LINEÆRE 2. ORDENS LIGNINGER Indhold 1. Plan og ...

data.imf.au.dk

LINEÆRE 2. ORDENS LIGNINGER Indhold 1. Plan og ...

LINEÆRE 2. ORDENS LIGNINGER

E. SKIBSTED

Indhold

1. Plan og forudsætninger 1

2. Den lineære 2. ordens ligning 1

3. Wronski determinanten 2

4. Variation af parametre formlen 3

1. Plan og forudsætninger

Vi giver anvendelser af [B, Theorem 5.1] på lineære 2. ordens ligninger.

Variation af parametre formlen kort omtalt i [B, Exercises 5.2.4] forklares i

detaljer. Noterne forudsætter kendskab til [B, Sections 5.1, 5.2]

2. Den lineære 2. ordens ligning

Vi bemærker, at det ikke er afgørende for [B, Theorem 5.1] om tidsintervallet

I er åbent eller lukket (eller halv-åbent). Lad os i det følgende holde os til

konventionen fra [B, Kapitel 3], at I er åbent. Vi ser på ligningen [B, (5.18)],

u ′′ + pu ′ + qu = r, (2.1)

med antagelsen at p, q og r er reelle kontinuerte funktioner defineret på I.

Ved en løsning til (2.1) forstår vi i det følgende en reel to gange differentiabel

funktion u defineret på I, så (2.1) er opfyldt på hele I. Teorien i disse noter

kan let udvides til at omfatte komplekse koefficient-funktioner og løsninger,

skønt vi her holder os helt til det reelle tilfælde. Ved C 2 (I) forstår vi rummet

af reelle to gange kontinuert differentiable funktioner defineret på I. Ud fra

(2.1) ser vi at enhver løsning u til (2.1) opfylder, at u ∈ C 2 (I).

Ved den homogene ligning forstår vi i det følgende (2.1) med r = 0.

Sætning 2.1. (Homogene ligning) Mængden af løsninger til den homogene

ligning udgør et 2-dimensionalt underrum af C 2 (I).

Bevis. Klart er løsningsmængden (løsningsrummet) et underrum.

For en løsning u sættes x1 = u, x2 = u ′ og x = (x1, x2). Så er

x ′

0 1

= Ax; A = . (2.2)

−q −p

Her betragtes x som en søjle-vektor.

16. september 2004, Supplerende noter til [B, Chapter 5], Differentialligninger 2004.

1


Omvendt udgør første-koordinaten af enhver løsning til (2.2) en løsning til

(2.1) med r = 0.

Lad t0 ∈ I være vilkårligt givet. Fra [B, Theorem 5.1] får vi en entydigt

bestemt løsning til begyndelesværdiproblemet

x ′ = Ax; x(t0) = x0. (2.3)

Lad os betegne løsningerne med x0 = ɛ1 = (1, 0) og x0 = ɛ2 = (0, 1) med

henholdsvis γ1 og γ2, jvf. [B, Definition 5.1]. Enhver løsning til (2.2) er på

formen x = c1γ1 + c2γ2 for c1, c2 ∈ R. Heraf fås specielt at første-koordinaten

er udspændt af første-koordinaterne u1 og u1 af henholdsvis γ1 og γ2; altså er

løsningsrummet højst 2-dimensionalt.

Tilbage står at vise at u1 og u2 er lineært uafhængige i C2 (I). Så antag

u = c1u1+c2u2 = 0. Så er også u ′ = c1u ′ 1 +c2u ′ 2 = 0. På matrix-form udtrykkes

disse ligninger som

Gc = 0; c = (c1, c2), G = [γ1, γ2]. (2.4)

Fra [B, Proposition 5.1] ved vi, at den "fundamentale matrix"G(t) er invertibel

for ethvert t. Vi skal her blot bruge invertibiliteten for ét t, f.eks t = t0 hvor

G(t) = I. Vi konkluderer ud fra (2.4) at c = 0, og dermed at c1 = c2 = 0.

Sætning 2.2. (Inhomogene begyndelsesværdiproblem) Givet u0, v0 ∈ R

og t0 ∈ I, så findes der præcist én løsning u til den inhomogene ligning (2.1),

så u(t0) = u0 og u ′ (t0) = v0.

Bevis. Lad A være givet som i (2.2). Betragt begyndelsesværdiproblemet

x ′ = Ax + (0, r); x(t0) = (u0, u ′ 0 ). (2.5)

Fra eksistens-delen af [B, Theorem 5.1] får vi en løsning givet. Lad u være

første-koordinaten. Så løser u ligningen (2.1) såvel som betingelserne u(t0) = u0

og u ′ (t0) = v0.

Omvendt, hvis ũ er en løsning til ligningen (2.1) med de samme begyndelsesbetingelser

som den fundne løsning u, så er x := (u − ũ, u ′ − ũ ′ ) en løsning

til (2.2) med x(t0) = 0. Fra entydigheden i [B, Theorem 5.1] konkluderes så,

at x = 0.

3. Wronski determinanten

For givne løsninger u1 og u2 til den homogene ligning (2.1) med r = 0

defineres Wronski determinanten ved

W(u1, u2)(t) = u1(t)u ′ 2 (t) − u′ 1 (t)u2(t). (3.1)

Lemma 3.1. Lad t0 ∈ I. Så opfylder Wronski determinanten

t

W(u1, u2)(t) = C exp − p(s) ds ; C = W(u1, u2)(t0). (3.2)

Følgende udsagn er ækvivalente:

1) Funktionerne u1 og u2 er lineært uafhængige i C 2 (I).

2) W(u1, u2)(t) = 0 for alle t ∈ I.

2

t0


3) W(u1, u2)(t0) = 0.

Bevis. Vi udregner

d

W = −pW;

dt

heraf fås ved integration (3.2).

Af (3.2) følger det, at 2) og 3) er ækvivalente.

Antag u = c1u1 + c2u2 = 0. Så er også u ′ = c1u ′ 1 + c2u ′ 2

udtrykkes disse ligninger som

Gc = 0; G =

u1 u2

u ′ 1 u′ 2


c1

, c =

c2

= 0. På matrix-form


. (3.3)

Hvis 2) (eller 3)) gælder er G invertibel, og vi slutter at c = 0; altså gælder 1).

Omvendt, antag at W(u1, u2)(t0) = 0; så skal vi vise, at u1 og u2 er lineært

afhængige: Betragt funktionen f(t) = u1(t)u ′ 2 (t0) − u2(t)u ′ 1 (t0). Per antagelse

er f(t0) = 0; klart er f ′ (t0) = 0. Vi slutter så af Sætning 2.2, at f = 0. Den

lineære afhængighed er nu vist hvis enten u ′ 2 (t0) = 0 eller u ′ 1 (t0) = 0. Tilbage

er tilfældet hvor u ′ 1 (t0) = u ′ 2 (t0) = 0. Vi kan så antage, at u1(t0) = 0 og i stedet

betragte funktionen ˜ f(t) = u1(t)u2(t0) − u2(t)u1(t0). På lignende måde ses, at

˜f = 0.


4. Variation af parametre formlen

Vi fandt i Sætning 2.2 en entydigt bestemt løsning u til den inhomogene

ligning (2.1) med begyndelsesbetingelser. I dette afsnit skal vi finde en formel

givet to lineært uafhængige løsninger u1 og u2 til den homogene ligning.

Idéen i den såkaldte variation af parametre metode er at skrive

hvor c1 og c2 nu betragtes som funktioner af t.

Vi differentierer

Lad os for det andet led kræve

u = c1u1 + c2u2, (4.1)

u ′ = (c1u ′ 1 + c2u ′ 2 ) + (c′ 1 u1 + c ′ 2 u2). (4.2)

Herefter fås ved endnu en differentiation

c ′ 1 u1 + c ′ 2 u2 = 0. (4.3)

u ′′ = (c1u ′′ ′′

1 + c2u 2 ) + (c′ 1u′ 1 + c′ 2u′ 2 ). (4.4)

Sammenholdes (2.1) med ligningerne (4.1)–(4.4) ovenfor finder vi kravet

c ′ 1 u′ 1 + c′ 2 u′ 2

Lad os skrive (4.3) og (4.5) på matrix-form

Gc ′ =

0

r


; G =

u1 u2

u ′ 1 u′ 2

3

= r. (4.5)


c1

, c =

c2


. (4.6)


Fra Lemma 3.1 ved vi at G(t) er invertibel for alle t ∈ I. Derfor kan vi skrive

(4.6) som

c ′ = G −1


0

.

r

(4.7)

Ved integration af (4.7) finder vi

t

r(s) −u2(s)

c(t) = c(t0) +

ds.

W(u1, u2)(s) u1(s)

(4.8)

Vi er således ledt til følgende resultat.

t0

Sætning 4.1. (Inhomogene begyndelsesværdiproblem) Antag u1 og u2

er lineært uafhængige løsninger til den homogene ligning (2.1). Lad u0, v0 ∈ R

og t0 ∈ I være givet. Så er løsningen u til den inhomogene ligning (2.1) med

u(t0) = u0 og u ′ (t0) = v0 givet ved

t

u(t) = d1 − W(u1, u2)(s)

−1

u2(s)r(s) ds u1(t)


+ d2 +

t0

t

t0


W(u1, u2)(s)

−1

u1(s)r(s) ds u2(t), (4.9)

hvor konstanterne d1 og d2 er givet ved


d1 u1(t0) u2(t0)

=

u ′ 1 (t0) u ′ 2 (t0)

−1

u0

d2

v0


. (4.10)

Bevis. Verificeres let ved indsættelse.

I løsningsformlen (4.9) ovenfor indgår Wronski determinanten W(u1, u2). Da

vi kender den eksplicit fra (3.2) får vi en mere eksplicit formel ved indsættelse

af udtrykket fra (3.2). Selv med denne “forbedring” vil læseren dog med rette

kunne indvende at formlen (4.9) ikke er “eksplicit”, idet funktionerne u1 og u2

jo stadig indgår. I det generelle tilfælde studeret ovenfor er der imidlertid ingen

formel for løsningerne til den homogene ligning. Som bekendt findes sådanne

formler i tilfældet, hvor p og q er konstante funktioner.

Givet én løsning u1 ved hånden, så er der dog følgende formel for en anden

løsning u2, og der gælder, at kravet om lineær uafhængighed er opfyldt. Vi

kræver, at u1 ikke har nulpunkter i I.

Formel for anden løsning:

t

u2(t) = u1(t) u1(s) s

−2

exp − p(s ′ ) ds ′


ds. (4.11)

t0

Det overlades til læseren at verificere, at udtrykket i (4.11) definerer en løsning

til den homogene ligning (2.1) samt at W(u1, u2)(t) = exp −

t

p(s) ds .

t0

Det bemærkes at formlen kan “udledes” ved at betragte ligningen (3.2) som en

første ordens ligning i u2; første ordens ligningen kan som bekendt integreres.

Opgave Løs begyndelsesværdiproblemet med p(t) = −1−t−1 , q(t) = t−1 +2t−2 og r(t) = 1 i (2.1), hvor I = (0, ∞), og begyndelsesværdier u(1) = 0 og

u ′ (1) = 1. (Vink: u(t) = t er en løsning til den homogene ligning.)

4

t0

More magazines by this user
Similar magazines