06.08.2013 Views

10. maj, 2005 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS ...

10. maj, 2005 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS ...

10. maj, 2005 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS ...

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

<strong>SUPPLERENDE</strong> <strong>OPGAVER</strong> <strong>TIL</strong> <strong>KOMPLEKS</strong><br />

FUNKTIONSTEORI F<strong>2005</strong><br />

JØRGEN VESTERSTRØM<br />

Indledende bemærkninger<br />

<strong>10.</strong> <strong>maj</strong>, <strong>2005</strong><br />

version nr. 8<br />

De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne<br />

passer sammen. Afsnit 0 indeholder opgaver der drejer<br />

sig om komplekse tal, og som er beregnet til første øvelsesgang (der jo<br />

finder sted før forelæsningsstart). Der vil bliver henvist til dem med ’Sm.n’.<br />

Enkelte opgaver er hentet fra I. Stewart & D. Tall, ”Complex Analysis”,<br />

Cambridge University Press. Den blev brugt tidligere her p˚a stedet, og jeg<br />

vil henvise til den med ’S&T’.<br />

0. Komplekse tal ...<br />

S 0.1 (trick). Vis identiteten (x 2 + y 2 )(u 2 + v 2 ) = (xu − yv) 2 + (xv + yu) 2<br />

for alle x,y,u,v ∈ R p˚a en ”smart” m˚ade, fx ved brug af komplekse tal og<br />

deres regneregler. Hvad siger det om mængden {a 2 + b 2 | a,b ∈ N}?<br />

S 0.2 (jf. opg. nr. 0.3). Lad z og w være komplekse tal. Opfattes de som<br />

2-vektorer (dvs. i R 2 ), har de et indre produkt 〈z,w〉. Beregn dette udtrykt<br />

ved z og w (og funktionerne Re og Im).<br />

S 0.3 (jf. opg. nr. 0.2). Lad z og w være komplekse tal. Betragt i den<br />

komplekse plan C parallelogrammet {sz + tw | 0 ≤ s,t ≤ 1}. Beregn dettes<br />

areal udtrykt ved z og w.<br />

S 0.4 (reel kvadratrod). Lad f = √ være den sædvanlige kvadratrodsfunktion<br />

√ : R + → R + . Bevis at f(xy) = f(x)f(y) for alle x,y ∈ R + .<br />

S 0.5 (kompleks kvadratrod). I et kladdehefte fra 1788 blev følgende udregning<br />

fundet:<br />

Hvor gik det galt?<br />

1 = √ 1 = (−1)(−1) = √ −1 √ −1 = i · i = −1<br />

S 0.6 (inversion af [Re z = 1]). Beskriv mængden (en kurve i C)<br />

1<br />

{ | t ∈ R}<br />

1 + it<br />

Angiv p˚a en tegning kurvepunktet svarende til forskellige ”tidspunkter”, fx<br />

t = −∞, −2, −1, −1/2,0,1/2,1,2, ∞.<br />

1


S 0.7 (cirkelligningen: et eks.). Bestem kurven givet ved ligningen<br />

|z| 2 − 8z − 8z = 0<br />

(jargon for {z ∈ C | |z| 2 − 8z − 8z = 0}).<br />

S 0.8. Løs ligningen<br />

z 4 − 2z 3 − 27z + 54 = 0<br />

Indtegn rødderne i den komplekse plan. Betegn de fire rødder med αj,j =<br />

1,2,3,4, og beregn <br />

j<br />

αj, <br />

j


S 0.15. (a) For hvilke z ∈ C eksisterer limn→∞ z n ? (b) Betragt for z ∈ C<br />

delmængden Az = {z n | n = 1,2,3,... } af C. Vi ser p˚a de fire egenskaber<br />

begrænset, lukket (i C), kompakt, diskret (betyder at enhver delmængde er<br />

˚aben i den relative topologi). Afgør for hver af disse egenskaber hvilke Az<br />

der har egenskaben. (c) Angiv for hvert z afslutningen Az (i C ).<br />

1. Holomorfe funktioner<br />

Endnu ingen supplerende opgaver hertil.<br />

2. Kurveintegraler og stamfunktioner<br />

S 2.1. Betragt kurven γ(t) = e it , 0 ≤ t ≤ π (og tegn den). Beregn kurveintegralet<br />

<br />

γ f(z)dz for hver af funktionerne (i) 1/z2 , (ii) 1/z, (iii) cos z, (iv)<br />

sinhz, (v) (exp(z)) 3 , (vi) tan z.<br />

Ingen supplerende opgaver hertil.<br />

3. Cauchys sætninger<br />

4. Anvendelse af Cauchys integralformel<br />

Ingen supplerende opgaver hertil.<br />

5. Argument. Logaritme. Potens<br />

S 5.1. Vedr. CB-opg 5.4: ”T har ingen kontinuert argumentfunktion” . Et<br />

alternativt bevis kan gennemføres indirekte efter flg. udkast: Antag θ er en<br />

s˚adan. S˚a er θ(z/|z|) en kontinuert argumentfunktion p˚a C\{0}. Men C\{0}<br />

har ingen kontinuert argumentfunktion (hvorfor?).<br />

S 5.2. Betragt ellipsen med halvakser a > 0 og b > 0 og parameterfremstilling<br />

γ(t) = acos t + ibsin t for 0 ≤ t ≤ 2π, og benyt det geometrisk<br />

indlysende at ω(γ,0) = 1 til at beregne<br />

2π<br />

0<br />

1<br />

a 2 cos 2 t + b 2 sin 2 t dt<br />

(Brug integralformlen for omløbstal, forlæng tæller og nævner med γ(t) og<br />

del op i real- og imaginærdel).<br />

S 5.3. I en tabel over ubestemte integraler sl˚as følgende op:<br />

<br />

1<br />

a2 cos2 t + b2 sin2 dt = arctan(b tan t) =: F(t)<br />

t a<br />

Vis at det er rigtigt! Men F(2π) − F(0) = 0. Det kan tydeligvis ikke være<br />

det bestemte integral i den foreg˚aende opgave. Hvad er g˚aet galt?<br />

S 5.4. Betragt f(z) = 1<br />

1+z 2. Gør rede for at den er holomorf p˚a C \ {i, −i}.<br />

Find komplekse tal a og b s˚a f(z) = a<br />

<br />

f(z)dz hvor γ er kurven<br />

γ<br />

3<br />

z−i<br />

+ b<br />

z+i<br />

. Udregn kurveintegralerne


(1) |z − i| = 1 med positivt omløb<br />

(2) |z + i| = 1 med positivt omløb<br />

(3) |z| = 2 med positivt omløb<br />

S 5.5. Lad γ1 og γ2 være to lukkede kurver i C \ {0} med samme parameterinterval<br />

[a,b]. Definer kurven γ(t) = γ1(t)γ2(t). Gør rede for at den er en<br />

lukket kurve i C \ {0}. Vis at ω(γ,0) = ω(γ1,0) + ω(γ2,0)<br />

6. Nulpunkter og isolerede singulariteter<br />

I dette afsnit betegner G stedse et omr˚ade i C.<br />

S 6.1. Lad a ∈ G og f,g ∈ H(G). Antag at f har et nulpunkt af orden m i<br />

a, og g har nulpunkt i det samme a af orden n. Find ordenen af nulpunktet<br />

for fg i a.<br />

Samme spørgsm˚al som ovenfor for poler (med f,g ∈ H(G \ {a})).<br />

S 6.2. Lad a ∈ G og f,g ∈ H(G \ {a}). Antag at f har et nulpunkt af orden<br />

m i a (herunder at singulariteten er hævelig), og g har en pol i det samme<br />

a af orden n. Afgør for hvert m,n arten af singulariteten for fg, herunder<br />

angiv udtryk for nulpunkts- og polorden i a.<br />

S 6.3. Formuleringen af resultaterne i de to foreg˚aende opgaver simplificeres<br />

betydeligt med flg. to konventioner: (i) Hvis f i a har en pol of orden n, siges<br />

f at have et nulpunkt af orden −n og (ii) hvis f har en hævelig singularitet<br />

i a med f(a) = 0, siges f at have et nulpunkt af orden 0. Find og bevis<br />

en formel for ordenen af nulpunktet for fg i a udtrykt ved de to faktorers<br />

nulpunktsorden i a.<br />

S 6.4 (den meget lille residuesætning). Antag f er holomorf p˚a G \ {a})<br />

med en simpel pol i a. Tallet limz→a f(z)(z − a) er i simpel-pol-tilfældet<br />

hvad man kalder for residuet for f i a, i symboler Res(f(z),z = a). Lad<br />

r > 0 være s˚a lille at K(a,r) ⊂ G, og betragt randkurven γ = ∂K(a,r) med<br />

positivt omløb. Vis at<br />

<br />

1<br />

f(z)dz = Res(f(z),z = a)<br />

2πi<br />

∂K(a,r)<br />

Vis at Res(f(z),z = a) = d<br />

dz ((z − a)2 f(z)) |z=a (idet selvfølgelig højresiden<br />

skal forst˚as p˚a rette m˚ade, nemlig hvilken?).<br />

1<br />

S 6.5. Vis at f(z) = 1−cos z har en pol z = 0. Hvad er polens orden?<br />

Indse (næsten) uden at regne at koefficient nr. −1 i laurentrækken for f<br />

omkring 0 er 0. Find et komplekst tal c s˚a g(z) = f(z) + c<br />

z2 har en hævelig<br />

singularitet i 0, og angiv g(0). Løs ligningen cos z = 1, (z ∈ C), og angiv<br />

konvergensradius (den ydre) for laurentrækken for f omkring 0. Har f(z)<br />

en stamfunktion p˚a konvergenscirkelringen?<br />

S 6.6. Gør rede for at funktionen f(z) = 1 1<br />

z−1−i + z−1+3i er holomorf p˚a<br />

ringomr˚adet {z | 1 < |z − 1| < 3}, og find dens laurentrække p˚a dette<br />

omr˚ade.<br />

4


cos z<br />

S 6.7. Betragt f(z) = (z−π) 2. Gør rede for at z = π er en pol for f, angiv<br />

polens orden, og beregn laurentrækken for f omkring dette punkt.<br />

S 6.8 (følgekaraterisering af isolerede singulariteter). Flg. tre egenskaber<br />

for f ∈ H(G \ {a}) karakteriserer sigularitetens art:<br />

(1) Der findes et tal c ∈ C s˚a for enhver følge zn med zn → a og zn = a<br />

gælder f(zn) → c<br />

(2) For enhver følge zn med lim zna og zn = a gælder f(zn) → ∞ for<br />

n → ∞.<br />

(3) For ethvert tal c ∈ C findes en følge zn med zn → a og zn = a s˚a<br />

der gælder f(zn) → c<br />

Afgør hvilke egenskaber karakteriserer hvilke typer af singulariteter, og<br />

bevis hvad du finder frem til.<br />

7. Residuer og deres anvendelse<br />

S 7.1. Lad f(z) = |z| 1<br />

3eiArg(z) 3 være hovedgrenen af kubikrodsfunktion i den<br />

1<br />

opsk˚arne plan G = C \ {t + i0 | t ∈ R,t ≤ 0}. Betragt g(z) = f(z) 2−4 .<br />

Find singulariterne for g, bestem deres art og beregn residuerne i de fundne<br />

punkter.<br />

S 7.2. Lad f være holomorf p˚a den udprikkede cirkelskive K ′ (0,r). Antag<br />

at f er ulige: f(−z) = −f(z). Vis at laurentrækken for f omkring 0<br />

kun indeholder led med ulige eksponent. Samme spm. for en lige funktion:<br />

f(−z) = f(z). Beregn residuet<br />

sin z <br />

5,z<br />

Res = 0<br />

sinhz<br />

S 7.3. Lad f være holomorf p˚a G = K ′ (0,π), og antag at |f(z)| ≤ |cot z|<br />

for alle z ∈ G. Vis at singulariteten i 0 er enten hævelig eller en simpel pol.<br />

Ny oplyses yderligere at f opfylder ulighederne |f( 1<br />

n )| ≤ √ n for alle n ∈ N.<br />

Vis at s˚a er singulariteten hævelig.<br />

S 7.4. Lad f ∈ H(G \ {a}) opfylde limn→∞ f(a + 1<br />

) = 2. Vis at singulariteten i a er væsentlig.<br />

i<br />

n<br />

S 7.5. Bestem residuet<br />

Beregn kurveintegralet<br />

Res(cot z,z = 0)<br />

<br />

γ<br />

cot z dz<br />

n ) = 1 og limn→∞ f(a +<br />

hvor γ er enhedscirklen gennemløbet positivt.<br />

Gør rede for at sin z er nulpunktsfri p˚a den udprikkede cirkelskive K ′ (0,π),<br />

men at den ikke har nogen kontinuert logaritme p˚a den mængde.<br />

5


S 7.6. Bevis for ethvert n ∈ N at<br />

d<br />

dz cotn z = −n cot n−1 z − n cot n+1 z<br />

Sæt rn = Res(cot n z,z = 0) for ethvert n ∈ N, og find en rekursionsformel<br />

for følgen (rn). Find til sidst et eksplicit udtryk for rn.<br />

S 7.7. Bestem residuet<br />

1<br />

Res(<br />

sin3 ,z = 0)<br />

z<br />

S 7.8. Bestem for n ∈ N residuet<br />

<br />

1<br />

Res<br />

(1 + z2 <br />

) n,z = 0<br />

6

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!