06.08.2013 Views

Offentlige foredrag i naturvidenskab - Aarhus Universitet

Offentlige foredrag i naturvidenskab - Aarhus Universitet

Offentlige foredrag i naturvidenskab - Aarhus Universitet

SHOW MORE
SHOW LESS

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Leverage SEO-optimized Flipbooks, powerful backlinks, and multimedia content to professionally showcase your products and significantly increase your reach.

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

<strong>Offentlige</strong> <strong>foredrag</strong> i <strong>naturvidenskab</strong><br />

nat.au.dk/<strong>foredrag</strong><br />

Det Naturvidenskabelige Fakultet, <strong>Aarhus</strong> <strong>Universitet</strong><br />

Folkeuniversitetet i Århus<br />

Symmetrier og mønstre


Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

Symmetrier og Mønstre<br />

Symmetri, molekylær gastronomi og livets kemi, Karl Anker Jørgensen, Kemi<br />

Symmetri og netværk i biologiens verden, Jens Mogens Olesen, Biologi<br />

Symmetri, partikelfysik og kosmologi, Jeffrey S,. Hangst, Fysik<br />

Symmetri og matematik i natur og forståelse, Johan P. Hansen, Matematik og Søren Ryge, Danmarks Radio<br />

Krystalsymmetri og et røntgenblik på livets molekyler, Poul Nissen, Molekylærbiologi


Johan P. Hansen<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

Ph.D. fra Brown University, RI, USA og cand. scient. fra <strong>Aarhus</strong> universitet<br />

Institutleder ved Institut for Matematiske Fag, Det Naturvidenskabelige Fakultet, <strong>Aarhus</strong> <strong>Universitet</strong><br />

Forskningsområde: Algebraisk geometri og anvendelser i Kodningsteori, Kryptografi<br />

Lærebogsforfatter


M. C. Escher<br />

(1898-1972)<br />

lavede 137<br />

tegninger med<br />

regulær opdeling af<br />

planen.<br />

www.mcescher.com<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

M. C. Escher og Alhambra<br />

Symmetrigrupper<br />

Det krystallografiske kriterium<br />

Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller


Historie<br />

M.C. Escher blev<br />

facineret af den<br />

regulære opdeling<br />

af planen, da han<br />

første gang i 1922<br />

besøgte Alhambra<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

M. C. Escher og Alhambra<br />

Symmetrigrupper<br />

Det krystallografiske kriterium<br />

Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller


Historie<br />

Alhambra - et slot<br />

bygget af Maurerne<br />

i Granada i Spanien<br />

i det 14. århundrede<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

M. C. Escher og Alhambra<br />

Symmetrigrupper<br />

Det krystallografiske kriterium<br />

Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller


Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

M. C. Escher og Alhambra<br />

Symmetrigrupper<br />

Det krystallografiske kriterium<br />

Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller


Definition<br />

En symmetri af et<br />

objekt er en<br />

afbildning, der fører<br />

objektet i sig selv -<br />

objektet er invariant<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

Eksempel<br />

M. C. Escher og Alhambra<br />

Symmetrigrupper<br />

Det krystallografiske kriterium<br />

Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />

En ligesidet 3-kant har 6 symmetrier<br />

3 spejlinger: s1, s2, s3<br />

2 rotationer: r, r ◦ r<br />

identiteten: e<br />

s3<br />

s1<br />

s2<br />

r


Komposition<br />

Symmetrier kan<br />

sættes sammen -<br />

først anvendes den<br />

ene, derpå den<br />

næste. Skrives f ◦ g.<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

Symmetrigruppe<br />

M. C. Escher og Alhambra<br />

Symmetrigrupper<br />

Det krystallografiske kriterium<br />

Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />

Alle symmetrierne under et (med den<br />

beskrevne komposition) kaldes<br />

symmetrigruppen og skrives (G, ◦).<br />

I eksemplet med den ligesidede 3-kant er<br />

G = {e, r, r 2 = r ◦ r, s1, s2, s3}<br />

og kompositionstabellen er:<br />

◦ e r r 2<br />

s1 s2 s3 e e r r 2<br />

s1 s2 s3 r r r 2<br />

e s2s3 s1 r 2<br />

e r r s3 s1 s2 s1 s1 s3 s2 e r 2<br />

r<br />

s2 s2 s1 s3 r e r 2<br />

s3 s3 s2 s1 r 2<br />

r e


Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

M. C. Escher og Alhambra<br />

Symmetrigrupper<br />

Det krystallografiske kriterium<br />

Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />

Symmetrigruppen for en terning<br />

En terning har 24 rotations symmetrier<br />

8 rotationer om diagonalerne - 2 om hver<br />

af de 4 diagonaler<br />

9 rotationer omkring akser gennem<br />

modstående sider - 3 om hver af de 3<br />

akser<br />

6 rotationer omkring akser gennem<br />

modstående kanter -1 om hver af de 6<br />

akser<br />

identiteten<br />

samt 24 spejlingssymmetrier.<br />

Symmetrigruppen for en terning har altså 48<br />

elementer.


Symmetri-gruppen<br />

for en Escher<br />

tegning<br />

3-folds rotationssymmetrier<br />

translationer<br />

langs gitteret<br />

∞ symmetri-gruppe.<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

M. C. Escher og Alhambra<br />

Symmetrigrupper<br />

Det krystallografiske kriterium<br />

Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller


Opsummering<br />

Til ethvert objekt<br />

knytter vi dets<br />

symmetri-gruppe,<br />

nemlig alle de<br />

afbildninger, der<br />

holder objektet<br />

invariant<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

M. C. Escher og Alhambra<br />

Symmetrigrupper<br />

Det krystallografiske kriterium<br />

Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />

Objekt → Symmetri-gruppe (Felix Klein)<br />

s3<br />

s1<br />

r<br />

s2<br />

↦→ gruppe med 6 elementer<br />

↦→ gruppe med 48 elementer<br />

↦→<br />

Rotationer af gitre<br />

∞ gruppe<br />

med et translations gitter<br />

Hvilke rotationer af plane eller rumlige<br />

translations gitre er mulige?


Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

Theorem (Det krystallografiske kriterium)<br />

M. C. Escher og Alhambra<br />

Symmetrigrupper<br />

Det krystallografiske kriterium<br />

Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />

En rotation af et plant eller rumligt gitter har orden 1, 2, 3, 4<br />

eller 6 - altså er en rotation på 1, 1<br />

2<br />

, 1<br />

3<br />

, 1<br />

4<br />

eller 1<br />

6 omgang.


Bevis opstart 1.del<br />

Lad v være en<br />

korteste translation<br />

af gitteret. Lad f<br />

være en rotation<br />

gennem 2π<br />

N omkring<br />

et punkt (en akse).<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

N ≤ 6<br />

M. C. Escher og Alhambra<br />

Symmetrigrupper<br />

Det krystallografiske kriterium<br />

Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />

Vektoren f (v) − v er en translation af gitteret.<br />

Den kan ikke kan være kortere end v, hvorfor<br />

og dermed er N ≤ 6.<br />

2π<br />

N<br />

≥ 2π<br />

6<br />

2π 6<br />

f(v)<br />

2π N<br />

v<br />

f(v) − v


Bevis opstart 2. del<br />

Lad v være en<br />

korteste translation<br />

af gitteret. Lad f<br />

være en rotation<br />

gennem 2π<br />

5 omkring<br />

et punkt (en akse).<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

N = 5<br />

M. C. Escher og Alhambra<br />

Symmetrigrupper<br />

Det krystallografiske kriterium<br />

Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />

Vektoren v + f 2 (v) er en translation af gitteret,<br />

der er kortere end v, hvorfor vi har en modstrid.<br />

f 2 (v)<br />

f 2 (v)+v<br />

f(v)<br />

2π 5 = 72 ◦<br />

v


Klassifikation<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

M. C. Escher og Alhambra<br />

Symmetrigrupper<br />

Det krystallografiske kriterium<br />

Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />

Alle uendelige grupper af afbildninger af planen (eller rummet)<br />

med et translationsgitter:<br />

Der er 17 grupper i det plane tilfælde<br />

Der er 230 grupper i det rumlige tilfælde (1891) - Fedorov<br />

og Schoenflies<br />

Beviset beror i høj grad på det krystalliske kriterium.


Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

M. C. Escher og Alhambra<br />

Symmetrigrupper<br />

Det krystallografiske kriterium<br />

Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />

Definition Matematisk krystallografi indtil 1984<br />

i slutningen af det 18. århundrede<br />

etableredes opfattelse af krystaller som<br />

gitre med translationssymmetri - et<br />

paradigme var skabt<br />

Matematik: I naturen er der højst 230<br />

forskellige krystalformer - rotationer af<br />

krystaller har orden 1, 2, 3, 4 eller 6<br />

siden 1912 er krystaller studeret ved<br />

røntgen-, elektron- og<br />

neutrondiffraktionsmønstre


Artikel 1984<br />

Shechtman, Blech,<br />

Gratias, Cahn:<br />

Metallic phase with<br />

long-range<br />

orientational order<br />

and no translation<br />

symmetry<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

1984 - krystalparadigmet smuldrer<br />

Aperiodiske fliselægninger - Penrose<br />

Røntgenbillede med ulovlig 10-folds rotation -<br />

overskrifts videnskab<br />

En legering af aluminium og mangesium<br />

dannet ved hurtig afkøling


Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

Paradigmet om krystallers struktur falder<br />

1984 - krystalparadigmet smuldrer<br />

Aperiodiske fliselægninger - Penrose<br />

Det krystallografiske kriterium: 1-, 2- , 3- , 4- og 6-folds<br />

rotationer er de eneste lovlige symmetrier af rumgitre<br />

Paradigmet: Gitteret er den geometriske grundstruktur for<br />

et krystal er for snævert


Roger Penrose<br />

Konstruerede ved<br />

hjælp af 2 sæt<br />

rhomber en<br />

udfyldning af planen<br />

uden translationssymmetri.<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

1984 - krystalparadigmet smuldrer<br />

Aperiodiske fliselægninger - Penrose<br />

Aperiodiske fliselægning


Rhomberne<br />

Rhomberne har<br />

samme sidelængde,<br />

de røde rhomber<br />

har vinklerne 36 og<br />

144 og de blå<br />

vinklerne 72 og 108<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

1984 - krystalparadigmet smuldrer<br />

Aperiodiske fliselægninger - Penrose<br />

Statistisk rotationssymmetri<br />

hver rød rhombe forekommer i netop 10<br />

forskellige orienteringer (ligesom hver af<br />

de blå)<br />

hver at de 10 orienteringer forekommer<br />

lige hyppigt<br />

frekvensen er altså invariant under<br />

10-folds rotation<br />

forholdet mellem antal røde og antal blå<br />

rhomber er det gyldne forhold<br />

= 1.618 . . .<br />

Φ= 1+√ 5<br />

2


Diffraktion<br />

Optiske mønstre fås<br />

ved at gennemlyse<br />

en plade med huller<br />

- analogt til<br />

Røntgenbilleder<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

1984 - krystalparadigmet smuldrer<br />

Aperiodiske fliselægninger - Penrose<br />

Røntgenbillede” af fliselægning<br />

Placeres hullerne i hjørnerne af Penrose<br />

eksemplet fås et billede (som ved<br />

Røntgenbilledet af et quasi-krystal til højre)<br />

med 10-folds rotationssymmetri.


Quasiart<br />

Vibeka Andersen<br />

John Stephensen<br />

www.quasiart.dk<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

1984 - krystalparadigmet smuldrer<br />

Aperiodiske fliselægninger - Penrose<br />

Egå Gymnasium - The Wall - Skulptur


Phyllotaxi<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

Bladstilling, vækst og form i<br />

biologi<br />

Observation<br />

En matematisk model<br />

En matematisk beskrivelse<br />

Blomkål


Generativ spiral<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

Hofmeister (1868) hypotese:<br />

Vælg position, hvor der er<br />

bedst plads<br />

1 et punkt på hver cirkel<br />

2 ens divergensvinkel d<br />

mellem succesive<br />

punkter<br />

3 ens forhold mellem<br />

succesive radier<br />

Observation<br />

En matematisk model<br />

En matematisk beskrivelse<br />

Model


Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

Parastichities<br />

I spiralgitre synes øjet<br />

åbenbart at forbinde<br />

nærmest naboer til<br />

spiraler - de såkaldte<br />

parastichies<br />

Vi ser 8 røde<br />

parastichities og 13 grå<br />

Observation<br />

En matematisk model<br />

En matematisk beskrivelse<br />

Model


Fibonacci tal<br />

Tallene 8 og 13 indgår i<br />

Fibonacci følgen:<br />

Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .<br />

Et tal er summen af de 2<br />

foregående.<br />

Observation<br />

En matematisk model<br />

En matematisk beskrivelse<br />

Det gyldne forhold<br />

Hvis F n+1<br />

Fn<br />

Fn+1 = Fn + Fn−1<br />

Fn+1<br />

Fn<br />

= 1 + Fn−1<br />

Fn<br />

→ x, så vil<br />

x = 1 + 1<br />

x ⇒ x 2 − x − 1 = 0<br />

x = 1 + √ 5<br />

2<br />

d = 360 ◦ − 360◦<br />

Φ<br />

=Φ= 1, 618 . . .<br />

= 137, 50◦


Symmetri og matematik<br />

Quasi-krystaller<br />

Phyllotaxi<br />

Matematik er en smuk videnskab<br />

Einstein<br />

Hvad skyldes det, at<br />

matematik, der trods alt er<br />

tankevirksomhed løsrevet fra<br />

erfaring, er så<br />

beundringsværdigt tilpasset<br />

virkelighedens genstande?.<br />

Observation<br />

En matematisk model<br />

En matematisk beskrivelse<br />

En rose

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!