />

<br />

= <br />

f −1 (Bα) (5.3)<br />

Definition 5.1. En topologi på en mængde X består af en familie T af delmængder<br />

af X, T ⊆ P(X), som opfylder<br />

(T1) Uα ∈ T , α ∈ I ⇒ <br />

α∈I Uα ∈ T<br />

(T2) U1, U2 ∈ T ⇒ U1 ∩ U2 ∈ T<br />

(T3) ∅ ∈ T , X ∈ T .<br />

Vi bemærker, at (X, T ) ikke nødvendigvis er en mængdealgebra som kendt fra statistik<br />

og sandsynlighedsregning, da U ∈ T ikke medfører at komplementær mængden<br />

X − U ∈ T .<br />

En mængde X med en topologi T ⊆ P(X) kaldes et topologisk rum. Delmængderne<br />

U fra T kaldes de åbne mængder, og vi siger at en delmængde C ⊆ X er<br />

lukket såfremt differensmængden X − C er åben.<br />

23


24 5. Topologiske rum<br />

Ethvert metrisk rum (X, d) er også et topologisk rum, nemlig ved at sætte T =<br />

Td, hvor Td er familien af åbne mængder som defineret i Definition 1.6. Vi kalder Td<br />

den inducerede topologi på X (opgave 5.1).<br />

To metrikker d1 og d2 på samme mængde X kan godt føre <strong>til</strong> samme inducerede<br />

topologi, dvs. Td1 = Td2. Dette sker ifølge Sætning 1.10, hvis d1 og d2 er ækvivalente.<br />

I Eksempel 1.11 indførte vi tre forskellige metrikker på R n . Disse er alle ækvivalente<br />

(Opgave 5.2), så Td1 = Td2 = Td3. Dette kaldes den Euklidiske topologi på<br />

R n .<br />

Som vi har set giver ethvert metrisk rum et induceret topologisk rum, og man<br />

kan spørge om ethvert topologisk rum fremkommer på denne måde. Dette er ikke<br />

<strong>til</strong>fældet – topologiske rum er et mere generelt begreb end metriske rum (opgave<br />

5.3).<br />

Definition 5.2. (i) Lad x ∈ X være et punkt i et topologisk rum (X, T ). En omegn<br />

N af x er en delmængde af X som indeholder x, og med den egenskab at der findes<br />

U ∈ T , så x ∈ U ⊆ N.<br />

(ii) En åben omegn af x er en mængde U ∈ T som indeholder x.<br />

Ifølge Definition 1.6 vil Bd(x, ε) ∈ Td, dvs. de er åbne mængder i den inducerede<br />

topologi, så de er åbne omegne af x; Bd(x, ε) er også en omegn af x i (X, Td).<br />

Definition 5.3. En følge af punkter {xk}k∈N i et topologisk rum X kaldes konvergent<br />

med grænsepunkt x ∈ X, hvis der for enhver omegn N af x findes et K, så<br />

xk ∈ N for alle k > K.<br />

Det skal bemærkes, at punktfølger dog ikke spiller den samme centrale rolle i<br />

topologiske rum som de gør i R n .<br />

Definition 5.4. Lad A være en delmængde af det topologiske rum X = (X, T ).<br />

(i) Et punkt a ∈ A kaldes et indre punkt i A, hvis A er en omegn af a. Mængden<br />

af indre punkter i A betegnes int(A) eller ◦<br />

A.<br />

(ii) Randen ∂A af A er mængden<br />

∂A = X − (int(A) ∪ int(X − A))<br />

(iii) Afslutningen af A er mængden A = ∂A ∪ int(A)<br />

Lemma 5.5. Det indre int(A) er altid en åben mængde, og det er den største åbne<br />

delmængde af X, som er indeholdt i A.<br />

Bevis. Lad U ⊆ A, og antag U er en åben delmængde af X. En åben delmængde er<br />

en (åben) omegn af ethvert af sine punkter, så U består af indre punkter i A, dvs<br />

U ⊆ int(A). På den anden side, hvis a ∈ int(A), så findes en åben omegn Ua ⊆ A af<br />

a. Da Ua ⊆ int(A) ifølge ovenstående, og derfor<br />

int(A) = <br />

Ua,<br />

a∈int(A)<br />

så er int(A) åben ifølge T1.


5. Topologiske rum 25<br />

Lemma 5.6. Afslutningen A er altid lukket i X, og det er den mindste lukkede<br />

delmængde, som indeholder A.<br />

Bevis. Fra definitionen af ∂A ser vi, at X er den disjunkte forening.<br />

X = int(A) ⊔ ∂A ⊔ int(X − A). (5.4)<br />

Da A ∩ int(X − A) ⊆ A ∩ (X − A) = ∅, er A ⊆ int(A) ⊔ ∂A = A, og da X −<br />

A = int(X − A) er åben ifølge Lemma 5.5, er A lukket. Hvis C ⊇ A er lukket, er<br />

X − C ⊆ X − A. Da X − C er åben giver Lemma 5.5, at X − C ⊆ int(X − A). Fra<br />

(5.4) følger, at C = X − (X − C) ⊇ int(A) ∪ ∂A = A. Dermed er A den mindste<br />

lukkede delmængde af X, som indeholder A. <br />

I R n er kuglen B n (x, r) = {y ∈ R n |y − x| ≤ r} lukket, og int(B n (x, r)) = B n (x, r).<br />

Omvendt er afslutningen af B n (x, r) netop B n (x, r) (opgave 5.5).<br />

Definition 5.7. En afbildning f : X → Y mellem topologiske rum kaldes kontinuert,<br />

hvis f −1 (V ) er åben i X for enhver åben mængde V i Y .<br />

Vi bemærker, at denne definition straks giver at en sammensætning af kontinuerte<br />

afbildninger er kontinuert: hvis f : X → Y og g : Y → Z er kontinuerte afbildninger<br />

mellem topologiske rum, så er g ◦ f : X → Z også kontinuert.<br />

Antag at X = (X, d) og Y = (Y, d) er metriske rum. Lad TX og TY være<br />

familierne af åbne mængder fra Definition 1.6. Disse gør X og Y <strong>til</strong> topologiske<br />

rum, og f : (X, TX) → (Y, TY ) er kontinuert hvis og kun hvis den er kontinuert som<br />

afbildning af metriske rum, se Sætning 1.7.<br />

Lemma 5.8. En afbildning f : X → Y mellem topologiske rum er kontinuert hvis<br />

og kun hvis f −1 (C) er lukket i X for enhver lukket mængde C i Y .<br />

Bevis. Hvis f er kontinuert og C ⊆ Y er lukket, så er X − f −1 (C) = f −1 (Y − C)<br />

åben, og dermed f −1 (C) lukket. Omvendt, hvis f −1 (C) er lukket for C ⊆ Y lukket,<br />

så er f kontinuert. Thi for V ⊆ Y åben, er Y −V lukket, og f −1 (Y −V ) = X−f −1 (V )<br />

er lukket. Derfor er f −1 (V ) åben. <br />

Der er normalt mange topologier på en given mængde X. Hvis T1 ⊂ T2, så kaldes<br />

T2 finere end T1 og T1 grovere end T2. Den groveste topologi er T = {∅, X}, som også<br />

kaldes den trivielle topologi. Den fineste topologi er T = P(X), som også kaldes<br />

den diskrete topologi.<br />

I et diskret topologisk rum er alle mængder både åbne og lukkede, men normalt<br />

er der delmængder A ⊆ X, som hverken er åbne eller lukkede.<br />

En afbildning f : X → Y har lettere ved at være kontinuert, jo finere topologien<br />

på X er, og jo grovere topologien på Y er.<br />

Lad Y = (Y, TY ) være et topologisk rum og f : X → Y en afbildning af mængder.<br />

Vi definerer<br />

TX = {f −1 (V ) | V ∈ TY }. (5.5)


26 5. Topologiske rum<br />

Det følger fra (5.3), at TX er en topologi. Det er den groveste topologi, hvori f bliver<br />

kontinuert. Omvendt, hvis X = (X, TX) er et topologisk rum, og f : X → Y er en<br />

afbildning ind i en mængde Y . Så defineres<br />

TY = {V ∈ P(Y ) | f −1 (V ) ∈ TX}, (5.6)<br />

og TY er en topologi, nemlig den fineste, hvori f er kontinuert (opgave 5.6). Der er<br />

et par særligt vigtige special<strong>til</strong>fælde af (5.5) og (5.6), nemlig:<br />

Definition 5.9. Lad Y = (Y, TY ) være et topologisk rum og A ⊆ Y en delmængde.<br />

Så kaldes<br />

TA = {V ∩ A | V ∈ TY }<br />

for sportopologien, den inducerede topologi eller underrumstopologien på A.<br />

Lemma 5.10. Lad Y = (Y, T ) være et topologisk rum og A ⊆ Y en delmængde<br />

som vi giver sportopologien. Lad (Z, f) være et par bestående af et topologisk rum<br />

Z og en afbildning f : Z → A. Så er f kontinuert hvis og kun hvis i ◦ f : Z → Y er<br />

kontinuert.<br />

Den universelle egenskab beskrevet i Lemma 5.10 kan illustreres i diagrammet<br />

Z f<br />

i◦f<br />

A<br />

Y<br />

i<br />

(5.7)<br />

f er kontinuert ⇐⇒ i ◦ f kontinuert, forudsat at A har sportopologien fra Y , og i<br />

er inklusionsafbildningen.<br />

Bevis (Bevis for Lemma 5.10). Inklusionsafbildningen i er kontinuert, da i −1 (U) =<br />

A ∩ U. Sammensætning af kontinuerte afbildninger er kontinuert, så hvis f er kontinuert<br />

er i ◦ f kontinuert. Antag omvendt at i ◦ f er kontinuert. Lad U ⊆ Y være<br />

en åben mængde, U ∈ T . Så er (i ◦ f) −1 (U) = f −1 (i −1 (U)) = f −1 (U ∩ A) åben i Z.<br />

Da enhver åben mængde i A har formen U ∩ A følger heraf at f er kontinuert. <br />

Vi bemærker, at en mængde der er åben i A mht. sportopologien, ikke behøver<br />

at være åben i Y . F.eks. er den øvre lukkede halvkugle<br />

A = {x = (x1, x2) ∈ R 2 | x2 > 0, |x| ≤ 1}<br />

åben i enhedskuglen B(0, 1) udstyret med sportopologien fra R 2 , da A = B(0, 1) ∩<br />

R 2 +, og da den øvre halvplan R 2 + af punkter (x1, x2) med x2 > 0 er åben i R 2 , men<br />

A er ikke åben i R 2 .<br />

Hvis på den anden side X er en åben delmængde af Y , og W ⊆ X er åben i<br />

sportopologien, så er W også åben i Y , da W = W ′ ∩ X for en åben mængde W ′ af<br />

Y .


5. Topologiske rum 27<br />

Definition 5.11. Lad π : Y → B være en surjektiv afbildning, og TY en topologi<br />

på Y . Så kaldes<br />

TB = {V ⊆ B | π −1 (V ) ∈ TY }<br />

for kvotienttopologien på B.<br />

I lighed med Lemma 5.10 har afbildningen π : Y → B den universelle egenskab:<br />

Lemma 5.12. Lad π : Y → B være surjektiv, Y et topologisk rum, og lad B have<br />

kvotienttopologien. Hvis Z er et topologisk rum og f : B → Z en afbildning, så er<br />

f kontinuert, hvis og kun hvis f ◦ π er kontinuert.<br />

Bevis. Der henvises <strong>til</strong> opgave 5.7 <br />

I lighed med (5.7) kan den universelle egenskab med fordel illustreres i diagrammet<br />

Y<br />

π<br />

B f<br />

f◦π<br />

Z<br />

(5.8)<br />

Bemærk at (5.8) er dualt <strong>til</strong> (5.7) i den forstand at det fremkommer fra (5.7) ved<br />

at erstatte A med B og vende alle pilene.<br />

Kvotienttopologi optræder i forbindelse med ækvivalensrelationer på et topologisk<br />

rum Y . Vi minder om at en ækvivalensrelation på Y , er en relation mellem Y ’s<br />

punkter, som opfylder<br />

(i) y ∼ y<br />

(ii) y1 ∼ y2 ⇒ y2 ∼ y1<br />

(iii) y1 ∼ y2 og y2 ∼ y3 ⇒ y1 ∼ y3.<br />

Eksempel 5.13. Lad Z n ⊂ R n betegne punkterne x = (x1, . . .,xn) ∈ R n med<br />

xi ∈ Z for i = 1, . . ., n. Så defineres der en ækvivalensrelation på R n ved følgende<br />

x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z n<br />

En ækvivalensrelation på Y definerer en opdeling af Y i disjunkte delmængder<br />

(ækvivalensklasserne). Lad nemlig<br />

[y] = {y ′ ∈ Y | y ′ ∼ y}<br />

Dette kaldes ækvivalensklasserne bestemt af y. Bemærk fra (i)–(iii), at y ∈ [y] og at<br />

[y1] = [y2] ⇐⇒ y1 ∼ y2. Hvis på den anden side y1 ≁ y2 så er [y1] ∩ [y2] = ∅, da<br />

y ∈ [y1] ∩ [y2] medfører at y ∼ y1 og y ∼ y2, og dermed at y1 ∼ y2. Vi ser, at Y er<br />

en disjunkt forening af sine ækvivalensklasser. Lad<br />

B = Y/∼ := {[y] | y ∈ Y }


28 5. Topologiske rum<br />

og lad π : Y → B, der kaldes den kanoniske projektion, være givet ved π(y) = [y].<br />

Dette er en surjektiv afbildning.<br />

Omvendt definerer en surjektiv afbildning π : Y → B en ækvivalensrelation på<br />

Y ved<br />

y1 ∼ y2 ⇐⇒ π(y1) = π(y2),<br />

og B = Y/ ∼. Der henvises <strong>til</strong> [L], §2.2 for en mere detaljeret gennemgang af<br />

ækvivalensrelationer.<br />

Eksempel 5.14. Mængden af ækvivalensklasser R n /∼ af ækvivalensrelationen defineret<br />

i Eksempel 5.13 betegnes R n /Z n . Dette bliver en abelsk gruppe ved at definere<br />

Den kanoniske projektion<br />

[x] + [y] = [x + y], −[x] = [−x], 0 = [0],<br />

π : R n → R n /Z n<br />

er en homomorfi af abelske grupper med π −1 (0) = [0] = Z n . For n = 1 har vi<br />

π : R → R/Z, og vi giver R/Z kvotienttopologien. Enhedscirklen er en delmængde<br />

S 1 af R 2 . Vi giver den sportopologien, og lader i : S 1 → R 2 være inklusionen. Betragt<br />

nu<br />

e : R → S 1 ; e(t) = (cos(2πt), sin(2πt)).<br />

Denne er kontinuert ifølge Lemma 5.10, da i ◦ e er kontinuert, og den er surjektiv.<br />

Da e er periodisk,<br />

e(t + n) = e(t) ⇐⇒ n ∈ Z,<br />

kan vi definere en afbildning e : R/Z → S 1 ved e([x]) = e(x). Der gælder, at<br />

e ◦ π = e, og e er en bijektion og en homomorfi af grupper, hvor gruppestrukturen<br />

på S 1 induceres af multiplikationen i C = R 2 . Det følger fra Lemma 5.12, at e<br />

er kontinuert. Vi skal se i næste paragraf, at den inverse afbildning e −1 også er<br />

kontinuert (sml. [L], Eksempel 3.4.5).<br />

Vi vil nu definere den såkaldte produkttopologi på det Cartesiske produkt af to<br />

topologiske rum. Vi har brug for:<br />

Definition 5.15. Lad X være en mængde. En familie af delmængder B ⊆ P(X)<br />

kaldes en basis for X, såfremt<br />

(i) For B1, B2 ∈ B og x ∈ B1 ∩ B2, findes der B ∈ B så x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2<br />

(ii) <br />

B∈B B = X.<br />

Lemma 5.16. Lad B være en basis for en mængde X. Så udgør ∅ samt alle mængder<br />

af formen <br />

α∈I Bα, Bα ∈ B en topologi T på X. Dette kaldes topologien induceret<br />

fra B.


5. Topologiske rum 29<br />

Bevis. T1 er oplagt. T2 følger fra (i) i ovenstående definition. Thi for x ∈ B1 ∩ B2,<br />

findes der et B(x) ∈ B med x ∈ B(x) ⊆ B1 ∩ B2, og der gælder derfor, at<br />

B1 ∩ B2 = <br />

B(x) ∈ T<br />

x∈B1∩B2<br />

Endelig viser den mængdeteoretiske identitet<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

∩<br />

<br />

= <br />

α∈I<br />

Bα<br />

β∈J<br />

Bβ<br />

(α,β)∈I×J<br />

Bα ∩ Bβ<br />

at T2 er opfyldt. Betingelse (ii) i Definition 5.15 garanterer at T3 er opfyldt. <br />

Eksempel 5.17. I et metrisk rum (X, d) udgør kuglerne Bd(x, r), x ∈ X og r > 0<br />

en basis, og den inducerede topologi er netop Td (sml. Definition 1.6 og opgave 5.8).<br />

Lad nu X1 = (X1, T1) og X2 = (X2, T2) være topologiske rum. Vi vil definere<br />

en topologi på det Cartesiske produkt X1 × X2 af par af elementer (x1, x2), hvor<br />

xi ∈ Xi, i = 1, 2. Det er naturligt at kræve, at de to projektionsafbildninger<br />

pr 1 : X1 × X2 → X1, pr 2 : X1 × X2 → X2<br />

skal være kontinuerte. Vi bruger samme princip som i (5.5), og søger den groveste<br />

topologi på X1 × X2, hvor begge projektioner er kontinuerte. Specielt skal pr −1<br />

1 (U1)<br />

og pr −1<br />

2 (U2) <strong>til</strong>høre TX1×X2 når Uν ∈ Tν. Bemærk at<br />

pr −1<br />

1 (U1) ∩ pr −1<br />

2 (U2) = U1 × U2<br />

ikke generelt er af denne form. Vi definerer en basis for X1 × X2 ved<br />

BX1×X2 = {U1 × U2 | Uν ∈ Tν}. (5.9)<br />

Betingelse (i) i Definition 5.15 er opfyldt, da BX1×X2 er lukket under fællesmængde,<br />

(U1 × U2) ∩ (U ′ 1 × U ′ 2 ) = (U1 ∩ U ′ 1 ) × (U2 ∩ U ′ 2 ),<br />

og betingelse (ii) er opfyldt da X1 × X2 ∈ BX1×X2.<br />

Definition 5.18. Produkttopologien på det Cartesiske produkt X1 × X2 er topologien<br />

induceret fra basen (5.9). Det topologiske rum (X1 × X2, TX1×X2) kaldes det<br />

topologiske produkt af X1 og X2.<br />

Lemma 5.19. De to projektionsafbildninger<br />

er kontinuerte.<br />

pr 1 : X1 × X2 → X1<br />

pr 2 : X1 × X2 → X2


30 5. Topologiske rum<br />

Bevis. Lad U1 være en åben delmængde af X1. Så er pr −1<br />

1 (U1) = U1 × X2 ∈ BX1×X2<br />

og dermed åben i X1 × X2. Tilsvarende for pr 2. <br />

Vi afslutter denne paragraf med at indføre begrebet sammenhængende rum.<br />

Hvis et topologisk rum, X, har to åbne delmængder, X1 og X2, så X = X1 ∪ X2<br />

og X1 ∩ X2 = ∅, så er U ⊆ X åben, hvis og kun hvis U ∩ X1 og U ∩ X2 er åbne i<br />

sportopologien for henholdsvis X1 og X2; det vil sige, at studiet af de topologiske<br />

egenskaber ved X reduceres <strong>til</strong> at studere X1 og X2 hvor for sig. Rum, som ikke<br />

<strong>til</strong>lader en sådan opdeling (bortset fra den trivielle opdeling, hvor enten X1 eller X2<br />

er tom) kaldes sammenhængende.<br />

Definition 5.20. Et topologisk rum, X, kaldes et sammenhængende rum, såfremt<br />

følgende gælder: Hvis X = X1 ∪ X2 og X1 ∩ X2 = ∅, hvor X1 og X2 er åbne, så<br />

gælder enten X1 = ∅, X2 = X eller X1 = ∅, X2 = X<br />

En delmængde A ⊆ X kaldes sammenhængende, hvis A er et sammenhængende<br />

rum i sportopologien.<br />

Proposition 5.21. For et topologisk rum, X, er følgende udsagn ækvivalente.<br />

(i) X er et sammenhængende rum<br />

(ii) Hvis X = C ∪ D og C ∩ D = ∅, hvor C og D er lukkede, så gælder enten<br />

C = ∅, D = X eller C = X, D = ∅.<br />

(iii) Hvis U ⊆ X er ikke-tom og er både åben og lukket, så er U = X.<br />

Bevis. Opgave 5.14. <br />

Eksempel 5.22. Lad I ⊆ R være et vilkårligt interval (endeligt, uendeligt, åbent,<br />

lukket eller halvåbent). Så er I sammenhængende. Thi antag I = U ∪V , U ∩V = ∅,<br />

hvor U og V er ikke-tomme åbne delmængder (i sportopologien), og lad os søge<br />

en modstrid. Da U og V er ikke-tomme, kan vi vælge u ∈ U, v ∈ V og uden<br />

indskrænkning antage u < v (ellers byttes der blot om på U og V ). Sæt x0 =<br />

sup{x ∈ U | x < v}. Så er det klart, at x0 ∈ [u, v] ⊆ I, og da U er lukket i I<br />

(mængden I − U = V er jo åben), er x0 ∈ U = U. Da U imidlertid er åben, findes<br />

der x ∈ U i intervallet ]x0, v[, hvilket strider mod definitionen af x0.<br />

Eksempel 5.23. Som eksempel på en ikke-sammenhængende delmængde af R kan<br />

vi betragte mængden Q af rationale tal. Hvis r ∈ R er et vilkårligt irrationalt<br />

tal, så vil Q = Q ∩ ] − ∞, r[ ∪ Q ∩ ]r, ∞[ være en opdeling i disjunkte, ikketomme,<br />

åbne delmængder (i sportopologien). Bemærk, at hver af disse lader sig<br />

opdele yderligere i disjunkte, ikke-tomme, åbne delmængder, og at denne proces<br />

kan fortsættes vilkårligt mange gange.<br />

Sætning 5.24. Lad X være et topologisk rum.<br />

(i) Hvis A ⊆ X er sammenhængende, og B er en delmængde for hvilken A ∩<br />

int B = ∅, og A ∩ int(X − B) = ∅, så vil vi også have A ∩ ∂B = ∅.


5. Topologiske rum 31<br />

(ii) Hvis A ⊆ X er sammenhængende og A ⊆ B ⊆ A, så er også B sammenhængende.<br />

(iii) Hvis {Aα | α ∈ I} er en familie af sammenhængende delmængder, for hvilke<br />

Aα ∩ Aα ′ = ∅ for alle α, α′ ∈ I, så er A = <br />

α∈I Aα også sammenhængende.<br />

(iv) Lad Y være et andet topologisk rum, og lad f : X → Y være en kontinuert<br />

afbildning. Hvis X er sammenhængende, så er f(X) ⊆ Y også sammenhængende.<br />

Bevis. (i). Hvis A ∩ ∂B = ∅, så er A = A ∩ int B ∪ A ∩ int(X − B) en opdeling<br />

i ikke-tomme mængder.<br />

(ii). Lad os anvende Proposition 5.21 (ii). Antag, at C, D ⊆ X er lukkede, B ⊆ C∪D<br />

og C ∩ D ∩ B = ∅. Så er også A ⊆ C ∪ D og C ∩ D ∩ A = ∅, så enten har vi A ⊆ C<br />

eller A ⊆ D. Antag A ⊆ C. Så er også B ⊆ A ⊆ C, hvilket skulle vises.<br />

(iii). Antag A ⊆ U ∪ V , A ∩ U ∩ V = ∅, hvor U, V ⊆ X er åbne. For fast α ∈ I<br />

gælder så også Aα ⊆ U ∪ V , Aα ∩ U ∩ V = ∅, hvoraf følger, at vi enten har Aα ⊆ U<br />

eller Aα ⊆ V . Imidlertid er det for α, α ′ ∈ I ikke muligt, at Aα ⊆ U og Aα ′ ⊆ V , da<br />

vi så ville have Aα ∩ Aα ′ ⊆ U ∩ V ∩ A = ∅, hvilket strider mod forudsætningerne.<br />

Det vil sige, at vi enten har Aα ⊆ U for alle α ∈ I eller Aα ⊆ V for alle α ∈ I.<br />

Således fås enten A ⊆ U eller A ⊆ V , hvilket skulle vises.<br />

(iv). Antag f(X) ⊆ U ∪ V , f(X) ∩ U ∩ V = ∅, hvor U, V ⊆ Y er åbne. Så er<br />

X = f −1 (U) ∪ f −1 (V ), f −1 (U) ∩ f −1 (V ) = ∅, hvor f −1 (U) og f −1 (V ) er åbne, da<br />

f er kontinuert. Da X er sammenhængende, kan vi derfor antage X = f −1 (U). Det<br />

vil sige f(X) ⊆ U, hvilket skulle vises. <br />

Korollar 5.25. Lad X være et sammenhængende rum, lad Y være en mængde og<br />

lad f : X → Y være en lokalkonstant funktion (dvs., at der for ethvert x ∈ X findes<br />

en omegn N, så f|N er konstant). Så er f konstant på hele X.<br />

Bevis. Idet Y gives den diskrete topologi, er f kontinuert, da den klart er kontinuert<br />

i ethvert punkt. Af sætning 5.24 (iv) følger, at f(X) er sammenhængende i den<br />

diskrete topologi, og at den dermed højst kan bestå af af et punkt, hvilket skulle<br />

vises. <br />

Eksempel 5.26. Vi kan nu give mange eksempler på sammenhængende rum (opgave<br />

5.20).<br />

(i) Af eksempel 5.22 følger (sammen med Sætning 5.24 (iv)), at ethvert liniestykke<br />

i R n er sammenhængende.<br />

(ii) Af (i) og Sætning 5.24 (iii) følger, at enhver konveks mængde i R n er sammenhængende<br />

(iii) Hvis I ⊆ R er et interval og γ : I → X er en kontinuert funktion kurve i det<br />

topologiske rum X, så er billedmængden γ(I) ⊆ X sammenhængende.


32 5. Topologiske rum<br />

(iv) Lad X være et kurvesammenhængende topologisk rum, dvs., at der for vilkårlige<br />

x, y ∈ X findes en kontinuert kurve, γ : [a, b] → X med γ(a) = x, γ(b) = y.<br />

Så er X et sammenhængende rum.<br />

(v) Specielt er kurvesammenhængende delmængder af R n sammenhængende.


6 Kompakte rum<br />

Hvis x og y er forskellige punkter i et metrisk rum (X, d), så findes åbne mængder<br />

Ux og Uy i X, så Ux ∩ Uy = ∅, thi vi kan blot vælge Ux = Bd(x, r) og Uy = Bd(y, r),<br />

hvor r ≤ 1d(x,<br />

y). 2<br />

Denne påstand er ikke rigtig i ethvert topologisk rum, f.eks. ikke i det trivielle<br />

topologisk rum, hvor TX = {∅, X}, med mindre X blot består af ét punkt.<br />

Definition 6.1. Et topologisk rum X kaldes et Hausdorff-rum, såfremt der for<br />

ethvert par af forskellige punkter x, y ∈ X findes åbne omegne U af x og V af y med<br />

U ∩ V = ∅.<br />

Lemma 6.2. Lad f : A → X være en injektiv kontinuert afbildning. Hvis X er<br />

Hausdorff, så er A Hausdorff.<br />

Bevis. Lad a1 = a2 være forskellige punkter i A. Så er f(a1) = f(a2) og, da X er<br />

Hausdorff, findes åbne disjunkte omegne U1 og U2 af henholdsvis f(a1) og f(a2). Da<br />

f er kontinuert, er f −1 (U1) og f −1 (U2) åbne omegne af henholdsvis a1 og a2, og de<br />

er disjunkte. <br />

Bemærk specielt at enhver delmængde af et Hausdorff-rum bliver et Hausdorffrum<br />

i sportopologien.<br />

Lad X = (X, T ) være et topologisk rum, og A en delmængde af X. En familie<br />

af åbne delmængder Uα ∈ T , α ∈ I kaldes en åben overdækning af A, såfremt<br />

A ⊆ <br />

α∈I Uα.<br />

Definition 6.3.<br />

(i) Et topologisk rum kaldes kompakt, hvis der <strong>til</strong> enhver åben overdækning<br />

{Uα|α ∈ I} af X findes en endelig delmængde J ⊆ I, så {Uα | α ∈ J}<br />

allerede er en åben overdækning af X.<br />

(ii) En delmængde A ⊆ X kaldes kompakt, hvis den er et kompakt rum i sportopologien.<br />

Det følgende lemma er en nyttig karakterisation af kompakte delmængder.<br />

Lemma 6.4. For en delmængde A ⊆ X, X et topologisk rum, er følgende betingelser<br />

ækvivalente.<br />

(i) A er kompakt.<br />

(ii) Til enhver åben overdækning {Ui | i ∈ I} af A findes en endelig delmængde<br />

J ⊆ I så {Uj | j ∈ J} er en overdækning af A.<br />

Bevis. Lad A ⊆ X være en delmængde af X som opfylder (ii). Lad Uα = A ∩<br />

Vα, α ∈ I, Vα åbne i X, være åbne mængder i A (med sportopologien), og antag<br />

<br />

α∈I Uα = A. Så er {Vα | α ∈ I} en åben overdækning af A, og der findes en endelig<br />

delmængde J ⊆ I så <br />

α∈J Vα ⊇ A. Det følger, at <br />

α∈J Uα = A, så A er et kompakt<br />

topologisk rum. Antag omvendt, at A er kompakt, og lad {Vα | α ∈ I} være åbne<br />

mængder i X som overdækker A. Så er {Vα ∩ A | α ∈ I} åbne mængder i A, og der<br />

findes en endelig J ⊆ I med <br />

α∈J (Vα ∩ A) = A. Men så er <br />

α∈J Vα ⊇ A. <br />

33


34 6. Kompakte rum<br />

Eksempel 6.5. Et lukket begrænset interval [a, b] ⊆ R er en kompakt delmængde.<br />

Thi lad {Uα | α ∈ I} være en åben overdækning af [a, b]. Betragt den begrænsede<br />

ikke tomme mængde<br />

M = x ∈ [a, b] [a, x] er overdækket af endelig mange Uα’er .<br />

Lad m = sup M. Der findes et β ∈ I så at m ∈ Uβ. Da Uβ er åben indeholder Uβ<br />

et åbent interval (m − ε, m + ε) og m − ε ∈ M. Derfor er [a, m − ε] overdækket af<br />

endelig mange Uα’er, og [a, m + ε/2] vil derfor være indeholdt i disse forenet med<br />

Uβ. Vi påstår endelig at m = b. Hvis nemlig m < b, ville argumentet ovenfor vise at<br />

[a, m+ε/2] var overdækket af endelig mange Uα’er i modstrid med at m = sup M.<br />

De følgende to sætninger anvendes uhyre ofte i den matematiske litteratur, ofte<br />

uden yderligere bemærkninger.<br />

Sætning 6.6. Lad X være et topologisk rum.<br />

(i) Hvis X er kompakt, og A ⊆ X er en lukket delmængde, så er A en kompakt<br />

delmængde.<br />

(ii) Hvis X er et Hausdorff-rum og A ⊆ X er kompakt, så er A en lukket delmængde<br />

af X.<br />

Bevis. (i): Antag at X er kompakt og A er lukket i X, og lad {Uα | α ∈ I} være en<br />

åben overdækning af A. Da X − A er åben, vil<br />

{Uα | α ∈ I} ∪ {X − A}<br />

være en åben overdækning af X. Der findes derfor en endelig mængde J ⊆ I, så at<br />

<br />

Uα ∪ (X − A) = X.<br />

α∈J<br />

Da A ∩ (X − A) = ∅ følger heraf, at A ⊆ <br />

α∈J Uα.<br />

(ii): Antag at X er et Hausdorff-rum og A er kompakt. Vi skal vise, at X − A er<br />

åben i X. Ifølge Lemma 5.5 er det nok at vise, at X − A = int(X − A), eller at<br />

X −A er en omegn af ethvert af sine punkter. Så lad x ∈ X −A være et fast punkt.<br />

Vi skal finde en åben mængde Ux ⊆ X − A, så x ∈ Ux .<br />

Da X er Hausdorff, findes der <strong>til</strong> hvert a ∈ A, åbne omegne Va af a og Ua af x<br />

med Va ∩ Ua = ∅. Det er klart, at {Va | a ∈ A} er en åben overdækning af A, og<br />

da A er forudsat at være kompakt, er der endelig mange punkter a1, . . .,ak, så at<br />

A ⊆ Va1 ∪ Va2 ∪ · · · ∪ Vak Nu tager vi<br />

U x = Ua1 ∩ · · · ∩ Uak .<br />

Det er en åben mængde i X, x ∈ Ux , og da Uai ∩ Vai = ∅, er også<br />

(Ua1 ∩ · · · ∩ Uak ) ∩ (Va1 ∪ · · · ∪ Vak ) = ∅.<br />

Dermed er U x ∩ A = ∅.


6. Kompakte rum 35<br />

Sætning 6.7. Lad X og Y være topologiske rum, og lad f : X → Y være en<br />

kontinuert afbildning. Da gælder:<br />

(i) Hvis X er kompakt er billedmængden f(X) ⊆ Y også kompakt.<br />

(ii) Hvis yderligere Y er et Hausdorff-rum og f er bijektiv, så er den inverse<br />

afbildning f −1 : Y → X kontinuert.<br />

Bevis. (i): Lad {Vα|α ∈ I} være en åben overdækning af delmængden f(X) af Y .<br />

Da f er kontinuert, er f −1 (Vα) åben i X og X ⊆ <br />

α∈I f −1 (Vα). Thi <strong>til</strong> x ∈ X findes<br />

et α ∈ I så f(x) ∈ Vα, og dermed x ∈ f −1 (Vα). Da X er kompakt, findes der en<br />

endelig delmængde J ⊆ I så X ⊆ <br />

α∈J f −1 (Vα). Dermed er f(X) ⊆ <br />

α∈J Vα.<br />

(ii): Vi skal vise, at f −1 : Y → X er kontinuert eller med andre ord, at f(U) er<br />

åben i Y for enhver åben delmængde U af X. Nu er X −U lukket, og ifølge Sætning<br />

6.6(i) dermed kompakt. Sætning 6.7(i) fortæller os, at f(X − U) er kompakt, og så<br />

ifølge Sætning 6.6(ii) også lukket. Nu er<br />

f(X − U) = Y − f(U)<br />

da f er bijektiv, og det følger, at f(U) er åben. <br />

Definition 6.8.<br />

(i) En afbildning f : X → Y kaldes åben, hvis f(U) er åben for enhver åben<br />

delmængde U af X.<br />

(ii) f kaldes en lukket afbildning, hvis f(C) er lukket for enhver lukket delmængde<br />

C af X.<br />

(iii) En homeomorfi f : X → Y er en bijektiv afbildning, således at både f og den<br />

inverse afbildning f −1 : Y → X er kontinuerte.<br />

Det er klart, at en homeomorfi f : X → Y giver en bijektiv korrespondance<br />

f : TX → TY mellem de åbne mængder i X og Y . Homeomorfier er således de<br />

strukturbevarende afbildninger mellem topologiske rum; de svarer <strong>til</strong> isomorfier i<br />

algebra.<br />

Korollar 6.9. Lad X og Y være topologiske rum med X kompakt og Y Hausdorff,<br />

og antag at f : X → Y er en kontinuert, injektiv afbildning. Så er f : X → f(X)<br />

en homeomorfi, hvor f(X) har sportopologien fra Y .<br />

Bevis. Dette følger umiddelbart fra Sætning 6.7 for den bijektive afbildning f :<br />

X → f(X). <br />

Eksempel 6.10. Lad f : (−2, ∞) → R 2 være kurven<br />

f(t) = (t 3 − 4t, t 2 − 4),<br />

se billedet i [dC], §1.2, Eksempel 3, men bemærk, at vi ikke bruger den del af kurven,<br />

som ligger i 2. kvadrant.<br />

Afbildningen f er kontinuert, endda differentiabel, og den er injektiv, men billedet<br />

f(−2, ∞) ⊆ R 2 opfattet som et topologisk rum i sportopologien er ikke homeomorf<br />

med det åbne interval (−2, ∞). Hvorfor ikke?


36 6. Kompakte rum<br />

Eksempel 6.11. Vi konstruerede i Eksempel 5.14 et diagram af kontinuerte afbildninger<br />

π<br />

R<br />

R/Z<br />

e<br />

S 1<br />

med e bijektiv og kontinuert, og e = e ◦ π. Her har cirklen S 1 ⊆ R 2 sportopologien<br />

og R/Z kvotienttopologien m.h.t. π. Da π([0, 1]) = R/Z, og [0, 1] ⊂ R er kompakt<br />

(Eksempel 5.5), så er R/Z kompakt ifølge Sætning 6.7. Da e er kontinuert og bijektiv,<br />

er e en homeomorfi (korollar 6.9). Afbildningen e er en isomorfi af grupper, så både<br />

algebraisk og topologisk er S 1 og R/Z isomorfe.<br />

Sætning 6.12. Lad X1 og X2 være kompakte topologiske rum. Så er det topologiske<br />

produkt X1 × X2 også kompakt.<br />

Beviset opdeles i to selvstændige lemmaer.<br />

Lemma 6.13. Projektionen pr 1 er lukket, dvs. pr 1(C) er lukket i X1 for enhver<br />

lukket delmængde C ⊆ X1 × X2.<br />

Bevis. Lad C ⊆ X1 ×X2 være lukket. Vi skal vise, at X1 −pr1(C) er en åben omegn<br />

af ethvert af sine punkter. Lad x1 ∈ X1 − pr1(C) være et fast punkt, og lad y ∈ X2<br />

være vilkårligt. Da BX1×X2 i (5.9) er en basis for X1 × X2, og (x1, y) <strong>til</strong>hører den<br />

åbne mængde X1 × X2 − C, findes der Uy × Vy ∈ BX1×X2 med (x1, y) ∈ Uy × Vy ⊆<br />

X1 × X2 − C. Nu er {Vy}y∈X2 en åben overdækning af X2, og da X2 er kompakt<br />

findes der endeligt mange, som allerede overdækker: X2 = Vy1 ∪ · · · ∪ Vyk . Vi lader<br />

Det er en åben mængde i X1, og<br />

Ux1 = Uy1 ∩ · · · ∩ Uyk .<br />

Ux1 × X2 = Ux1 × (Vy1 ∪ · · · ∪ Vyk ) ⊆ Uy1 × Vy1 ∪ · · · ∪ Uyk × Vyk<br />

⊆ X1 × X2 − C.<br />

Det følger, at Ux1 ⊆ X1 − pr 1(C). <br />

Lemma 6.14. Lad X og Y være topologiske rum, Y kompakt, og lad f : X → Y<br />

være en kontinuert og lukket afbildning. Antag at f −1 (y) er kompakt for ethvert<br />

y ∈ Y . Så er X kompakt.<br />

Bevis. Lad {Uα}α∈I være en åben overdækning af X, lad y ∈ Y . Da f −1 (y) er<br />

kompakt, findes der en endelig delmængde Jy ⊆ I, så {Uα}α∈Jy overdækker f −1 (y).<br />

Vi definerer<br />

U(y) = <br />

Uα.<br />

α∈Jy<br />

e


6. Kompakte rum 37<br />

Det er en åben delmængde af X, der indeholder f −1 (y). Da X − U(y) er lukket,<br />

og (X − U(y)) ∩ f −1 (y) = ∅, er f(X − U(y)) en lukket delmængde af Y , som ikke<br />

indeholder punktet y. Dens komplement<br />

Vy = Y − f(X − U(y))<br />

er en åben omegn af y.<br />

Vi kan finde et sådant Vy for ethvert y ∈ Y og får dermed en åben overdækning<br />

af Y . Da Y er kompakt, overdækker allerede endeligt mange.<br />

Ved at bruge (5.2) og (5.3) ser vi, at<br />

Da f −1 (f(X − U(y))) ⊇ X − U(y) er<br />

Y = Vy1 ∪ · · · ∪ Vyk<br />

X = f −1 (Y ) = f −1 (Vy1) ∪ · · · ∪ f −1 (Vyk ),<br />

f −1 (Vy) = X − f −1 (f(X − U(y))).<br />

X − f −1 (f(X − U(y))) ⊆ U(y),<br />

så X ⊆ U(y1) ∪ · · · ∪ U(yk).<br />

Hvert U(yi) er en endelig forening af Uα’er, så alt i alt har vi fundet, at endeligt<br />

mange Uα overdækker X. <br />

Bevis for Sætning 6.12. Anvend Lemma 6.14 på afbildningen pr 1 i Lemma 6.13. <br />

Det følger induktivt fra Sætning 6.12, at et endeligt produkt af kompakte rum<br />

Xi er kompakt. Det samme gælder endda for uendelige produkter af kompakte rum.<br />

Dette udsagn kaldes Tychonoffs Sætning.<br />

Proposition 6.15. Hvis X1 og X2 er Hausdorff-rum, så er X1 × X2 Hausdorff.<br />

Bevis. Lad (x1, x2) = (x ′ 1, x ′ 2). Hvis x1 = x ′ 1, findes disjunkte åbne omegne U1 og U ′ 1<br />

af henholdsvis x1 og x ′ 1 i X1. Så er pr −1<br />

1 (U1) og pr −1<br />

1 (U ′ 1 ) disjunkte åbne omegne af<br />

henholdsvis (x1, x2) og (x ′ 1 , x′ 2 ). Tilsvarende hvis x1 = x ′ 1 men x2 = x ′ 2 . <br />

Korollar 6.16. Hvis X1 og X2 begge er kompakte Hausdorff-rum så er X1 × X2<br />

ligeledes et kompakt Hausdorff-rum.<br />

Sætning 6.17 (Heine-Borel). I det Euklidiske talrum med den sædvanlige topologi<br />

gælder at en delmængde A er kompakt, hvis og kun hvis den er lukket og<br />

begrænset.<br />

Bevis. Hvis A er kompakt, så er A lukket ifølge Sætning 6.6. Men A må også være<br />

begrænset, thi hvis vi overdækker R n med kugler af radius 1, så vil en ubegrænset<br />

mængde ikke kunne overdækkes af endelig mange. Hvis omvendt A er lukket og<br />

begrænset, så er A indeholdt i [−K, K] n for <strong>til</strong>strækkeligt stort K > 0. Fra Eksempel<br />

6.5 ved vi at [−K, K] er kompakt, og Sætning 6.12 fortæller at [−K, K] n er kompakt.<br />

Da A også er lukket, følger fra Sætning 6.6 at A er kompakt.


38 6. Kompakte rum<br />

Korollar 6.18. Lad X være et kompakt rum og f : X → R en kontinuert funktion.<br />

Så antager f både sin supremumsværdi og sin infimumsværdi.<br />

Bevis. Fra Sætning 6.7(i) ved vi at f(X) ⊆ R er en kompakt mængde og derfor<br />

begrænset og lukket ifølge Sætning 6.17. Det følger, at<br />

sup f(X) < ∞, og at sup f(X) ∈ f(X).<br />

Tilsvarende for infimum.


7 Den inverse funktions sætning<br />

I denne paragraf vender vi <strong>til</strong>bage <strong>til</strong> differentiabilitet for funktioner F : U → R m ,<br />

hvor U er en åben delmængde af R n . En sådan funktion består af m koordinatfunktioner<br />

F(x) = (F1(x), . . . , Fm(x)), x = (x1, . . .,xn).<br />

Vi siger, at F er af klasse C1 , hvis enhver koordinatfunktion Fν(x) er kontinuert<br />

differentiabel, dvs. at ∂Fν<br />

∂Fν<br />

(u) eksisterer for alle u ∈ U, og at : U → R er<br />

∂xi ∂xi<br />

kontinuert. Hvis disse n·m funktioner har klasse C1 , siges F at have klasse C2 o.s.v.<br />

Definition 7.1. Lad U ⊆ R n være åben. En afbildning<br />

F : U → R m<br />

har klasse Ck (1 ≤ k ≤ ∞), hvis Fν har kontinuerte partielle afledede af alle<br />

ordener ≤ k. Hvis k = ∞, siges F at være glat (eller i [dC], differentiabel).<br />

For et punkt u ∈ U defineres Jacobimatricen i punktet u:<br />

DFu =<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

∂F1<br />

∂x1<br />

∂Fm<br />

∂x1<br />

(u) . . .<br />

.<br />

. ..<br />

(u) . . .<br />

∂F1<br />

∂xn (u)<br />

.<br />

∂Fm<br />

∂xn (u)<br />

Det er en m × n matrix og giver en lineær afbildning<br />

dFu : R n → R m ,<br />

som vi kalder differentialet af F i punktet u.<br />

Hvis U ⊆ R n og V ⊆ R m er åbne mængder, og vi har funktioner<br />

F : U → R m , G : V → R l<br />

med F(U) ⊆ V , så kan vi danne den sammensatte funktion<br />

Dens j’te koordinatfunktion er<br />

G ◦ F : U → R l<br />

⎞<br />

(G ◦ F)j(x) = Gj(F1(x), . . .,Fm(x)).<br />

⎟<br />

⎠ (7.1)<br />

Det er velkendt fra Matematisk Analyse 1, se f.eks. Sætning 9.36 i [ETP], hvordan<br />

man udregner de partielle afledede af (G ◦ F)j, nemlig<br />

∂(G ◦ F)j<br />

(u) =<br />

∂xi<br />

m ∂Gj<br />

k=1<br />

∂xk<br />

(F(u)) ∂Fk<br />

(u) (7.2)<br />

∂xi<br />

Vi ser, at G ◦ F har klasse C1 , hvis både G og F har klasse C1 . Men (7.2) giver<br />

også, at G ◦ F har klasse C2 , hvis F og G har klasse C2 . Man differentierer (7.2)<br />

m.h.t. x, og bemærker at ∂<br />

af højre side bliver kontinuert. Induktivt ser vi, at hvis<br />

∂x<br />

F og G har klasse Ck , så gælder det samme for G ◦ F.<br />

39


40 7. Den inverse funktions sætning<br />

Lemma 7.2 (Kædereglen). For Jacobimatricerne gælder<br />

D(G ◦ F)u = DGF(u) · DFu.<br />

Bevis. Det ji’te element i produktet DGF(u) · DFu er den j’te række i DGF(u)<br />

multipliceret med den i’te søjle i DFu. Det er præcis højre side i 7.2. <br />

Hvis vi betragter Jacobimatricerne som lineære afbildninger (differentialerne)<br />

dFu : R n → R m , dGF(u) : R m → R l<br />

så fortæller Lemma 7.2, at differentialet af en sammensætning er sammensætningen<br />

af differentialerne. Dette udtrykkes skematisk i (7.3): En kommutativ trekant af C k -<br />

funktioner overføres i en kommutativ trekant af lineære afbildninger:<br />

U<br />

H<br />

F<br />

G<br />

V<br />

d(−)u<br />

R n<br />

dHu<br />

dFu<br />

R l R l<br />

(H = G ◦ F ⇒ dHu = dGF(u) ◦ dFu).<br />

R m<br />

dG F(u)<br />

(7.3)<br />

Bemærk: Hvis U ⊆ R n , V ⊆ R m er åbne delmængder, og F : U → V er en<br />

bijektiv afbildning, således at både F og G = F −1 er C 1 -afbildninger, så følger af<br />

Lemma 7.2, at Jacobimatricen DFu er invertibel med invers DGF(u), u ∈ U. Specielt<br />

er n = m. Den inverse funktions sætning siger omvendt, at en C k -afbildning k ≥ 1,<br />

F : U → R n , U ⊆ R n åben, lokalt omkring et punkt a ∈ U har en invers afbildning<br />

(som også er C k ), hvis blot DFa er invertibel.<br />

Først nogle forberedelser. Vi minder om, at U ⊆ R n kaldes konveks, hvis der for<br />

to vilkårlige punkter x, y ∈ U gælder, at liniestykket mellem dem er indeholdt i U,<br />

dvs.<br />

[x, y ] = {tx + (1 − t)y | 0 ≤ t ≤ 1} ⊆ U.<br />

Kuglerne B(x, r) = {y ∈ R n | |y − x| ≤ r} er konvekse.<br />

Lemma 7.3. Lad U være en åben konveks delmængde af R n og F : U → R m af<br />

klasse C 1 . Til hvert par af punkter x, a ∈ U findes der en m × n matrix Φ(x, a),<br />

således at<br />

(i) Φ : U × U → Mm,n(R) er kontinuert<br />

(ii) Φ(a, a) = DFa<br />

(iii) F(x) − F(a) = Φ(x, a)(x − a) for x, a ∈ U.


7. Den inverse funktions sætning 41<br />

Bevis. Da U er konveks er a + s(x − a) ∈ U for 0 ≤ s ≤ 1, og da U også er åben,<br />

findes der et ε > 0 så {a + s(x − a) − ε < s < 1 + ε} ⊆ U. Vi betragter<br />

H(s) = F(a + s(x − a)), −ε < s < 1 + ε.<br />

Det er sammensat funktion, og kædereglen giver<br />

d<br />

ds H(s) = DFa+s(x−a) · (x − a)<br />

n ∂F<br />

= (a + s(x − a)) · (xi − ai),<br />

∂xi<br />

i=1<br />

hvor ∂F<br />

∂xi (a + s(x − a)) er den i’te søjle i DFa+s(x−a), cf. (7.1). Ved integration fås<br />

H(1) − H(0) =<br />

=<br />

1<br />

d<br />

H(s) ds<br />

0 ds<br />

n 1<br />

∂F<br />

<br />

(a + s(x − a)) ds · (xi − ai).<br />

∂xi<br />

i=1<br />

Vi definerer Φ(x, a) <strong>til</strong> at være matricen med<br />

i’te søjle af Φ(x, a) =<br />

0<br />

1<br />

0<br />

∂F<br />

(a + s(x − a)) ds.<br />

∂xi<br />

Dette er en kontinuert funktion af (x, a), da F er C 1 . For x = a er integranden<br />

uafhængig af s, så<br />

i’te søjle af Φ(a, a) =<br />

1<br />

0<br />

∂F<br />

(a) ds =<br />

∂xi<br />

∂F<br />

(a),<br />

∂xi<br />

og derfor Φ(a, a) = DFa. Endelig er H(1) = F(x) og H(0) = F(a), så (iii) er<br />

opfyldt. <br />

Lad GLn(R) ⊆ Mn(R) være gruppen af invertible (n × n)-matricer. Determinantafbildningen<br />

det : Mn(R) → R<br />

er et polynomiumsudtryk i matricens indgange og derfor C∞ . Specielt er den kontinuert,<br />

og GLn(R) = det −1 (R − {0}) er en åben delmængde af Mn(R) = Rn2. Bemærk, at hvis vi for en matrix A ∈ Mn(R) sætter |A| = ( <br />

i,j a2ij) 1<br />

2, så følger det<br />

let fra Cauchy-Schwartz’ ulighed, at der for x ∈ Rn gælder<br />

|Ax| ≤ |A||x|.<br />

Vi er nu klar <strong>til</strong> at bevise den inverse funktions sætning. Vi begynder med<br />

C 1 -udgaven.


42 7. Den inverse funktions sætning<br />

Sætning 7.4. Lad U ⊆ R n være en åben mængde og F : U → R n en C 1 -afbildning.<br />

Antag at DFu0 er invertibel for et punkt u0 ∈ U.<br />

Da findes der åbne omegne u0 ∈ W ⊆ U og F(u0) ∈ V ⊆ R n , således at<br />

(i) F(W) = V<br />

(ii) F|W : W → V er bijektiv<br />

(iii) F −1<br />

|W : V → W har klasse C1 .<br />

Hvis der omvendt eksisterer åbne omegne, så (i)–(iii) er opfyldt, så er DFu0 invertibel.<br />

Bevis. Vi har allerede bemærket den sidste påstand i sætningen. Så lad nu DFu0<br />

være invertibel og definer L: R n → R n ved<br />

Så er L en bijektiv C ∞ afbildning med<br />

og L −1 givet ved<br />

L(x) = u0 + DF −1<br />

u0 x.<br />

L(0) = u0, DL0 = DF −1<br />

u0<br />

L −1 (y) = DFu0(y − u0), y ∈ R n .<br />

Ved at erstatte U med L−1U og F med afbildningen F ◦L kan vi uden indskrænkning<br />

antage u0 = 0 og DF0 = I (enhedsmatricen). Ligeledes kan vi, ved at sammensætte<br />

med translationen y ↦→ y − F(0), antage F(0) = 0. Uden indskrænkning kan det<br />

endvidere antages, at U er en åben kugle U = B(0, R) med radius R > 0.<br />

Vi sætter nu H(x) = x − F(x) og anvender Lemma 7.3 på denne afbildning<br />

H : B(0, R) → Rn . Så er DH0 = 0, så den <strong>til</strong>hørende afbildning Φ: U ×U → Mn(R)<br />

har Φ(0, 0) = 0. Da Φ er kontinuert, kan vi antage, ved eventuelt at gøre R mindre,<br />

at |Φ(x, a)| < 1 for alle x, a ∈ U. Dvs.<br />

2<br />

|H(x) − H(a)| < 1|x<br />

− a| for alle x, a ∈ B(0, R).<br />

2<br />

Specielt fås for a = 0 og r < R, at H(x) ∈ B(0, r/2) for alle x ∈ B(0, r), så ved<br />

kontinuitet gælder<br />

H(B(0, r)) ⊆ B(0, r/2) for alle r < R.<br />

Vælg r < R fast i det følgende. Vi vil vise<br />

Påstand 7.5. Givet y ∈ B(0, r/2), findes et entydigt bestemt x ∈ B(0, r) således<br />

at F(x) = y.


7. Den inverse funktions sætning 43<br />

Her<strong>til</strong> betragter vi afbildningen Hy defineret ved<br />

Hvis y ∈ B(0, r/2) og x ∈ B(0, r) fås<br />

så Hy afbilder B(0, r) ind i sig selv. Idet<br />

Hy(x) = y + x − F(x), x ∈ B(0, r).<br />

|Hy(x)| ≤ |y| + |H(x)| ≤ r<br />

|Hy(x1) − Hy(x2)| = |H(x1) − H(x2)| < 1<br />

2 |x1 − x2| for alle x1, x2 ∈ B(0, r)<br />

er Hy altså en kontraktion i det fuldstændige metriske rum B(0, r), og den har derfor<br />

ifølge fikspunktsætningen (Sætning 2.6) et entydigt bestemt fikspunkt. Det vil sige,<br />

at der findes et entydigt bestemt x ∈ B(0, r) så<br />

x = y + x − F(x),<br />

det vil sige, så F(x) = y. Dette viser påstanden.<br />

Vi får altså en veldefineret afbildning<br />

så<br />

G: B(0, r/2) → B(0, r)<br />

F(G(y)) = y for alle y ∈ B(0, r/2).<br />

Afbildningen G er kontinuert. Thi for y1, y2 ∈ B(0, r/2) og xi = G(yi), i = 1, 2, fås<br />

så<br />

|x1 − x2| = |H(x1) − H(x2) + F(x1) − F(x2)| ≤ 1<br />

2 |x1 − x2| + |y1 − y2|<br />

|G(y1) − G(y2)| ≤ 2|y1 − y2|.<br />

Men da F er kontinuert, er G altså en homeomorfi på sit billede. Hvis vi specielt<br />

sætter<br />

V = B(0, r/2) og W = G(V ) = F −1 (V ) ∩ B(0, r),<br />

så er V og W åbne omegne, som opfylder (i) og (ii) i sætningen. Idet G = (F |W) −1<br />

skal vi altså blot vise, at G har klasse C 1 .<br />

Lad <strong>til</strong> dette formål y0, y ∈ V og x0 = G(y0), x = G(y) ∈ W ⊆ U, så vi får<br />

identiteten<br />

y − y0 = F(x) − F(x0) = (x − x0) − H(x) − (H(x0) <br />

= I − Φ(x, x0) (x − x0).


44 7. Den inverse funktions sætning<br />

Da vi har antaget |Φ(x, x0)| < 1<br />

2 er matricen I −Φ(x, x0) invertibel med invers givet<br />

ved den uniformt konvergente række ∞ i=0 Φ(x, x0) i , hvis grænsefunktion således er<br />

kontinuert som funktion af x og x0 i U. Det vil sige<br />

G(y) − G(y0) = x − x0 = I − Φ(x, x0) −1 (y − y0)<br />

= I − Φ(G(y), G(y0)) −1 (y − y0).<br />

Det følger således af definitionen på differentiabilitet at G er differentiabel i y0 og<br />

at<br />

DGy0 = I − Φ(G(y0), G(y0)) −1 = −1 I − DHx0 = (DFx0) −1 = (DFG(y0)) −1 .<br />

Dette viser, at afbildningen DG : V → Mn(R) er givet som sammensætningen<br />

DG : V<br />

G<br />

−−−−→ W DF<br />

−−−−−→ GLn(R)<br />

( · ) −1<br />

−−−−−−→ GLn(R). (7.4)<br />

Matrixinvertering er C ∞ , og DF er kontinuert, så (7.4) medfører, at G er C 1 . <br />

Addendum 7.6. Hvis vi i Sætning 7.4 antager, at F har klasse C k , så har (F|W) −1<br />

også klasse C k .<br />

Bevis. Lad G = (F|W) −1 : V → W. Vi ved fra Sætning 7.4, at G har klasse C 1 , og<br />

viser induktivt, at den har klasse C k . Da F ◦ G = IdV fortæller kædereglen, at<br />

DFG(v) ◦ DGv = Id,<br />

og dermed, at DGv = (DFG(v)) −1 .<br />

Antag induktivt, at G har klasse Cl , 1 ≤ l < k. Indgangene i DFG(v) har formen<br />

∂Fj<br />

∂Fj<br />

(G(v)). Da l < k, er ∂xi ∂xi af klasse Cl , og da sammensætning af Cl-afbildninger igen er en Cl-afbildning, er indgangene i DFG(v) Cl-afbildninger. Det følger fra (7.4), at DG har klasse Cl , og dermed, at G har klasse Cl+1 . Ved<br />

induktion ses, at G har klasse Ck . <br />

Definition 7.7. En afbildning F : W → V mellem åbne mængder V, W ⊆ R n<br />

kaldes en diffeomorfi, hvis F er bijektiv, og både F og F −1 har klasse C ∞ .<br />

Med denne sprogbrug siger addendum 7.6, at hvis F har klasse C ∞ og DFu0 er<br />

invertibel, så er F en lokal diffeomorfi.


8 Regulære flader i R 3<br />

Vi skal betragte særligt pæne delmængder S ⊆ R 3 kaldet flader. I det følgende<br />

opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn<br />

U ′ af p ∈ S er således en mængde af formen U ′ = V ′ ∩ S, hvor V ′ er en åben omegn<br />

af p i R 3 .<br />

Definition 8.1. En delmængde S ⊆ R 3 kaldes en regulær flade, hvis der <strong>til</strong> ethvert<br />

p ∈ S findes en åben omegn p ∈ U ′ ⊆ S af p i S og en åben mængde U ⊆ R 2 samt<br />

en bijektion<br />

x: U → U ′<br />

som opfylder:<br />

(i) x er differentiabel (C ∞ ),<br />

(ii) x er en homeomorfi,<br />

(iii) for ethvert q ∈ U er differentialet dxq : R 2 → R 3 en injektiv afbildning.<br />

Funktionen x: U → U ′ kaldes en lokal parametrisering af S, parret (U, x) kaldes<br />

et lokalt koordinatsystem og U ′ = x(U) en koordinatomegn eller kortomegn på S.<br />

x −1 : U ′ → U kaldes et kort på S.<br />

Bemærkning 8.2. (1) Betingelsen (ii) betyder at en delmængde U ′ 1 ⊆ U ′ er åben<br />

(i sportopologien), hvis og kun hvis U1 = x −1 (U ′ 1 ) er åben i R2 . En måde at<br />

sikre dette på er at forlange (som do Carmo gør) at x −1 : U ′ → U kan udvides<br />

<strong>til</strong> en kontinuert afbildning defineret på den åbne mængde V i R 3 .<br />

(2) Betingelsen (iii) er for ethvert q ∈ U ækvivalent med en af følgende betingelser<br />

(iii)’ Matricen<br />

har rang 2.<br />

(iii)’’ Vektorerne ∂x<br />

∂u<br />

(iii)’’’ Vektorproduktet ∂x<br />

∂u<br />

⎛<br />

∂x<br />

∂u (q) ∂x<br />

∂v (q)<br />

⎞<br />

⎜<br />

Dxq = ⎜ ∂y<br />

⎝∂u<br />

(q)<br />

∂y<br />

∂v (q)<br />

∂z<br />

∂u (q) ∂z<br />

∂v (q)<br />

⎟<br />

⎠<br />

∂x (q), (q) er lineært uafhængige.<br />

∂v<br />

(q) ∧ ∂x<br />

∂v<br />

(q) er forskellig fra nul.<br />

I disse formler er x(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) for (u, v) ∈ U ⊆ R2 , og<br />

∂x ∂x<br />

(q) hhv. (q) betegner tangenterne <strong>til</strong> de respektive kurver u ↦→ x(u, v0)<br />

∂u ∂v<br />

hhv. v ↦→ x(u0, v) gennem punktet x(q) = x(u0, v0).<br />

(3) Af definition 8.1 følger at S er overdækket af koordinatomegne U ′ α = xα(Uα),<br />

α ∈ A,<br />

S = <br />

xα(Uα)<br />

α∈A<br />

da ethvert punkt af S er indeholdt i en sådan.<br />

45


46 8. Regulære flader i R 3<br />

Lemma 8.3. Lad S ⊆ R 3 være en regulær flade og W ⊆ S en delmængde. Så er<br />

følgende ækvivalente:<br />

(i) W er åben i S (i sportopologien).<br />

(ii) For ethvert koordinatsystem (U, x) gælder at x −1 (W) ⊆ R 2 er åben.<br />

(iii) For ethvert p ∈ W findes et koordinatsystem (U, x) med p ∈ x(U) så x −1 (W) ⊆<br />

R 2 er åben.<br />

Bevis. (i) ⇒ (ii) er klar da x: U → S er kontinuert.<br />

(ii) ⇒ (iii) er klar.<br />

(iii) ⇒ (i). Overdæk W med koordinatomegne {U ′ α }α∈A med <strong>til</strong>hørende parametriseringer<br />

xα: Uα → U ′ α, således at x−1 α (W) = x−1 α (U ′ α ∩ W) er åben. Så er iflg.<br />

Definition 8.1 (ii) U ′ α ∩ W åben i S så<br />

W = <br />

∩ W<br />

α∈A<br />

er åben i S. <br />

Eksempel 8.4 (Sfæren). S 2 = {(x, y, x) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 = 1}. Lad U ⊆ R 2 ,<br />

U = {(u, v) | u 2 + v 2 < 1} og sæt x(u, v) = (u, v, √ 1 − u 2 − v 2 ), (u, v) ∈ U. Så er<br />

U ′ α<br />

x(U) = U ′ = S 2 ∩ V, (u, v) ∈ U<br />

hvor V = {(x, y, z) | z > 0} og x−1 : U ′ → U er restriktionen af projektionen<br />

π: V → U givet ved π(x, y, z) = (x, y). Dvs. x er en homeomorfi. Endvidere er<br />

Jacobi-matricen<br />

⎛ ⎞<br />

1 0<br />

Dx = ⎝0<br />

1⎠<br />

∗ ∗<br />

klart af rang 2. På samme måde dækkes den nedre halvkugle og <strong>til</strong>svarende den<br />

østlige og vestlige halvkugle med lokale kortomegne. Heref ses at S 2 er en regulær<br />

flade.<br />

På sfæren er det ofte nyttigt at bruge de sfæriske koordinater konstrueret som<br />

følger: Lad (θ, ϕ) ∈ R 2 og sæt<br />

x(θ, ϕ) = (sin θ cosϕ, sin θ sin ϕ, cosθ).<br />

Her er x ikke injektiv; men restriktionen <strong>til</strong> f.eks.<br />

U = {(θ, ϕ) | 0 < θ < π, 0 < ϕ < 2π}<br />

er injektiv og afbilder på U ′ ⊆ S 2 \ C, hvor<br />

C = {(x, y, z) | x ≥ 0}.


8.1. Generelle konstruktioner af flader 47<br />

Hvad angår betingelserne (i)–(iii) i Definition 8.1 er (i) klar og for (iii) udregnes let<br />

at<br />

⎛<br />

⎞<br />

cosθ cosϕ − sin θ sin ϕ<br />

Dx = ⎝cosθ<br />

sin ϕ sin θ cosϕ ⎠<br />

− sin θ 0<br />

så <br />

∂x<br />

∂θ<br />

<br />

∂x<br />

∧ <br />

∂ϕ<br />

2<br />

= (cos 2 θ + sin 2 θ) sin 2 θ − 0 = sin 2 θ = 0<br />

for 0 < θ < π, dvs. (iii) er opfyldt. At (ii) er opfyldt følger af en sætning som vises<br />

senere.<br />

8.1 Generelle konstruktioner af flader<br />

Graf for en differentiabel (C ∞ ) funktion<br />

Proposition 8.5. Lad U ⊆ R 2 være en åben mængde og f : U → R en C ∞ funktion.<br />

Så er grafen for F<br />

en regulær flade.<br />

S = {(x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ U}<br />

Bevis. Vi har ét koordinatsystem (U, x), med x: U → S = U ′ defineret ved<br />

x(u, v) = (u, v, f(u, v)), (u, v) ∈ U. Idet V = U × R ⊆ R2 × R = R3 er V ∩ S = S<br />

og x−1 = π|S, hvor π(x, y, z) = (x, y), for (x, y, z) ∈ V . Heraf ses at (i) og (ii) i<br />

Definition 8.1 er opfyldt. Endvidere er det klart at Jacobi-matricen<br />

⎛ ⎞<br />

1 0<br />

Dx = ⎝ 0 1 ⎠<br />

∂f<br />

∂u<br />

har rang 2 i ethvert punkt af U. <br />

Løsningsmængden for en ligning<br />

Definition 8.6. Lad U ⊆ R n åben, F : U → R m en C ∞ funktion.<br />

1. p ∈ U kaldet et kritisk punkt og F(p) en kritisk værdi for F hvis dFp: R n → R m<br />

ikke er surjektiv, dvs. hvis rang DFp < m.<br />

2. p ∈ U kaldes et regulært punkt hvis det ikke er kritisk, dvs. hvis rang DFp = m.<br />

3. a ∈ R m kaldes en regulær værdi hvis det ikke er en kritisk værdi, dvs. hvis<br />

ethvert p ∈ F −1 (a) er et regulært punkt, altså hvis<br />

∂f<br />

∂v<br />

rang DFp = m, ∀p ∈ F −1 (a).


48 8. Regulære flader i R 3<br />

Vi skal særligt betragte f : U → R, U ⊆ R3 . I dette <strong>til</strong>fælde (med variable (x, y, z) ∈<br />

R3 ) er Jacobi-matricen for f givet ved gradienten<br />

<br />

∂f ∂f ∂f<br />

Dfp = (p), (p),<br />

∂x ∂y ∂z (p)<br />

<br />

= fx(p), fy(p), fz(p) ,<br />

og der gælder<br />

p ∈ U er kritisk punkt ⇐⇒ ∂f ∂f ∂f<br />

(p) = (p) = (p) = 0<br />

∂x ∂y ∂z<br />

(8.1)<br />

a ∈ R er regulær værdi ⇐⇒ Dfp = (0, 0, 0) ∀p ∈ f −1 (a). (8.2)<br />

Proposition 8.7. Lad U ⊆ R 3 , f : U → R en C ∞ funktion og lad a ∈ R være en<br />

regulær værdi. Så er S = f −1 (a) ⊆ R 3 en regulær flade.<br />

Bevis. Bemærk at<br />

S = f −1 (a) = (x, y, z) ∈ U | f(x, y, z) = a <br />

og lad p = (x0, y0, z0) ∈ S. Så gælder ifølge antagelserne Dfp = (0, 0, 0). Antag uden<br />

indskrænkning ∂f<br />

∂z (p) = 0 og definer F : U → R3 ved<br />

⎛ ⎞<br />

x<br />

F(x, y, z) = ⎝ y ⎠ .<br />

f(x, y, z)<br />

Jacobi-matricen for denne afbildning i p er<br />

⎛<br />

1 0 0<br />

DFp = ⎝ 0 1 0<br />

∂f<br />

∂x (p)<br />

∂f<br />

∂y (p)<br />

∂f<br />

∂z (p)<br />

så det DFp = ∂f<br />

(p) = 0. Ifølge Invers Funktionssætningen (Sætning 7.4 + Ad-<br />

∂z<br />

dendum 7.6) kan vi finde åbne omegne V af p = (x0, y0, z0) og W af F(p) =<br />

(x0, y0, a) så F : V → W er en diffeomorfi. Uden indskrænkning kan vi antage<br />

W = N × (a − ε, a + ε), N ⊆ R2 en åben omegn af (x0, y0), ε > 0. Idet vi bruger de<br />

variable (u, v, t) ∈ W ⊆ R3 er<br />

F(x, y, z) = x, y, f(x, y, z) = (u, v, t), (u, v) ∈ N, |a − t| < ε<br />

dvs. (x, y, z) = F −1 (u, v, t) = u, v, g(u, v, t) . Specielt for t = a fås<br />

Sæt h(u, v) = g(u, v, a), for (u, v) ∈ N.<br />

Påstand.<br />

⎞<br />

⎠<br />

f(u, v, g(u, v, a)) = a (8.3)<br />

f −1 (a) ∩ V = grafen for h<br />

= {(u, v, h(u, v)) | (u, v) ∈ N}.


8.1. Generelle konstruktioner af flader 49<br />

Thi lad (u, v) ∈ N; så er q = (u, v, h(u, v)) ∈ f −1 (a) ifølge (8.3), og da F(q) =<br />

(u, v, a) ∈ W er q ∈ V . Omvendt lad q = (x, y, z) ∈ f −1 (a) ∩ V . Så er<br />

F(x, y, z) = (x, y, a) ∈ N × {a},<br />

så (x, y) ∈ N og z = g(x, y, a) = h(x, y), så q ∈ grafen for h. Dette viser ovenstående<br />

påstand. <br />

Ifølge Proposition 8.5 er f −1 (a) ∩ V nu en regulær flade med lokalt kort<br />

x: N → f −1 (a) ∩ V<br />

givet ved x(u, v) = (u, v, h(u, v)), hvilket dermed givet et lokalt koordinatsystem for<br />

S i en omegn af p. <br />

Eksempel 8.8 (Ellipsoiden). Lad a, b, c > 0 og betragt S ⊆ R 3 :<br />

Sæt<br />

Så et S = f −1 (0) og<br />

S =<br />

<br />

(x, y, z) ∈ R 3<br />

<br />

<br />

f(x, y, z) = x2<br />

a<br />

b<br />

x2 y2 z2<br />

+ +<br />

2 2<br />

a<br />

y2 z2<br />

+ + 2 2<br />

Df(x,y,z) =<br />

b<br />

c<br />

<br />

= 1 .<br />

2<br />

c 2 − 1, (x, y, z) ∈ R3 .<br />

<br />

2x 2y 2z<br />

, ,<br />

a2 b2 c2 <br />

.<br />

Denne vektor er kun nul for (x, y, z) = (0, 0, 0), så det eneste kritiske punkt for f<br />

er (0, 0, 0) som ikke ligger på S. Ifølge Proposition 8.7 er S derfor en regulær flade.<br />

Specielt for a = b = c = 1 fås at S = S 2 er en regulær flade.<br />

Eksempel 8.9 (Omdrejningshyperboloiden). Lad<br />

Så er S = f −1 (0) for funktionen<br />

S = (x, y, z) ∈ R 3 −x 2 − y 2 + z 2 = 1 .<br />

f(x, y, z) = −x 2 − y 2 + z 2 − 1, (x, y, z) ∈ R 3 .<br />

Igen er kun (0, 0, 0) kritisk punkt for f og (0, 0, 0) /∈ S så S er en regulær flade.<br />

Bemærk at S ikke er kurvesammenhængende. Thi antag γ : [0, 1] → S kontinuert<br />

kurve så γ(0) = (0, 0, −1) og γ(1) = (0, 0, 1) og skriv γ på formen γ(t) =<br />

x(t), y(t), z(t) . Så er z(t) en kontinuert funktion så z(t) 2 = 1 + x(t) 2 + y(t) 2 ≥ 1<br />

for alle t ∈ [0, 1]; dvs. enten z(t) ≥ 1 ∀ t ∈ [0, 1] eller z(t) ≤ −1 ∀ t ∈ [0, 1]. Men<br />

dette strider mod at z(0) = −1 og z(1) = 1.


50 8. Regulære flader i R 3<br />

Eksempel 8.10 (Torus eller ringfladen). Vælg 0 < r < a og betragt cirklen i<br />

(y, z)-planen med centrum i (0, a, 0) og radius r. Denne roteres omkring z-aksen<br />

hvorved fladen S dannes<br />

S = (x, y, z) ∈ R 3 x 2 + y 2 − a 2 + z 2 = r 2 <br />

Her er S ⊆ V = (x, y, z) ∈ R 3 (x, y) = (0, 0) og f : V → R givet ved<br />

er C ∞ . Nu er S = f −1 (0) og<br />

Df(x,y,z) =<br />

f(x, y, z) = x 2 + y 2 − a 2 + z 2 − r 2<br />

2x x 2 + y 2 − a <br />

x 2 + y 2<br />

så mængden C af kritiske punkter for f er<br />

, 2xx2 + y2 − a <br />

, 2z<br />

x2 + y2 C = {(x, y, z) ∈ R 3 | z = 0 og enten x = y = 0 eller x 2 + y 2 = a 2 }<br />

Da C ∩ S = ∅ er S en regulær flade.<br />

8.2 Egenskaber ved flader og glatte afbildninger<br />

Proposition 8.11. Lad S ⊆ R 3 være en regulær flade og lad p ∈ S. Så findes en<br />

åben omegn V ⊆ S af p så V er grafen for en C ∞ funktion på formen z = f(x, y),<br />

y = g(x, z) eller x = h(y, z).<br />

Bevis. Lad (u, x) være et lokalt koordinatsystem med p = x(q), q ∈ U, og U ′ =<br />

x(U). Så er<br />

og<br />

x(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) , (u, v) ∈ U ⊆ R 2 ,<br />

⎛<br />

⎜<br />

Dxq = ⎜<br />

⎝<br />

∂x<br />

∂u (q)<br />

∂y<br />

∂u (q)<br />

∂z<br />

∂u (q)<br />

∂x<br />

∂v (q)<br />

∂y<br />

∂v (q)<br />

∂z<br />

∂v (q)<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

har rang 2. Vi kan så uden indskrænkning antage<br />

<br />

∂x<br />

∂u<br />

det<br />

(q) ∂x<br />

∂v (q)<br />

<br />

= 0.<br />

∂y<br />

∂u (q)<br />

∂y<br />

∂v (q)<br />

Betragt π: R 3 → R 2 givet ved π(x, y, z) = (x, y), så π ◦x (u, v) = x(u, v), y(u, v) <br />

har invertibel Jacobi-matrix i q. Ifølge Invers Funktionssætningen (Sætning 7.4)<br />

findes åbne omegne V1 ⊆ U af q og V2 = π ◦ x (V1) ⊆ R 2 så π ◦ x: V1 → V2 er en<br />

diffeomorfi. Så er V = x(V1) en åben omegn af p ∈ S, og x◦(π ◦x) −1 : V2 → V ⊆ R 3


8.2. Egenskaber ved flader og glatte afbildninger 51<br />

er en C ∞ afbildning. Men π x◦ π◦x −1 (x, y) = (x, y) så der findes en C ∞ funktion<br />

f : V2 → R så<br />

x ◦ π ◦ x −1 (x, y) = x, y, f(x, y) , (x, y) ∈ V2.<br />

Dvs. V er grafen for f. <br />

Bemærkning. Her er x1 = x◦ π◦x −1 : V2 → V altså et koordinatsystem ligesom<br />

i Proposition 8.5. Vi vil kalde et sådant for et graf-koordinatsystem. Proposition 8.11<br />

udtrykker altså at ethvert punkt på en regulær flade har en koordinatomegn for et<br />

graf-koordinatsystem.<br />

Hvis en delmængde S ⊆ R 3 vides at være en regulær flade er betingelse (ii) i<br />

Definition 8.1 for et koordinatsystem overflødig:<br />

Proposition 8.12. Lad S ⊆ R 3 være en regulær flade, lad U ⊆ R 2 være åben og<br />

lad x: U → S være en injektiv afbildning så<br />

(i) x: U → S ⊆ R 3 er C ∞ ,<br />

(iii) for alle q ∈ U er dxq : R 2 → R 3 injektiv<br />

Så er U ′ = x(U) åben i S og<br />

(ii) x: U → U ′ er en homeomorfi.<br />

Bevis. Det er nok at vise at U ′ = x(U) er åben; thi så gælder for enhver åben<br />

delmængde U1 ⊆ U også at x(U1) ⊆ S er åben da betingelserne i propositionen er<br />

opfyldt for x|U1 : U1 → S. Heraf følger (ii). For at vise at U ′ = x(U) er åben i S er<br />

det ifølge Lemma 8.3 nok at vise at der for et vilkårligt p ∈ U ′ findes et passende<br />

koordinatsystem y: W → S med p ∈ W ′ = y(W) så y −1 (U ′ ) er åben i R 2 . Her<strong>til</strong><br />

kan vi ifølge Proposition 8.11 vælge et graf-koordinatsystem<br />

y(x, y) = x, y, f(x, y) , (x, y) ∈ W ⊆ R 2 ,<br />

med invers afbildning π|W ′ : W ′ → W, hvor igen π er projektionen π(x, y, z) = (x, y)<br />

for (x, y, z) ∈ R 3 . Så er N = x −1 (W ′ ) ⊆ U åben og h = π|W ◦ x: N → W er<br />

givet ved h(u, v) = x(u, v), y(u, v) . Nu er x = y ◦ h, så ifølge kædereglen og<br />

forudsætning (iii) har h ikke-singulær Jacobi-matrix i ethvert punkt af N. Ifølge<br />

Invers Funktionssætningen (Sætning 7.4) er h så en lokal diffeomorfi og da den<br />

samtidig er injektiv er<br />

h(N) = y −1 x(N) = y −1 (W ′ ∩ U ′ ) = y −1 (U ′ )<br />

åben i W ⊆ R 2 , hvilket skulle vises. <br />

Sætning 8.13. Lad S være en regulær flade og x: U → U ′ et koordinatsystem på<br />

S. Lad W ⊆ R n være en åben mængde og f : W → R 3 en C ∞ -afbildning, således at<br />

f(W) ⊆ U ′ . Så er x −1 ◦ f : W → U en C ∞ -afbildning.


52 8. Regulære flader i R 3<br />

Bevis. Vi bruger samme teknik som ovenfor. Det er nok at vise at x −1 ◦ f er C ∞<br />

i en omegn af et vilkårligt punkt p ∈ W. Lad f(p) = x(q), q ∈ U og antag som i<br />

beviset for Proposition 8.11 at Jacobi-matricen for π ◦ x(u, v) = x(u, v), y(u, v) <br />

er ikke-singulær i punktet q. (Igen er π: R 3 → R 2 projektionen π(x, y, z) = (x, y),<br />

(x, y, z) ∈ R 3 .) Igen følger det af Invers Funktionssætningen at der findes åbne<br />

omegne V1 ⊆ U af q så π ◦ x (V1) = V2 ⊆ R 2 er åben og h = π ◦ x: V1 → V2 er<br />

en diffeomorfi. Sæt V ′<br />

1 = x(V1) ⊆ S som altså er en omegn af x(q) = f(p); og igen<br />

er y = x ◦ h−1 : V2 → V ′<br />

1 et graf-koordinatsystem med invers y−1 = h ◦ x−1 = π|V ′ 1 .<br />

Da nu f : W → S ⊆ R3 er kontinuert mht. sportopologien for S ⊆ R3 kan vi uden<br />

indskrænkning antage f(W) ⊆ V . Men så er<br />

x −1 ◦ f = x −1 ◦ y ◦ y −1 ◦ f = h −1 ◦ π ◦ f<br />

som er en sammensætning af C ∞ afbildninger og dermed C ∞ . <br />

Korollar 8.14. Lad W ⊆ R n være åben og f : W → R 3 en kontinuert afbildning<br />

med f(W) ⊆ S, S ⊆ R 3 en regulær flade. Så er flg. ækvivalente:<br />

(i) f : W → R 3 er en C ∞ afbildning.<br />

(ii) For ethvert koordinatsystem (U, x) med koordinatomegn U ′ ⊆ S er<br />

x −1 ◦ <br />

−1<br />

f| f −1 (U ′ ) : f (U) → U<br />

en C∞ afbildning.<br />

(iii) Der findes overdækning U ′ <br />

α af S med koordinatonegne hørende <strong>til</strong> koor-<br />

α∈A<br />

dinatsystemer (Uα, xα) så x−1 α ◦ <br />

∞ f| f −1 (Uα) er C for alle α ∈ A.<br />

Bevis. Umiddelbart fra Sætning 8.13 og Lemma 8.3. <br />

Korollar 8.15 (Parameterskift-sætningen). Lad S ⊆ R 3 være en regulær flade,<br />

lad p ∈ S og x: U → U ′ , y: V → V ′ to koordinatsystemer med p ∈ U ′ ∩V ′ = W ′ . Så<br />

er h = x −1 ◦y: y −1 (W ′ ) → x −1 (W ′ ) en diffeomorfi med C ∞ invers h −1 = y −1 ◦x −1 .<br />

Bevis. h er klart bijektiv. Nok at vise at h er C ∞ , thi så er h −1 = y −1 ◦ x også<br />

C ∞ ved symmetri. Men h er C ∞ ifølge Sætning 8.13 anvendt på koordinatsystemet<br />

(V, y). <br />

Korollar 8.16. Lad S være en regulær flade, f : S → R n en afbildning og lad p ∈ S.<br />

Lad endvidere x: U → U ′ , y: V → V ′ være to koordinatsystemer med p ∈ U ′ ∩ V ′ .<br />

Så gælder<br />

f ◦ x er C ∞ i en omegn af x −1 (p), hvis og kun hvis f ◦ y er C ∞ i en<br />

omegn af y −1 (p).


8.2. Egenskaber ved flader og glatte afbildninger 53<br />

Bevis. Lad W ′ = U ′ ∩ V ′ . Så er h = y −1 ◦ x: x −1 (W ′ ) → y −1 (W ′ ) en diffeomorfi.<br />

Så hvis f ◦ x er C ∞ i en omegn Ω af x −1 (p) er<br />

f ◦ y = f ◦ x ◦ x −1 ◦ y = f ◦ x ◦ h −1<br />

C ∞ i omegnen h(Ω) af h x −1 (p) = y −1 (p). Det omvendt følger ved symmetri. <br />

Definition 8.17. (i) En afbildning f : S → R n kaldes C ∞ i en omegn af p ∈ S<br />

hvis der findes et koordinatsystem x: U → U ′ ⊆ S så f ◦ x er C ∞ i en omegn<br />

af x −1 (p).<br />

(ii) f : S → R n kaldes C ∞ hvis f er C ∞ i en omegn af p for alle p ∈ S.<br />

Bemærkning 8.18. Det følger af Korollar 8.16 at hvis f : S → R n er C ∞ så er<br />

f ◦ x: U → R n C ∞ for ethvert koordinatsystem (U, x).<br />

Eksempel 8.19. Lad S være en regulær flade, S ⊆ V , V ⊆ R 3 en åben delmængde<br />

og lad f : V → R n være en C ∞ afbildning. Så er f|S : S → R n en C ∞ afbildning.<br />

Special <strong>til</strong>fælde er følgende:<br />

(1) Højdefunktionen: Lad v ∈ R 3 , |v| = 1, og definer h: S → R ved<br />

h(p) = v · p, p ∈ S,<br />

hvor · betegner sædvanligt indre produkt i R 3 . Her er h klart restriktionen af<br />

en C ∞ funktion på hele R 3 .<br />

(2) Afstandsfunktionen ‘i anden’: Lad p0 ∈ S og sæt<br />

f(p) = |p − p0| 2 = (p − p0) · (p − p0), p ∈ S.<br />

Så er igen f restriktionen af en C ∞ funktion på hele R 3 .<br />

Vi har altså set at en afbildning fra (en åben delmængde i) R n <strong>til</strong> en flade S eller<br />

fra fladen S <strong>til</strong> R n er C ∞ hvis og kun hvis sammensætningen med lokale parametriseringer<br />

giver C ∞ afbildninger. Vi vil definere differentiabilitet for afbildninger<br />

mellem flader på en analog måde:<br />

Lad S1, S2 ⊆ R 3 være regulære flader og antag at ϕ: S1 → S2 er en kontinuert<br />

afbildning mth. sportopologien på S1 og S2. For et punkt p ∈ S1 kan vi finde<br />

koordinatsystemer x1: U1 → U ′ 1 ⊆ S1 og x2: U2 → U ′ 2 ⊆ S2 med p ∈ U ′ 1 og<br />

ϕ(U ′ 1 ) ⊆ U ′ 2 og vi definerer nu:<br />

Definition 8.20. (i) En kontinuert afbildning ϕ: S1 → S2 kaldes C∞ i en omegn<br />

af p ∈ S1 hvis der findes koordinatsystemer som ovenfor så afbildningen x −1<br />

2 ◦<br />

ϕ ◦ x1: U1 → U2 er C∞ i en omegn af x −1<br />

1 (p).<br />

(ii) En kontinuert afbildning ϕ: S1 → S2 kaldes C ∞ hvis den er C ∞ i en omegn af<br />

p for alle p ∈ S1.<br />

(iii) En bijektion ϕ: S1 → S2 kaldes en diffeomorfi hvis både ϕ og ϕ −1 er C ∞<br />

afbildninger.


54 8. Regulære flader i R 3<br />

Korollar 8.21. Lad S1, S2 være regulære flader og ϕ: S1 → S2 en kontinuert afbildning.<br />

Så er følgnde udsagn ækvivalente:<br />

(i) ϕ: S1 → S2 er en C ∞ afbildning (iflg. Definition 8.20).<br />

(ii) ϕ: S1 → R 3 er en C ∞ afbildning (iflg. Definition 8.17).<br />

(iii) For et vilkårligt par af koordinatsystemer x1: U1 → U ′ 1 ⊆ S1, x2: U2 → U ′ 2 ⊆<br />

S2, med ϕ(U ′ 1 ) ⊆ U ′ 2<br />

er afbildningen x−1<br />

2 ◦ ϕ ◦ x1: U1 → U2 en C ∞ afbildning.<br />

Bevis. Opgave. <br />

Eksempel 8.22. Lad S1, S2 være regulære flader og antag S1 ⊆ V1, S2 ⊆ V2,<br />

V1, V2 ⊆ R 3 åbne delmængder. Lad f : V1 → V2 være en diffeomorfi med f(S1) = S2.<br />

Så er ϕ = f|S1 : S1 → S2 en diffeomorfi med invers f −1 |S2. Thi både ϕ og ϕ −1 er<br />

C ∞ ifølge Eksempel 8.19 og Korollar 8.21.<br />

Special <strong>til</strong>fælde er følgende<br />

(1) Affin afbildning. Lad f : R 3 → R 3 være en afbildning på formen f(p) = p0 +Ap,<br />

hvor p0 ∈ R 3 er fast og A er en given invertibel matrix. Antag at f(S1) = S2.<br />

Så er ϕ = f|S1 : S1 → S2 en diffeomorfi.<br />

(2) Spejling. Lad σ: R 3 → R 3 være givet ved σ(x, y, z) = (x, y, −z) og antag at en<br />

flade S <strong>til</strong>fredss<strong>til</strong>ler p ∈ S ⇒ σ(p) ∈ S. Så er σ: S → S en diffeomorfi med<br />

invers σ da σ 2 = id. Et eksempel på S er omdrejningshyperboloiden (Eksempel<br />

8.9).<br />

(3) Rotation. For θ ∈ R lad Rθ : R3 → R3 være den lineære afbildning givet ved<br />

matricen ⎛<br />

⎞<br />

cosθ − sin θ 0<br />

⎝sin<br />

θ cosθ 0⎠.<br />

0 0 1<br />

Bemærk at R−θ ◦ Rθ = id, så hvis det for en flade S gælder at Rθ(S) = S for<br />

alle θ ∈ R så er Rθ : S → S en diffeomorfi for alle θ. I så fald kaldes S rotationsinvariant.<br />

Et eksempel er torus (Eksempel 8.10). Mere generelle eksempler ses<br />

herunder.


8.2. Egenskaber ved flader og glatte afbildninger 55<br />

Eksempel 8.23 (Omdrejningsflade). I (x, z)-planen betragtes en regulær parametriseret<br />

kurve α: (a, b) → R 3<br />

α(v) = f(v), 0, g(v) , v ∈ (a, b).<br />

Dvs. f ′ (v), g ′ (v) = (0, 0) ∀v ∈ (a, b). Lad C = α(a, b) og antag<br />

(i) α: (a, b) → R 2 (= R × {0} × R) er injektiv,<br />

(ii) f(v) > 0 for alle v ∈ (a, b),<br />

(iii) α: (a, b) → C er en homeomorfi.<br />

Sæt<br />

S = (x, y, z) ∈ R 3 x 2 + y 2 , 0, z ∈ C .<br />

Proposition 8.24. S er en regulær flade som er rotations-invariant.<br />

Bevis. Det ses let at Rθ(S) = S for alle θ ∈ R, så vi skal blot vise at S er en regulær<br />

flade. Lad os vise at U ′ = S ∩ {(x, y, z) | y > 0} er en regulær flade idet det er<br />

analogt for S ∩ {(x, y, z) | y < 0}, S ∩ {(x, y, z) | x > 0 og S ∩ {(x, y, z) | x < 0}.<br />

Sæt U = (−1, 1) × (a, b) ⊆ R 2 og definer x: U → U ′ ved<br />

x(u, v) = uf(v), f(v) √ 1 − u 2 , g(v) , (u, v) ∈ U.<br />

Så er x klart C ∞ og bijektiv med x −1 : U ′ → U givet ved x −1 (x, y, z) = (u, v), hvor<br />

v = α −1 x 2 + y 2 , 0, z) og u = x<br />

v<br />

= x<br />

<br />

α −1 x 2 + y 2 , 0, z <br />

for (x, y, z) ∈ U ′ . Da α−1 : C → (a, b) er kontinuert er x−1 : U ′ → U kontinuert.<br />

Endelig er Jacobi-matricen for x:<br />

⎛<br />

f(v) uf<br />

⎜<br />

Dx(u,v) = ⎜<br />

⎝<br />

′ (v)<br />

√ −uf(v)<br />

√<br />

1−u2 1 − u2 ′ f (v)<br />

0 g ′ ⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

(v)<br />

som let ses at have rang 2 ifølge forudsætningerne på α. Dvs. at (U, x) er et lokalt<br />

koordinatsystem så S er en regulær flade.


9 Opgaver<br />

1.1. Lad X være en mængde, og d : X ×X → R funktionen d(x, y) = 0 hvis x = y<br />

og d(x, y) = 1 hvis x = y. Vis at (X, d) er et metrisk rum.<br />

1.2. Lad (X, d) være et metrisk rum og lad a > 0. Lad da : X × X → R være givet<br />

ved<br />

<br />

d(x, y) hvis d(x, y) < a<br />

da(x, y) =<br />

a hvis d(x, y) ≥ a<br />

Vis at da er en afstandsfunktion, og at da og d er ækvivalente.<br />

1.3. Vis at funktionerne · 2 og · ∞ i Eksempel 1.5 er normer.<br />

1.4. Vis følgende påstande om de åbne mængder i et metrisk rum:<br />

a) Lad Uα, α ∈ A være en vilkårlig familie af åbne mængder. Så er <br />

α∈A Uα<br />

åben<br />

b) Lad U1, . . .,Un være åbne mængder. Så er U1 ∩ · · · ∩ Un åben.<br />

1.5. Vis at kuglerne B(x, r) er åbne mængder.<br />

1.6. Lad N1 og N2 være to normer på vektorrummet V . De kaldes ækvivalente hvis<br />

der findes k > 0 og K > 0 så at kN1(v) ≤ N2(v) ≤ KN1(v)<br />

a) Vis at dette er en ækvivalensrelation på mængden af normer, og at hvis<br />

dN1 er ækvivalent <strong>til</strong> dN2 så er N1 ækvivalent <strong>til</strong> N2.<br />

b) Vis at normerne (eller metrikkerne) fra Eksempel 1.11 alle er ækvivalente.<br />

2.1. Vis at Q ⊂ R er en fuldstændiggørelse.<br />

2.2. Lad l2 være vektorrummet af følger {xk} af reelle tal med ∞ k=1 x2k < ∞. Vis<br />

at l2 har et indre produkt givet ved<br />

〈{xk}, {yk}〉 =<br />

∞<br />

xkyk.<br />

Vis at l 2 er fuldstændigt m.h.t. den inducerede norm {xk}2 = ( x 2 k )1/2 .<br />

2.3. På vektorrummet Mn(R) af reelle n × n matricer defineres<br />

k=1<br />

|A| = sup |Ax|,<br />

|x|=1<br />

hvor |Ax| er den Euklidiske norm på R n . Vis at dette definerer en norm på<br />

Mn(R), som kaldes operatornormen.<br />

A


B 9. Opgaver<br />

2.4. Vis at operatornormen på Mn(R) opfylder<br />

Vis at |AB| ≤ |A| · |B|.<br />

|A| = inf c ∈ R |Ax| ≤ c|x| for alle x ∈ R n <br />

2.5. Overvej hvornår en række ∞ k=1 vk er konvergent i et fuldstændigt, normeret<br />

vektorrum (V, | · |). Vis at ∞ k=1 vk er konvergent såfremt ∞ k=1 |vk| er konvergent.<br />

3.1. Lad f : R × I → R være funktionen<br />

f(x, t) = a(t)x + b(t),<br />

hvor a, b : I → R er kontinuerte, og I er et vilkårligt åbent interval. Vis for<br />

t0 ∈ I, x0 ∈ R at differentialligningen (3.2) har en entydig bestemt løsning<br />

med x(t0) = x0. (Hjælp: Antag først at x(t) er en løsning <strong>til</strong> (3.2), og find en<br />

differentialligning som<br />

opfylder.)<br />

<br />

y(t) = x(t) exp −<br />

t<br />

t0<br />

<br />

a(s) ds<br />

4.1. Lad Mn(R) være udstyret med operatornormen. Vis at<br />

exp(A) =<br />

er konvergent. Vis at exp(A + B) = exp(A) · exp(B) når AB = BA.<br />

4.2. Løs differentialligningen<br />

for A ∈ Mn(R).<br />

∞<br />

k=0<br />

A k<br />

k!<br />

x ′ (t) = A · x(t), x(0) = x0<br />

5.1. Lad (X, d) være et metrisk rum, og lad Td være familien af åbne delmængder<br />

af X fra Definition 1.6. Vis at Td er en topologi på X.<br />

5.2. Vis, at metrikkerne i Eksempel 1.11 er ækvivalente


9. Opgaver C<br />

5.3. Lad (X, d) være et metrisk rum, og x1 = x2 to forskellige punkter i X. Vis,<br />

at der findes åbne mængder U1, U2 ∈ Td, så x1 ∈ U1, x2 ∈ U2 og U1 ∩ U2 = ∅<br />

(Man kan vælge U1 og U2 <strong>til</strong> at være åbne kugler).<br />

Vis, at der findes topologiske rum, som ikke opfylder denne betingelse.<br />

5.4. En afbildning mellem topologiske rum X = (X, TX) og Y = (Y, TY ), f : X →<br />

Y kaldes kontinuert i punktet x ∈ X, såfremt f −1 (V ) er en omegn af x for<br />

enhver omegn V af f(x). Vis at dette stemmer overens med (1.8), hvis X og<br />

Y er metriske rum med de <strong>til</strong>hørende topologier fra opgave 5.1.<br />

Vis, at en afbildning f : X → Y er kontinuert, hvis og kun hvis den er<br />

kontinuert i alle sine punkter.<br />

5.5. Lad (R n , d) være den Euklidiske metrik. Find ∂Bd(x, r), int Bd(x, r) og Bd(x, r).<br />

Samme spørgsmål for Bd(x, r), se (1.7).<br />

5.6. Vis, at TX i (5.5) er en topologi, og at det er den groveste topologi, hvor f<br />

bliver kontinuert.<br />

Vis, at TY i (5.6) er en topologi og den fineste, hvor f er kontinuert.<br />

5.7. Bevis Lemma 5.12<br />

5.8. Vis, at de åbne kugler Bd(x, r) i et metrisk rum (X, d) udgør en basis for Td.<br />

5.9. Vis, at B = {B(x, ε) | x ∈ Q n , ε ∈ Q, ε > 0} udgør en basis for den Euklidiske<br />

topologi på R n .<br />

5.10. Lad (X1, d1) og (X2, d2) være metriske rum. Vi definerer en metrik på X1 ×X2<br />

ved<br />

d((x1, x2), (y1, y2)) = max(d1(x1, y1), d2(x2, y2))<br />

Vis, at (X1 × X2, Td) er produkttopologien.<br />

5.11. Lad X og Y være topologiske rum, f : X → Y en afbildning, og antag at<br />

X = X1 ∪ X2 for to delmængder X1 og X2 af X.<br />

a) Antag, at X1 og X2 er åbne delmængder af X. Vis, at f er kontinuert,<br />

hvis og kun hvis f|X1 og f|X2 er kontinuerte m.h.t. sportopologierne for<br />

X1 og X2.<br />

b) Antag, at X1 og X2 er lukkede delmængder af X. Vis, at f er kontinuert,<br />

hvis og kun hvis f|X1 og f|X2 er kontinuerte i sportopologierne.<br />

5.12. Lad X være et topologisk rum og A ⊆ X en delmængde.<br />

a) Vis, at x ∈ A, hvis og kun hvis enhver omegn af x i X indeholder punkter<br />

fra A; i såfald kaldes x et berøringspunkt.<br />

b) Vis, at hvis x ∈ A, så gælder enten (i) eller (ii):<br />

(i) at x er et berøringspunkt for A − {x}


D 9. Opgaver<br />

(ii) at der findes en omegn U af x, så U ∩ A = {x}.<br />

I <strong>til</strong>fælde (i) kaldes X et fortætningspunkt for A, og i <strong>til</strong>fælde (ii) kaldes<br />

x et isoleret punkt i A.<br />

5.13. Lad X1, X2 og X3 være topologiske rum. Vi kan anvende Definition 5.18 (to<br />

gange) <strong>til</strong> at definere en topologi T på (X1×X2)×X3. Vi kan ligeledes definere<br />

en topologi T ′ på X1 × (X2 × X3). Vis, at T = T ′ .<br />

5.14. Bevis Proposition 5.21<br />

5.15. Vis, at de eneste sammenhængende delmængder af R er intervaller.<br />

5.16. Lad X være et topologisk rum.<br />

(a) Vis, at der defineres en ækvivalensrelation i X ved fastsættelsen: x ∼<br />

y, hvis og kun hvis der findes en sammenhængende delmængde, som<br />

indeholder både x og y. Ækvivalensklasserne for denne relation kaldes<br />

sammenhængskomponenterne i X.<br />

(b) Vis, at en sammenhængskomponent er en lukket delmængde<br />

(c) Vis, at hvis alle sammenhængskomponenter er åbne, så er X homeomorf<br />

med den topologiske sum af disse.<br />

(d) Vis, at hvis X har højst endeligt mange sammenhængskomponenter, så<br />

er disse alle åbne.<br />

(e) Find sammenhængskomponenterne i eksempel 5.23, og afgør, om de er<br />

åbne.<br />

5.17. Lad X være et topologisk rum og lad {Aα | α ∈ I} være en familie af sammenhængende<br />

delmængder, for hvilke der gælder: For alle α, α ′ ∈ I findes en<br />

endelig følge α = α1, . . .,αk = α ′ , så Aαi ∩ Aαi+1 = ∅ for i = 1, . . ., k − 1. Vis,<br />

at A = <br />

α∈I Aα er sammenhængende.<br />

5.18. Vis Bolzano-Weierstrass’ sætning. Lad X være et sammenhængende rum og<br />

f : X → R en kontinuert funktion. Vis, at hvis a, b ∈ f(X) og a < c < b, så er<br />

også c ∈ f(X).<br />

5.19. Vis, at produktet af to sammenhængende rum igen er sammenhængende.<br />

5.20. Vis at mængderne i eksempel 5.26 er sammenhængende.<br />

5.21. Vis, at den n-dimensionale kugleskal S n er sammenhængende for n ≥ 1.<br />

5.22. (a) Vis, at en åben, sammenhængende delmængde af R n er kurvesammehængende.<br />

(b) Vis, at en åben delmængde af R n er en foreningsmængde af disjunkte,<br />

sammenhængende, åbne delmængder.<br />

5.23. Vis, at S 1 og S 2 ikke er homeomorfe. (Vink: Fjern to punkter.)


9. Opgaver E<br />

6.1. Lad T være følgende familie af delmængder af C = R 2 .<br />

T = {C − F | F endelig eller tom } ∪ {∅}<br />

a) Vis, at T definerer en topologi på C. Denne kaldes Zariski-topologien.<br />

b) Vis, at (C, T ) ikke er Hausdorff.<br />

c) Vis, at (C, T ) er kompakt.<br />

6.2. Vis, at et topologiske rum er Hausdorff, hvis og kun hvis diagonalen<br />

∆(X) = {(x, x) ∈ X × X | x ∈ X}<br />

er en lukket delmængde af X × X (i produkttopologien).<br />

6.3. Lad X være en mængde udstyret med den diskrete topologi (TX = P(X)).<br />

Vis, at X er kompakt, hvis og kun hvis X er endelig.<br />

6.4. Et Hausdorff-rum kaldes lokalt kompakt, hvis ethvert punkt har en omegn, som<br />

er en kompakt delmængde.<br />

Lad X være lokalt kompakt, og betragt mængden X∞ = X ⊔ {∞}, den disjunkte<br />

forening af X og et ekstra punkt ∞. Lad T∞ ⊆ P(X∞) bestå af TX ∪T ′ ,<br />

hvor T ′ = {(X − K) ⊔ {∞} | K ⊆ X kompakt }.<br />

a) Vis, at T∞ er en topologi på X∞. Man kalder X∞ = (T∞, X∞) for<br />

etpunkts-kompaktifikationen af X.<br />

b) Vis, at X∞ er kompakt og Hausdorff.<br />

6.5. Vis, at etpunkts-kompaktifikationen af R er homeomorf med cirklen S 1 .<br />

6.6. Lad Z n ⊆ R n være den additive undergruppe af (x1, . . .,xn) med xi ∈ Z. Vis,<br />

at R n /Z n med kvotienttopologien er homeomorf med T n = S 1 × · · · × S 1 , n<br />

faktorer. Her gives T n sportopologien fra T n ⊆ R 2 × · · · × R 2 = R 2n .<br />

6.7. Lad (X, d) være et kompakt, metrisk rum.<br />

(a) Vis for A ⊆ X, at diameteren<br />

diam(A) = sup{d(x, y) | x, y ∈ A}<br />

er et endeligt reelt tal. Vis desuden, at hvis A er lukket, så findes x, y ∈ A,<br />

så d(x, y) = diam(A).<br />

(b) (Lebesgues lemma) Lad nu {Uα | α ∈ I} være en åben overdækning af<br />

X. Vis, at der findes et reelt tal, δ > 0 (et Lebesguetal for overdækningen),<br />

således at hvis A ⊆ X har diam(A) < δ, så findes α ∈ I, så A ⊆ Uα.<br />

(Vink: Overdæk X med kugler på formen B(x, ε(x)) så B(x, 2ε(x)) ⊆<br />

Uα(x) (α(x) ∈ I), og vis at δ kan vælges mindre end ε(x) for <strong>til</strong>strækkeligt<br />

mange x ∈ X.)


Appendices<br />

G


A Greens sætning i planen<br />

Vi får brug for følgende sætning fra integrationsteori:<br />

Sætning A.1 (Transformationssætningen for integraler). Lad U, U ⊆ R2 og<br />

h : U → U en diffeomorfi. Så er en funktion f på U integrabel hvis og kun hvis f ◦h<br />

er integrabel. I så fald gælder<br />

<br />

f = (f ◦ h) |det(Dh)|<br />

dvs.<br />

<br />

U<br />

U<br />

<br />

<br />

<br />

f(ū, ¯v)dūd¯v = (f ◦ h)(u, v) <br />

det<br />

U<br />

U<br />

<br />

∂ū<br />

∂u<br />

∂¯v<br />

∂u<br />

∂ū<br />

∂v<br />

∂¯v<br />

∂v<br />

dudv.<br />

Vi vil ikke vise denne sætning, men kun bemærke, at et special<strong>til</strong>fælde er integration<br />

i polære koordinater:<br />

Eksempel A.2. Lad U = {(r, θ) | r > 0, −π < θ < π}, U = R 2 − {(x, 0) | x ≦ 0},<br />

og h : U → U givet ved<br />

Så er<br />

h(r, θ) = (r cosθ, r sin θ), (r, θ) ∈ U.<br />

det Dh = det<br />

<br />

cosθ −r sin θ<br />

= r<br />

sin θ r cosθ<br />

Sætning A.1 giver derfor i dette <strong>til</strong>fælde, at for f : U → R integrabel er<br />

<br />

r π<br />

f(x, y)dxdy = f(r cosθ, r sin θ)rdθdr.<br />

U<br />

0<br />

−π<br />

Lad nu U ⊂ R 2 åben og Q ⊂ U et kompakt “regulært” område med ∂Q sporet for en<br />

stykkevis C ∞ kurve α som er positivt orienteret med hensyn <strong>til</strong> Q (dvs. tværvektoren<br />

<strong>til</strong> α ′ “peger ind” i Q). Vi vil ikke definere “regulært område” men kun behandle visse<br />

eksempler, hvor vi vil vise følgende:<br />

Sætning A.3 (Greens sætning). For A, B : U → R C∞ funktioner gælder<br />

b<br />

∂B ∂A <br />

′ ′<br />

− dudv = A(α(s))u (s) + B(α(s))v (s) ds.<br />

∂u ∂v<br />

Q<br />

Notation. Højre side skrives ofte kort<br />

<br />

b<br />

′ ′<br />

(Adu + Bdv) := A(α(s))u (s) + B(α(s))v (s) ds.<br />

α<br />

a<br />

a<br />

I


J A. Greens sætning i planen<br />

Eksempel A.4. Lad Q = [0, a] × [0, b],<br />

<br />

Q<br />

∂B<br />

∂u<br />

(0, b)<br />

(0, 0)<br />

<br />

∂A<br />

− dudv =<br />

∂v<br />

b<br />

= B(a, v)dv −<br />

0<br />

= (Adu + Bdv).<br />

α<br />

b a<br />

b<br />

0<br />

0<br />

0<br />

∂B<br />

dudv −<br />

∂u<br />

B(0, v)dv −<br />

a<br />

0<br />

a b<br />

0<br />

0<br />

A(u, b)du +<br />

(a, b)<br />

α<br />

(a, 0)<br />

∂A<br />

∂v dvdu<br />

a<br />

0<br />

A(u, 0)du<br />

Lemma A.5. Lad h : U → U, U, U ⊆ R 2 åbne, og h en orienteringsbevarende<br />

diffeomorfi (dvs. det(Dh) > 0). Hvis Greens sætning er sand for Q ⊆ U, så er den<br />

også sand for h(Q) ⊆ U.<br />

Bevis. Sæt Q = h(Q) med randkurve ¯α = h ◦ α, og lad (u, v) ∈ U, (ū, ¯v) ∈ U,<br />

betegne de respektive koordinater så<br />

h(u, v) = ū(u, v), ¯v(u, v) , (u, v) ∈ U.<br />

Lad Ā, ¯ B ∈ C∞ og bemærk først at<br />

<br />

<br />

<br />

Ādū + Bd¯v ¯ = (Adu + bDv) (A.1)<br />

hvor A og B er givet ved<br />

thi ifølge kædereglen er så<br />

¯α<br />

α<br />

A = Ā∂ū<br />

∂u + ¯ B ∂¯v<br />

, B = Ā∂ū<br />

∂u ∂v + ¯ B ∂¯v<br />

, (A.2)<br />

∂v<br />

Ā dū<br />

ds + ¯ B d¯v<br />

ds<br />

= Adu + Bdv<br />

ds ds .<br />

Ved at differentiere A og B i (A.2) og brug af kædereglen fås ved udregning:<br />

∂B<br />

∂u<br />

∂A<br />

−<br />

∂v =<br />

<br />

∂B¯ ∂ū<br />

<br />

∂Ā<br />

− det Dh.<br />

∂¯v


A. Greens sætning i planen K<br />

Af transformationssætningen for integraler (Sætning A.1) fås så da det Dh > 0:<br />

<br />

∂B¯ <br />

∂Ā ∂B ∂A<br />

− dūd¯v = − dudv. (A.3)<br />

∂ū ∂¯v<br />

Q ∂u ∂v<br />

Q<br />

Ved at sammenholde (A.1) og (A.3) ses at Greens sætning for Ā, ¯ B over Q er ækvivalent<br />

med sætningen for A, B over Q. <br />

Eksempel A.6. Lad Q ⊆ R 2 være begrænset af en glat kurve ¯α på formen<br />

ā = r(θ) cos(θ), r(θ) sin(θ) , a ≤ θ ≤ b, (b − a) ≤ 2π<br />

og to radiale kurver fra (0, 0).<br />

Lad<br />

U = (u, v) ∈ R 2 | u > 0, v ∈ I <br />

I ⊆ R interval indeholdende [a, b] hvor<strong>til</strong> ¯α udvider glat. Sæt h : U → R 2<br />

Så er h(Q) = Q for<br />

h(u, v) = uα(v), (u, v) ∈ U.<br />

Q = [0, 1] × [a, b]<br />

og h er bijektiv på denne mængde og er en orienteringsbevarende diffeomorfi på<br />

R+ × I idet<br />

det(Dh) = det(α, uα ′ ) = r 2 u > 0.<br />

For ε > 0 fås således af Eksempel A.4 og ovenstående Lemma A.5<br />

<br />

∂B¯ <br />

∂Ā<br />

Ādū <br />

− dūd¯v = + − + + Bd¯v ¯<br />

∂ū ∂¯v<br />

Q ε<br />

¯α<br />

hvor Qε = h(Qε), Qε = [ε, 1] × [a, b] samt γε a (t) = tα(a) og γε b (t) = tα(b), ε ≤ t ≤ 1.<br />

For ε → 0 fås således<br />

<br />

∂B¯ ∂ū<br />

Q ε<br />

∂Ā<br />

− dūd¯v =<br />

∂¯v<br />

¯α<br />

γ ε a<br />

<br />

+<br />

γ 0 a<br />

γ ε b<br />

<br />

−<br />

γ 0 b<br />

¯α<br />

ε¯α<br />

Ādū + ¯ Bd¯v .


L A. Greens sætning i planen<br />

Bemærkning A.7.<br />

(1) Hvis i dette eksempel ¯α er en lukket kurve, dvs. a = b = 2π, reducerer højresiden<br />

<strong>til</strong> <br />

Ādū + ¯ Bd¯v.<br />

¯α<br />

(2) Formlen i eksempel A.6 udvides let <strong>til</strong> <strong>til</strong>fældet hvor α er stykkevis C ∞ .


B Nogle begreber fra lineær algebra i 2<br />

dimensioner<br />

B.1 Vektorrum og lineære afbildninger<br />

Vi begynder med at repetere de centrale begreber fra kapitel 3 i F. Beauregard:<br />

Linear algebra vedrørende abstrakt 2-dimensionale vektorrum. Tangentplanen Tp S<br />

<strong>til</strong> en regulær flade S ⊂ R 3 er vores primære eksempel. Det er et underrum af<br />

talrummet R 3 .<br />

En delmængde V ⊂ R 3 er et underrum såfremt<br />

v1, v2 ∈ V ⇒ v1 + v2 ∈ V<br />

λ ∈ R, v ∈ V ⇒ λv ∈ V.<br />

Det er et 2-dimensionalt underrum, såfremt det har en basis bestående af to vektorer<br />

b1 ∈ V og b2 ∈ V , dvs.<br />

(i) V = {λ1b1 + λ2b2 | λ1, λ2 ∈ R}<br />

(ii) λ1b1 + λ2b2 = 0 ⇒ λ1 = 0 og λ2 = 0.<br />

En afbildning f : V → W mellem vektorrum er lineær hvis f(λ1v1 + λ2v2) =<br />

λ1f(v1) + λ2f(v2) for vilkårlige v1, v2 ∈ V og λ1, λ2 ∈ R. En lineær afbildning<br />

f : R2 → R2 er giver ved en 2 × 2 matrix:<br />

<br />

a11 a12 1<br />

A = , hvor f =<br />

0<br />

Så er<br />

f<br />

a21 a22<br />

x1<br />

x2<br />

<br />

= x1f<br />

<br />

1<br />

+ x2f<br />

0<br />

a11<br />

a21<br />

<br />

0<br />

=<br />

1<br />

<br />

og f<br />

a11 a12<br />

a21 a22<br />

<br />

0<br />

=<br />

1<br />

x1<br />

En basis B = {b1, b2} for V inducerer en isomorfi<br />

ˆB: R 2 → V, B(λ1, ˆ λ2) = λ1b1 + λ2b2.<br />

a12<br />

Hvis B1 og B2 er to baser for V , så er overgangsmatricen T12 givet ved det kommutative<br />

diagram<br />

R 2<br />

ˆB1<br />

V<br />

T12<br />

ˆB2<br />

R 2<br />

x2<br />

<br />

.<br />

a22<br />

<br />

.<br />

, T12 = ˆ B −1<br />

2 ◦ ˆ B1. (B.1)<br />

Lad f : V → W være en lineær afbildning mellem 2-dimensionale vektorrum, og lad<br />

B og C være baser for henholdsvis V og W. Vi definerer den lineære afbildning<br />

F : R 2 → R 2 ved det kommutative diagram<br />

ˆB<br />

V<br />

R 2<br />

f<br />

W<br />

F R 2<br />

Ĉ , F = Ĉ−1 ◦ f ◦ ˆ B. (B.2)<br />

M


N B. Nogle begreber fra lineær algebra i 2 dimensioner<br />

F opfattet som et element af Mat2(R) kaldes matricen for f m.h.t. baserne B og C.<br />

Hvis B1 og C1 er andre baser for henholdsvis V og W, så har vi diagrammet<br />

R 2<br />

ˆB1<br />

V<br />

T R 2<br />

ˆB<br />

f<br />

F<br />

W<br />

Ĉ<br />

R 2<br />

T ′<br />

Ĉ1 , (B.3)<br />

hvor de to trekanter og firkanten er kommutative. Da det ydre diagram også må<br />

være kommutativt, ser vi at matricen for f m.h.t baserne B1 og C1 er<br />

R 2<br />

(T ′ ) −1 FT ∈ Mat2(R). (B.4)<br />

Et vigtigt special<strong>til</strong>fælde af ovenstående er V = W og B = C, hvor F i (B.2) giver<br />

matricen for f : V → V m.h.t. basen B. Hvis B1 er en anden basis for V , så ser vi<br />

fra (B.4), at matricen for f mht. basen B1 er<br />

T −1 FT ∈ Mat2(R)<br />

hvor T er overgangsmatricen som gør diagrammet<br />

kommutativt.<br />

Da det(AB) = det A det B og tr(AB) = tr(BA), er<br />

R 2<br />

ˆB1<br />

V<br />

T<br />

ˆB<br />

R 2<br />

det(T −1 FT) = det(F) og tr(T −1 FT) = tr(F)<br />

hvor det og tr betegner henholdsvis determinant og spor af de pågældende 2 × 2matricer.<br />

Vi kan derfor <strong>til</strong> enhver lineær afbildning f : V → V af et 2-dimensionalt<br />

underrum definere to reelle tal<br />

det(f) ∈ R og tr(f) ∈ R (B.5)<br />

ved at vælge en basis B = {b1, b2} for V og udregne determinant og spor for matricen<br />

svarende <strong>til</strong> F : R 2 → R 2 . Hvis<br />

så er<br />

f(b1) = λ11b1 + λ21b2, f(b2) = λ12b1 + λ22b2,<br />

det(f) = λ11λ22 − λ12λ21, tr(f) = λ11 + λ22 (B.6)<br />

og disse tal afhænger ikke af valg af basen B.


B.2. Indre produkt O<br />

B.2 Indre produkt<br />

Et 2-dimensionalt underrum V ⊆ R 3 arver et indre produkt 〈 , 〉 fra dot-produktet<br />

i R 3 . For v ∈ V og w ∈ V sættes<br />

〈v, w〉 = v1w1 + v2w2 + v3w3<br />

(B.7)<br />

hvor v = (v1, v2, v3) og w = (w1, w2, w3). Dette er et indre produkt på V , se F.<br />

Beauregard side 230–235 og side 326–357. Specielt gælder Cauchy-Schwartz uligheden<br />

|〈v, w〉| ≤ vw, (B.8)<br />

hvor v er længden af v givet ved v2 = 〈v, v〉. Vinklen 0 ≤ θ ≤ π mellem v og w<br />

defineres ved ligningen<br />

〈v, w〉<br />

cosθ = . (B.9)<br />

vw<br />

En ortonormal basis for (V, 〈 , 〉) består af vektorer e1, e2 ∈ V således at<br />

〈e1, e2〉 = 1, 〈e1, e2〉 = 0, 〈e2, e2〉 = 1. (B.10)<br />

En lineær afbildning f : V → V kaldes selvadjungeret hvis der gælder<br />

〈f(v), w〉 = 〈v, f(w)〉 (B.11)<br />

for ethvert par af vektorer v, w ∈ V . Vi udregner matricen for f med hensyn <strong>til</strong> en<br />

ortonormal basis {e1, e2}:<br />

Det følger fra (B.10), at<br />

f(e1) = λ11e1 + λ21e2, f(e2) = λ12e1 + λ22e2.<br />

〈f(e1), e2〉 = λ21, 〈e1, f(e2)〉 = λ12,<br />

således at f er selvadjungeret hvis og kun hvis matricen for f mht. en ortonormal<br />

basis er symmetrisk (λ12 = λ21). Det understreges, at matricen for en selvadjungeret<br />

matrix ikke behøver at være symmetrisk med mindre basen er ortonormal.<br />

Sætning B.1. Vektorrummet V har en ortonormal basis.<br />

Bevis. Vælg en vektor e1 ∈ V med e1 = 1. Lad L = {v ∈ V | 〈v, e1〉 = 0} være<br />

det ortogonale komplement. Dette er et underrum af V . Da V er 2-dimensionalt<br />

findes et b2 ∈ V så at {e1, b2} er en basis for V . Så er<br />

e ′ 2 = b2 − 〈b2, e1〉e1 ∈ L.<br />

Dette er ikke nulvektoren, da e1 og b2 er lineært uafhængige, og vi kan derfor definere<br />

e2 = 1<br />

e ′ 2 e′ 2 .<br />

Så er {e1, e2} en ortonormal basis for V .


P B. Nogle begreber fra lineær algebra i 2 dimensioner<br />

Sætning B.2. Lad f : V → V være en selvadjungeret lineær afbildning. Så findes<br />

en ortonormal basis {e1, e2} for V som består af egenvektorer for f,<br />

f(e1) = λ1e1, f(e2) = λ2e2.<br />

Bevis. Vi vælger en vilkårlig ortonormal basis {b1, b2} for V . Lad<br />

f(b1) = λ11b1 + λ21b2, f(b2) = λ12b1 + λ22b2 (B.12)<br />

med λ12 = λ21. Matricen for f er den symmetriske matrix<br />

<br />

λ11 λ12<br />

Λ = .<br />

λ21 λ22<br />

Nu ved vi fra Sætning 6.8 i F. Beauregard, side 354 at der findes en ortogonal matrix<br />

C (CT C = I), så<br />

C −1 <br />

λ1 0 c11 c12<br />

ΛC = , C = .<br />

Vi påstår, at<br />

0 λ2<br />

c21 c22<br />

e1 = c11b1 + c21b2, e2 = c12b1 + c22b2 (B.13)<br />

er en ortonormal basis for f bestående af egenvektorer med egenværdier λ1 og λ2.<br />

Da {b1, b2} er en ortonormal basis giver en let udregning, at<br />

〈e1, e2〉 = c 2 11 + c221 = 1<br />

〈e1, e2〉 = c12c11 + c21c22 = 0<br />

〈e2, e2〉 = c 2 12 + c 2 22 = 1,<br />

hvor de højre lighedstegn kommer fra ligningen C T C = I, der udtrykker at C er<br />

ortogonal.<br />

Vi udregner under brug af (B.12) og (B.13):<br />

f(e1) = c11f(b1) + c21f(b2)<br />

= (c11λ11 + c21λ12)b1 + (c11λ21 + c21λ22)b2<br />

= (λ1c11b1 + λ1c21b2)<br />

hvor det sidste lighedstegn følger fra ligningen<br />

<br />

λ1 0<br />

ΛC = C<br />

0 λ2<br />

ved at udregne begge siders 1. søjle. Tilsvarende vises, at f(e2) = λ2e2. <br />

Bemærkning B.3. I den ortonormale basis {e1, e2} kan enhver vektor v med<br />

v = 1 skrives på formen<br />

v = cosθe1 + sin θe2,


B.2. Indre produkt Q<br />

og<br />

〈f(v), v〉 = 〈cosθ · λ1e1 + sin θ · λ2e2, cosθe1 + sin θe2〉<br />

= λ1 cos 2 θ + λ1 sin 2 θ.<br />

Funktionen ϕ(θ) = λ1 cos 2 θ + λ2 sin 2 θ har<br />

og θ = 0, θ = π<br />

2<br />

Det følger, at<br />

ϕ ′ (θ) = (λ2 − λ1) sin(2θ) = 0 for θ = 0 + kπ, θ = π<br />

+ kπ,<br />

2<br />

er derfor ekstremums punkter. Vi har<br />

〈f(v), v〉 = λ1 for θ = 0 + kπ<br />

〈f(v), v〉 = λ2 for θ = π<br />

+ kπ.<br />

2<br />

max(λ1, λ2) = max{〈f(v), v〉 | v = 1}<br />

min(λ1, λ2) = min{〈f(v), v〉 | v = 1}<br />

Dette kan bruges <strong>til</strong> at give et andet bevis for Sætning B.2, se doCarmo side 214–216.

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!