Fire-farve Sætningen

data.imf.au.dk

Fire-farve Sætningen

Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Fire-farve Sætningen

JB

F2009


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Mark Twain - Tom Sawyer Abroad - 1894 - Tom

og Huck er p˚a ballonfærd

”... if we was going so fast we ought to be past Illinois,

oughtn’t we?”

”Certainly.”

”Well, we ain’t.”

”What’s the reason we ain’t?”

”I know by the color. We’re right over Illinois yet. And

you can see for yourself that Indiana ain’t in sight.”

”I wonder what’s the matter with you, Huck. You

know by the COLOR?”

”Yes, of course I do.”

”What’s the color got to do with it?”

”It’s got everything to do with it. Illinois is green,

Indiana is pink. You show me any pink down here, if you

can. No, sir; it’s green.”

”Indiana PINK? Why, what a lie!”

”It ain’t no lie; I’ve seen it on the map, and it’s pink.”


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

1866 Johnson Map of the United States


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Er 4 farver nok?


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

4-farve Sætningen

Sætning (4CT): Ethvert kort kan 4-farves.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Oversigt

Historie

Kort, grafer og farvninger

Plane grafer og Eulers formel

Reducerbare konfigurationer

Kempekæder

Afladning og uundg˚aelige konfigurationer

Beviserne

Kort p˚a andre overflader

Generaliseringer


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Oversigt

Historie

Kort, grafer og farvninger

Plane grafer og Eulers formel

Reducerbare konfigurationer

Kempekæder

Afladning og uundg˚aelige konfigurationer

Beviserne

Kort p˚a andre overflader

Generaliseringer


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Oversigt

Historie

Kort, grafer og farvninger

Plane grafer og Eulers formel

Reducerbare konfigurationer

Kempekæder

Afladning og uundg˚aelige konfigurationer

Beviserne

Kort p˚a andre overflader

Generaliseringer


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Oversigt

Historie

Kort, grafer og farvninger

Plane grafer og Eulers formel

Reducerbare konfigurationer

Kempekæder

Afladning og uundg˚aelige konfigurationer

Beviserne

Kort p˚a andre overflader

Generaliseringer


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Oversigt

Historie

Kort, grafer og farvninger

Plane grafer og Eulers formel

Reducerbare konfigurationer

Kempekæder

Afladning og uundg˚aelige konfigurationer

Beviserne

Kort p˚a andre overflader

Generaliseringer


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Oversigt

Historie

Kort, grafer og farvninger

Plane grafer og Eulers formel

Reducerbare konfigurationer

Kempekæder

Afladning og uundg˚aelige konfigurationer

Beviserne

Kort p˚a andre overflader

Generaliseringer


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Oversigt

Historie

Kort, grafer og farvninger

Plane grafer og Eulers formel

Reducerbare konfigurationer

Kempekæder

Afladning og uundg˚aelige konfigurationer

Beviserne

Kort p˚a andre overflader

Generaliseringer


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Oversigt

Historie

Kort, grafer og farvninger

Plane grafer og Eulers formel

Reducerbare konfigurationer

Kempekæder

Afladning og uundg˚aelige konfigurationer

Beviserne

Kort p˚a andre overflader

Generaliseringer


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Oversigt

Historie

Kort, grafer og farvninger

Plane grafer og Eulers formel

Reducerbare konfigurationer

Kempekæder

Afladning og uundg˚aelige konfigurationer

Beviserne

Kort p˚a andre overflader

Generaliseringer


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Historie

1852 Francis Guthrie formulerede problemet

1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis

1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset

1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed

1969 Heinrich Heesch indførte afladning

1976 Appel & Haken gav det første bevis

1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis

2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Historie

1852 Francis Guthrie formulerede problemet

1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis

1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset

1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed

1969 Heinrich Heesch indførte afladning

1976 Appel & Haken gav det første bevis

1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis

2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Historie

1852 Francis Guthrie formulerede problemet

1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis

1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset

1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed

1969 Heinrich Heesch indførte afladning

1976 Appel & Haken gav det første bevis

1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis

2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Historie

1852 Francis Guthrie formulerede problemet

1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis

1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset

1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed

1969 Heinrich Heesch indførte afladning

1976 Appel & Haken gav det første bevis

1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis

2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Historie

1852 Francis Guthrie formulerede problemet

1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis

1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset

1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed

1969 Heinrich Heesch indførte afladning

1976 Appel & Haken gav det første bevis

1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis

2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Historie

1852 Francis Guthrie formulerede problemet

1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis

1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset

1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed

1969 Heinrich Heesch indførte afladning

1976 Appel & Haken gav det første bevis

1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis

2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Historie

1852 Francis Guthrie formulerede problemet

1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis

1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset

1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed

1969 Heinrich Heesch indførte afladning

1976 Appel & Haken gav det første bevis

1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis

2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Historie

1852 Francis Guthrie formulerede problemet

1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis

1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset

1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed

1969 Heinrich Heesch indførte afladning

1976 Appel & Haken gav det første bevis

1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis

2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Papers

Periode Antal

-1900 6

1901-1910 3

1911-1920 3

1921-1930 23

1931-1940 46

1941-1950 11

1951-1960 7

1961-1970 22

1971-1980 83

1981-1990 82

1991-2000 129

2001- 83


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Grafteori

Multipel kant

Graf: G = (V , E), V :knuder, E:kanter, multiset af uordnede

par af knuder (evt. ens)

K3

Loop


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Grafteori

Farvning:

K3

Multipel kant

f : V → {1, 2, . . . , k} s˚a {x, y} ∈ E ⇒ f (x) = f (y)

Loop


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Grafteori

Farvning:

f : V → {1, 2, . . . , k} s˚a {x, y} ∈ E ⇒ f (x) = f (y)

Findes kun hvis ingen loops


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fra landkort til plane grafer

Figur: Landkort


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fra landkort til plane grafer

Figur: Landkort


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fra landkort til plane grafer

Figur: Plan graf


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fra landkort til plane grafer

Figur: Triangulering


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fra landkort til plane grafer

Figur: 4-farvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fire-farve Sætningen

Sætning (4CT): Enhver plan graf uden loops kan 4-farves.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Det kromatiske tal

χ(G): Det mindste antal farver G kan farves med.

Kk ⊆ G ⇒ χ(G) ≥ k

Træer kan farves med kun 2 farver.

Erdös viste at der for alle k er grafer der ’lokalt’ ligner

træer, men hvor χ(G) ≥ k.

Ex. For k = 3 kan vi tage en vilk˚arlig lang ulige cykel.

χ(G) ≤ 1 + ∆(G), hvor ∆(G) = max deg(v).

4CT: Hvis G er plan, s˚a er χ(G) ≤ 4.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Det kromatiske tal

χ(G): Det mindste antal farver G kan farves med.

Kk ⊆ G ⇒ χ(G) ≥ k

Træer kan farves med kun 2 farver.

Erdös viste at der for alle k er grafer der ’lokalt’ ligner

træer, men hvor χ(G) ≥ k.

Ex. For k = 3 kan vi tage en vilk˚arlig lang ulige cykel.

χ(G) ≤ 1 + ∆(G), hvor ∆(G) = max deg(v).

4CT: Hvis G er plan, s˚a er χ(G) ≤ 4.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Det kromatiske tal

χ(G): Det mindste antal farver G kan farves med.

Kk ⊆ G ⇒ χ(G) ≥ k

Træer kan farves med kun 2 farver.

Erdös viste at der for alle k er grafer der ’lokalt’ ligner

træer, men hvor χ(G) ≥ k.

Ex. For k = 3 kan vi tage en vilk˚arlig lang ulige cykel.

χ(G) ≤ 1 + ∆(G), hvor ∆(G) = max deg(v).

4CT: Hvis G er plan, s˚a er χ(G) ≤ 4.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Det kromatiske tal

χ(G): Det mindste antal farver G kan farves med.

Kk ⊆ G ⇒ χ(G) ≥ k

Træer kan farves med kun 2 farver.

Erdös viste at der for alle k er grafer der ’lokalt’ ligner

træer, men hvor χ(G) ≥ k.

Ex. For k = 3 kan vi tage en vilk˚arlig lang ulige cykel.

χ(G) ≤ 1 + ∆(G), hvor ∆(G) = max deg(v).

4CT: Hvis G er plan, s˚a er χ(G) ≤ 4.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Det kromatiske tal

χ(G): Det mindste antal farver G kan farves med.

Kk ⊆ G ⇒ χ(G) ≥ k

Træer kan farves med kun 2 farver.

Erdös viste at der for alle k er grafer der ’lokalt’ ligner

træer, men hvor χ(G) ≥ k.

Ex. For k = 3 kan vi tage en vilk˚arlig lang ulige cykel.

χ(G) ≤ 1 + ∆(G), hvor ∆(G) = max deg(v).

4CT: Hvis G er plan, s˚a er χ(G) ≤ 4.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Det kromatiske tal

χ(G): Det mindste antal farver G kan farves med.

Kk ⊆ G ⇒ χ(G) ≥ k

Træer kan farves med kun 2 farver.

Erdös viste at der for alle k er grafer der ’lokalt’ ligner

træer, men hvor χ(G) ≥ k.

Ex. For k = 3 kan vi tage en vilk˚arlig lang ulige cykel.

χ(G) ≤ 1 + ∆(G), hvor ∆(G) = max deg(v).

4CT: Hvis G er plan, s˚a er χ(G) ≤ 4.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Det kromatiske tal

χ(G): Det mindste antal farver G kan farves med.

Kk ⊆ G ⇒ χ(G) ≥ k

Træer kan farves med kun 2 farver.

Erdös viste at der for alle k er grafer der ’lokalt’ ligner

træer, men hvor χ(G) ≥ k.

Ex. For k = 3 kan vi tage en vilk˚arlig lang ulige cykel.

χ(G) ≤ 1 + ∆(G), hvor ∆(G) = max deg(v).

4CT: Hvis G er plan, s˚a er χ(G) ≤ 4.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Det kromatiske polynomium

χG (k) antal k-farvninger af G

χG (x) ∈ Z[x].

χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1)

4CT: Hvis G er plan, s˚a er χG (4) > 0.

Der er plane grafer med kromatiske rødder vilk˚arligt tæt

p˚a 4.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Det kromatiske polynomium

χG (k) antal k-farvninger af G

χG (x) ∈ Z[x].

χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1)

4CT: Hvis G er plan, s˚a er χG (4) > 0.

Der er plane grafer med kromatiske rødder vilk˚arligt tæt

p˚a 4.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Det kromatiske polynomium

χG (k) antal k-farvninger af G

χG (x) ∈ Z[x].

χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1)

4CT: Hvis G er plan, s˚a er χG (4) > 0.

Der er plane grafer med kromatiske rødder vilk˚arligt tæt

p˚a 4.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Det kromatiske polynomium

χG (k) antal k-farvninger af G

χG (x) ∈ Z[x].

χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1)

4CT: Hvis G er plan, s˚a er χG (4) > 0.

Der er plane grafer med kromatiske rødder vilk˚arligt tæt

p˚a 4.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Det kromatiske polynomium

χG (k) antal k-farvninger af G

χG (x) ∈ Z[x].

χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1)

4CT: Hvis G er plan, s˚a er χG (4) > 0.

Der er plane grafer med kromatiske rødder vilk˚arligt tæt

p˚a 4.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Kant-farvninger

Kort


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Kant-farvninger

Kubisk plan graf


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Kant-farvninger

01

11

00

11

10

4-farvning

01

00


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Kant-farvninger

1

01

2

2

1

11

3

3

00

3

2

1

11

10

01

Kant farvning

1

3

2

00

1

2

3


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Kant-farvninger

1

2

2

1

3

3

3

2

1

Kant 3-farvning

1

3

2

1

2

3


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fire-farve Sætningen

Sætning (4CT): Enhver plan kubisk graf uden broer kan

3-kant-farves.

Tait formodning (1880): S˚adanne grafer har en Hamilton

cykel.

Det vil medføre 4CT.

Tutte (1946): Modeksempel til Taits formodning.

Sætning: Enhver kubisk graf uden broer og uden en minor

isomorf med Petersen grafen kan 3-kant-farves.

N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour and R.

Thomas (5 papers).


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fire-farve Sætningen

Sætning (4CT): Enhver plan kubisk graf uden broer kan

3-kant-farves.

Tait formodning (1880): S˚adanne grafer har en Hamilton

cykel.

Det vil medføre 4CT.

Tutte (1946): Modeksempel til Taits formodning.

Sætning: Enhver kubisk graf uden broer og uden en minor

isomorf med Petersen grafen kan 3-kant-farves.

N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour and R.

Thomas (5 papers).


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fire-farve Sætningen

Sætning (4CT): Enhver plan kubisk graf uden broer kan

3-kant-farves.

Tait formodning (1880): S˚adanne grafer har en Hamilton

cykel.

Det vil medføre 4CT.

Tutte (1946): Modeksempel til Taits formodning.

Sætning: Enhver kubisk graf uden broer og uden en minor

isomorf med Petersen grafen kan 3-kant-farves.

N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour and R.

Thomas (5 papers).


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fire-farve Sætningen

Sætning (4CT): Enhver plan kubisk graf uden broer kan

3-kant-farves.

Tait formodning (1880): S˚adanne grafer har en Hamilton

cykel.

Det vil medføre 4CT.

Tutte (1946): Modeksempel til Taits formodning.

Sætning: Enhver kubisk graf uden broer og uden en minor

isomorf med Petersen grafen kan 3-kant-farves.

N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour and R.

Thomas (5 papers).


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fire-farve Sætningen

Sætning (4CT): Enhver plan kubisk graf uden broer kan

3-kant-farves.

Tait formodning (1880): S˚adanne grafer har en Hamilton

cykel.

Det vil medføre 4CT.

Tutte (1946): Modeksempel til Taits formodning.

Sætning: Enhver kubisk graf uden broer og uden en minor

isomorf med Petersen grafen kan 3-kant-farves.

N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour and R.

Thomas (5 papers).


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Petersen grafen

Ingen 3-kant-farvning.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Hamiltoncykler

Kubisk plan graf


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Hamiltoncykler

Hamilton cykel


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Hamiltoncykler

Farvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Hamiltoncykler

3-Kant farvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Hamiltoncykler

11

01

00 10

01

4-farvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Tutte’s modeksempel

Ikke Hamiltonsk!


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fra plane grafer til trianguleringer

Det er nok at vise sætningen for plane trianguleringer

Hver region har 3 sider

Tilføj ekstra kanter til plan graf

Fjern multiple kanter


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fra plane grafer til trianguleringer

Det er nok at vise sætningen for plane trianguleringer

Hver region har 3 sider

Tilføj ekstra kanter til plan graf

Fjern multiple kanter


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fra plane grafer til trianguleringer

Det er nok at vise sætningen for plane trianguleringer

Hver region har 3 sider

Tilføj ekstra kanter til plan graf

Fjern multiple kanter


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fra plane grafer til trianguleringer

Det er nok at vise sætningen for plane trianguleringer

Hver region har 3 sider

Tilføj ekstra kanter til plan graf

Fjern multiple kanter


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fra plane grafer til trianguleringer


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Fra plane grafer til trianguleringer


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Notation

Region

V = 6, E = 12, F = 8


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Notation

Antal knuder: V

Antal kanter: E

Antal regioner, inkl. den ydre: F


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Notation

Antal knuder: V

Antal kanter: E

Antal regioner, inkl. den ydre: F


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Notation

Antal knuder: V

Antal kanter: E

Antal regioner, inkl. den ydre: F


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Euler’s formel

For enhver sammenhængende plan graf er

I en triangulering er

V − E + F = 2

3F = 2E

(generelt 2E ≥ 3F , regioner har mindst 3 kanter)

V − E + F = V − E/3 = 2 ⇒ E = 3V − 6

Der findes knuder af grad højst 5:


deg(v) = 2E = 6V − 12

v∈V


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Euler’s formel

For enhver sammenhængende plan graf er

I en triangulering er

V − E + F = 2

3F = 2E

(generelt 2E ≥ 3F , regioner har mindst 3 kanter)

V − E + F = V − E/3 = 2 ⇒ E = 3V − 6

Der findes knuder af grad højst 5:


deg(v) = 2E = 6V − 12

v∈V


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Euler’s formel

For enhver sammenhængende plan graf er

I en triangulering er

V − E + F = 2

3F = 2E

(generelt 2E ≥ 3F , regioner har mindst 3 kanter)

V − E + F = V − E/3 = 2 ⇒ E = 3V − 6

Der findes knuder af grad højst 5:


deg(v) = 2E = 6V − 12

v∈V


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Euler’s formel

For enhver sammenhængende plan graf er

I en triangulering er

V − E + F = 2

3F = 2E

(generelt 2E ≥ 3F , regioner har mindst 3 kanter)

V − E + F = V − E/3 = 2 ⇒ E = 3V − 6

Der findes knuder af grad højst 5:


deg(v) = 2E = 6V − 12

v∈V


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Obstruktioner for 3-farvning

3 farver er ikke nok.

K4 er plan: Belgien, Luxembourg, Tyskland og Frankrig.

5-ring: Nevada naboer: Oregon, Idaho, Utah, Arizona,

Californien


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Obstruktioner for 3-farvning

3 farver er ikke nok.

K4 er plan: Belgien, Luxembourg, Tyskland og Frankrig.

5-ring: Nevada naboer: Oregon, Idaho, Utah, Arizona,

Californien


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Grafer

Det kromatiske

tal

Det kromatiske

polynomium

Kant farvninger

Hamilton cykler

Plane grafer og

trianguleringer

Euler’s formel

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Obstruktioner for 3-farvning

3 farver er ikke nok.

K4 er plan: Belgien, Luxembourg, Tyskland og Frankrig.

5-ring: Nevada naboer: Oregon, Idaho, Utah, Arizona,

Californien


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Reducerbare

konfigurationer

Uundg˚aelige

konfigurationer

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Reducerbare konfigurationer

Konfiguration K: Plan graf plus indlejringsspecifikation.

K er reducerbar hvis vi fra

K ⊂ G

Alle plane grafer G ′ mindre end G kan 4-farves

kan vise at G kan 4-farves.

Specielt kan et minimalt modeksempel ikke indeholde

nogen reducerbar konfiguration.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Reducerbare

konfigurationer

Uundg˚aelige

konfigurationer

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Reducerbare konfigurationer

Konfiguration K: Plan graf plus indlejringsspecifikation.

K er reducerbar hvis vi fra

K ⊂ G

Alle plane grafer G ′ mindre end G kan 4-farves

kan vise at G kan 4-farves.

Specielt kan et minimalt modeksempel ikke indeholde

nogen reducerbar konfiguration.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Reducerbare

konfigurationer

Uundg˚aelige

konfigurationer

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Reducerbare konfigurationer

Konfiguration K: Plan graf plus indlejringsspecifikation.

K er reducerbar hvis vi fra

K ⊂ G

Alle plane grafer G ′ mindre end G kan 4-farves

kan vise at G kan 4-farves.

Specielt kan et minimalt modeksempel ikke indeholde

nogen reducerbar konfiguration.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Reducerbare

konfigurationer

Uundg˚aelige

konfigurationer

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Reducerbare konfigurationer

Konfiguration K: Plan graf plus indlejringsspecifikation.

K er reducerbar hvis vi fra

K ⊂ G

Alle plane grafer G ′ mindre end G kan 4-farves

kan vise at G kan 4-farves.

Specielt kan et minimalt modeksempel ikke indeholde

nogen reducerbar konfiguration.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Reducerbare

konfigurationer

Uundg˚aelige

konfigurationer

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Reducerbare konfigurationer

Konfiguration K: Plan graf plus indlejringsspecifikation.

K er reducerbar hvis vi fra

K ⊂ G

Alle plane grafer G ′ mindre end G kan 4-farves

kan vise at G kan 4-farves.

Specielt kan et minimalt modeksempel ikke indeholde

nogen reducerbar konfiguration.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Reducerbare

konfigurationer

Uundg˚aelige

konfigurationer

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Reducerbare konfigurationer

Konfiguration K: Plan graf plus indlejringsspecifikation.

K er reducerbar hvis vi fra

K ⊂ G

Alle plane grafer G ′ mindre end G kan 4-farves

kan vise at G kan 4-farves.

Specielt kan et minimalt modeksempel ikke indeholde

nogen reducerbar konfiguration.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Reducerbare

konfigurationer

Uundg˚aelige

konfigurationer

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Uundg˚aelige konfigurationer

En samling konfigurationer er

Reducerbare: Minimalt modeksempel kan ikke indeholde

nogen af disse.

Uundg˚aelige: Minimalt modeksempel (...) vil indeholde en

af disse.

Findes s˚adan en samling kan der ikke findes et modeksempel.

Fire-farve sætningen er vist


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Reducerbare

konfigurationer

Uundg˚aelige

konfigurationer

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Uundg˚aelige konfigurationer

En samling konfigurationer er

Reducerbare: Minimalt modeksempel kan ikke indeholde

nogen af disse.

Uundg˚aelige: Minimalt modeksempel (...) vil indeholde en

af disse.

Findes s˚adan en samling kan der ikke findes et modeksempel.

Fire-farve sætningen er vist


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Reducerbare

konfigurationer

Uundg˚aelige

konfigurationer

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Uundg˚aelige konfigurationer

En samling konfigurationer er

Reducerbare: Minimalt modeksempel kan ikke indeholde

nogen af disse.

Uundg˚aelige: Minimalt modeksempel (...) vil indeholde en

af disse.

Findes s˚adan en samling kan der ikke findes et modeksempel.

Fire-farve sætningen er vist


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Reducerbare

konfigurationer

Uundg˚aelige

konfigurationer

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Uundg˚aelige konfigurationer

En samling konfigurationer er

Reducerbare: Minimalt modeksempel kan ikke indeholde

nogen af disse.

Uundg˚aelige: Minimalt modeksempel (...) vil indeholde en

af disse.

Findes s˚adan en samling kan der ikke findes et modeksempel.

Fire-farve sætningen er vist


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Reducerbare

konfigurationer

Uundg˚aelige

konfigurationer

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Uundg˚aelige konfigurationer

En samling konfigurationer er

Reducerbare: Minimalt modeksempel kan ikke indeholde

nogen af disse.

Uundg˚aelige: Minimalt modeksempel (...) vil indeholde en

af disse.

Findes s˚adan en samling kan der ikke findes et modeksempel.

Fire-farve sætningen er vist


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Alfred Kempe 1849-1922


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s bevis

Kempe (1879): Et uundg˚aeligt sæt konfigurationer:

Metode: Eulers formel.

Kempe: Alle reducerbare

Metode: Kempekæder.

Heawood (1890): ... p˚anær den sidste.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s bevis

Kempe (1879): Et uundg˚aeligt sæt konfigurationer:

Metode: Eulers formel.

Kempe: Alle reducerbare

Metode: Kempekæder.

Heawood (1890): ... p˚anær den sidste.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s bevis

Kempe (1879): Et uundg˚aeligt sæt konfigurationer:

Metode: Eulers formel.

Kempe: Alle reducerbare

Metode: Kempekæder.

Heawood (1890): ... p˚anær den sidste.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s bevis

Kempe (1879): Et uundg˚aeligt sæt konfigurationer:

Metode: Eulers formel.

Kempe: Alle reducerbare

Metode: Kempekæder.

Heawood (1890): ... p˚anær den sidste.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s bevis

Kempe (1879): Et uundg˚aeligt sæt konfigurationer:

Metode: Eulers formel.

Kempe: Alle reducerbare

Metode: Kempekæder.

Heawood (1890): ... p˚anær den sidste.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempekæder - grad 4

Grad 4 knude.

Case 1: Rød-grønne komponenter adskildte

Omfarvning

Case 2: Rød-grøn Kempekæde

Bl˚a-gule komponenter adskilte

Omfarvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempekæder - grad 4

Grad 4 knude.

Case 1: Rød-grønne komponenter adskildte

Omfarvning

Case 2: Rød-grøn Kempekæde

Bl˚a-gule komponenter adskilte

Omfarvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempekæder - grad 4

Grad 4 knude.

Case 1: Rød-grønne komponenter adskildte

Omfarvning

Case 2: Rød-grøn Kempekæde

Bl˚a-gule komponenter adskilte

Omfarvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempekæder - grad 4

Grad 4 knude.

Case 1: Rød-grønne komponenter adskildte

Omfarvning

Case 2: Rød-grøn Kempekæde

Bl˚a-gule komponenter adskilte

Omfarvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempekæder - grad 4

Grad 4 knude.

Case 1: Rød-grønne komponenter adskildte

Omfarvning

Case 2: Rød-grøn Kempekæde

Bl˚a-gule komponenter adskilte

Omfarvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempekæder - grad 4

Grad 4 knude.

Case 1: Rød-grønne komponenter adskildte

Omfarvning

Case 2: Rød-grøn Kempekæde

Bl˚a-gule komponenter adskilte

Omfarvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s argument for grad-5

Alle farver brugt


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s argument for grad-5

Rød-bl˚a komponenter adskildte


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s argument for grad-5

Rød-bl˚a komponenter adskildte - omfarvning, OK


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s argument for grad-5

Rød-grønne komponenter adskilte


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s argument for grad-5

Rød-grønne komponenter adskilte - omfarvning, OK


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s argument for grad-5

Der er rød-bl˚a og rød-grøn Kempekæde


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s argument for grad-5

S˚a er gul-grøn adskildt fra gul-grøn


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s argument for grad-5

S˚a er gul-grøn adskildt fra gul-grøn - omfarvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s argument for grad-5

S˚a er gul-bl˚a adskildt fra gul-bl˚a


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s argument for grad-5

S˚a er gul-bl˚a adskildt fra gul-bl˚a - omfarvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Kempe’s argument for grad-5

Med begge omfarvninger: OK


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Percy John Heawood 1861-1955


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Modeksempel


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Modeksempel


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Modeksempel


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Modeksempel


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Modeksempel


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Modeksempel


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Heawood grafen


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Heawood grafen


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Heawood grafen


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Heawood grafen


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

5-farve sætningen

Heawood viste at Kempe’s bevis kunne bruges til at vise at 5

farver er nok!


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

5-farve sætningen

Heawood viste at Kempe’s bevis kunne bruges til at vise at 5

farver er nok!


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

5-farve sætningen

Heawood viste at Kempe’s bevis kunne bruges til at vise at 5

farver er nok!


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

5-farve sætningen

Heawood viste at Kempe’s bevis kunne bruges til at vise at 5

farver er nok!


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff simplifikationer

Minimalt modeksempel er en internt 6-sammenhængende

triangulering.

Alle regioner har 3 kanter.

Hvert hjørne har grad mindst 5.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff simplifikationer

Minimalt modeksempel er en internt 6-sammenhængende

triangulering.

Alle regioner har 3 kanter.

Hvert hjørne har grad mindst 5.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff simplifikationer

Minimalt modeksempel er en internt 6-sammenhængende

triangulering.

Alle regioner har 3 kanter.

Hvert hjørne har grad mindst 5.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Internt 6-sammenhængende

G er internt 6-sammenhængende hvis G har mindst 6 knuder,

og for hvert sæt X af knuder hvor grafen G \ X er

ikke-sammenhængende, gælder enten |X | ≥ 6, eller |X | = 5 og

G \ X har præcis to komponenter, hvor den ene har præcis en

knude.

Hver knude i en internt 6-sammenhængende graf har grad

mindst 5.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Internt 6-sammenhængende

5-ring. Indre ?

?


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Internt 6-sammenhængende

Eneste problem er hvis det indre best˚ar af netop en knude


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

5-ring

Her ser vi p˚a Birkhoffs resultat.

G minimal modeksempel.

R 5-ring

A det indre

B det ydre

Antag at A|, |B| ≥ 2.

Reducer A henh. B til en knude forbundet til hele R. F˚a to

4-farvninger f og g.

f |R henh. g|R er 3-farvninger af R. Kan vi f˚a dem til at stemme

er vi færdige.

Netop en farve forekommer kun en gang p˚a R, knude m(f )

henh. m(g). Hvis m(f ) = m(g) kan vi kombinere f og g til

4-farvning af G.

m(f ) = m(g). Det er lidt kompliceret!

Kempe-kæder!


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

5-ring

|A|, |B| ≥ 2

A B


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

5-ring

A erstattes af en grad-5 knude

A B


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

5-ring

4-farvning giver 3-farvning af 5-ringen

A B


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

5-ring

B erstattes af en grad-5 knude

A B


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

5-ring

A B

4-farvning giver (ny) 3-farvning af 5-ringen


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

5-ring

To tilfælde


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

5-ring

Kempekæde argumenter


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff’s diamant

Birkhoff’s diamant: 4 grad-5 knuder


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff’s diamant

Nabolaget


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff’s diamant

God ring-farvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff’s diamant

God ring-farvning ... kan udvides


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff’s diamant

Ring-farvning der ikke kan udvides


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff’s diamant

Hvis der er rød-gul Kempekæde


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff’s diamant

Hvis der er rød-gul Kempekæde - omfarvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff’s diamant

Hvis der er rød-gul Kempekæde - omfarvning - udvidelse


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff’s diamant

Symmetrisk tilfælde


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff’s diamant

Symmetrisk tilfælde


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff’s diamant

Symmetrisk tilfælde


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff’s diamant

Hvis der ikke er rød-gul kæde


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff’s diamant

Hvis der ikke er rød-gul kæde - omfarvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Birkhoff’s diamant

Hvis der ikke er rød-gul kæde - udvidelse


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

6-ring

31 essentielt forskellige farvninger af ringen

16 gode farvninger

Resten kan med Kempekæder omfarves til gode farvninger

C-reducerbarhed er bedre


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

6-ring

31 essentielt forskellige farvninger af ringen

16 gode farvninger

Resten kan med Kempekæder omfarves til gode farvninger

C-reducerbarhed er bedre


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

6-ring

31 essentielt forskellige farvninger af ringen

16 gode farvninger

Resten kan med Kempekæder omfarves til gode farvninger

C-reducerbarhed er bedre


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

6-ring

31 essentielt forskellige farvninger af ringen

16 gode farvninger

Resten kan med Kempekæder omfarves til gode farvninger

C-reducerbarhed er bedre


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

C-reducerbarhed

Den oprindelige konfiguration


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

C-reducerbarhed

Sammentrækningskanter


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

C-reducerbarhed

Første sammentrækning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

C-reducerbarhed

Anden sammentrækning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

C-reducerbarhed

Tredie sammentrækning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

C-reducerbarhed

Fjerde sammentrækning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

C-reducerbarhed

Femte sammentrækning (grafen stadig plan og uden loops)


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

C-reducerbarhed

4-farvning af den mindre graf


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

C-reducerbarhed

a

a

a-Knuderne har forskellig farve, b-knuderne samme farve

b

b


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

C-reducerbarhed

Kun 6 (af de 31) ring-farvninger tilbage at checke


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

C-reducerbarhed

De 6 farvninger


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

C-reducerbarhed

De 6 farvninger - 5 kan direkte udvides


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

C-reducerbarhed

Kempeargument løser den sidste farvning


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

C-reducerbarhed

Kempeargument løser den sidste farvning - farvningen fra før!


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

C-reducerbarhed

Hele grafen skal stadig være uden loops!


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Konfigurationer og D-reducerbarhed

Konfiguration K

G

K


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Konfigurationer og D-reducerbarhed

Fri fuldendelse med ring R

G

K

R


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Konfigurationer og D-reducerbarhed

Fjernes K kan resten 4-farves

G

R


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Konfigurationer og D-reducerbarhed

Induceret 4-farvning af ringen R

G

R


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Konfigurationer og D-reducerbarhed

G

K

Induceret 4-farvning af ringen R , der enten kan udvides til K,

eller kan omfarves, og derefter udvides

R


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Ringstørrelsen

Antal forskellige 4-farvninger af en k-ring

6 7 8 9 10 11 12 13 14

31 91 274 820 2461 7381 22144 64430 199291

χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1).

Hvis mindst 3 farver bruges f˚as 24 ækvivalente.

Hvis netop 2 farver bruges (kun muligt for k lige) f˚as 12

ækvivalente.

Antal =


χCk

(4)/24 for k ulige

1 + (χCk (4) − 12)/24 for k lige


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Ringstørrelsen

Antal forskellige 4-farvninger af en k-ring

6 7 8 9 10 11 12 13 14

31 91 274 820 2461 7381 22144 64430 199291

χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1).

Hvis mindst 3 farver bruges f˚as 24 ækvivalente.

Hvis netop 2 farver bruges (kun muligt for k lige) f˚as 12

ækvivalente.

Antal =


χCk

(4)/24 for k ulige

1 + (χCk (4) − 12)/24 for k lige


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Ringstørrelsen

Antal forskellige 4-farvninger af en k-ring

6 7 8 9 10 11 12 13 14

31 91 274 820 2461 7381 22144 64430 199291

χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1).

Hvis mindst 3 farver bruges f˚as 24 ækvivalente.

Hvis netop 2 farver bruges (kun muligt for k lige) f˚as 12

ækvivalente.

Antal =


χCk

(4)/24 for k ulige

1 + (χCk (4) − 12)/24 for k lige


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Ringstørrelsen

Antal forskellige 4-farvninger af en k-ring

6 7 8 9 10 11 12 13 14

31 91 274 820 2461 7381 22144 64430 199291

χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1).

Hvis mindst 3 farver bruges f˚as 24 ækvivalente.

Hvis netop 2 farver bruges (kun muligt for k lige) f˚as 12

ækvivalente.

Antal =


χCk

(4)/24 for k ulige

1 + (χCk (4) − 12)/24 for k lige


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Kempe’s bevis

Kempe’s fejl

Heawood’s

modeksempel

Heawood grafen

5-farve

sætningen

Birkhoff

Birkhoff’s

diamant

C-reducerbarhed

Konfigurationer

og

D-reducerbarhed

Beviserne

Afladning

Forbedringer

Ringstørrelsen

Antal forskellige 4-farvninger af en k-ring

6 7 8 9 10 11 12 13 14

31 91 274 820 2461 7381 22144 64430 199291

χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1).

Hvis mindst 3 farver bruges f˚as 24 ækvivalente.

Hvis netop 2 farver bruges (kun muligt for k lige) f˚as 12

ækvivalente.

Antal =


χCk

(4)/24 for k ulige

1 + (χCk (4) − 12)/24 for k lige


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Beviserne

Heesch: 8904 uundg˚aelige konfigurationer burde være nok!

Appel, Haken: 1476 reducerbare konfigurationer.

Appel, Haken: Uundg˚aelighed via 487 (komplicerede)

afladningsregler.

Robertson, Sanders, Seymour og Thomas: 633 reducerbare

konfigurationer.

Robertson et al: Uundg˚aelighed via 32 (simple)

afladningsregler.

Simplere D-reducibilitet.

Mange bogus beviser ...


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Beviserne

Heesch: 8904 uundg˚aelige konfigurationer burde være nok!

Appel, Haken: 1476 reducerbare konfigurationer.

Appel, Haken: Uundg˚aelighed via 487 (komplicerede)

afladningsregler.

Robertson, Sanders, Seymour og Thomas: 633 reducerbare

konfigurationer.

Robertson et al: Uundg˚aelighed via 32 (simple)

afladningsregler.

Simplere D-reducibilitet.

Mange bogus beviser ...


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Beviserne

Heesch: 8904 uundg˚aelige konfigurationer burde være nok!

Appel, Haken: 1476 reducerbare konfigurationer.

Appel, Haken: Uundg˚aelighed via 487 (komplicerede)

afladningsregler.

Robertson, Sanders, Seymour og Thomas: 633 reducerbare

konfigurationer.

Robertson et al: Uundg˚aelighed via 32 (simple)

afladningsregler.

Simplere D-reducibilitet.

Mange bogus beviser ...


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Beviserne

Heesch: 8904 uundg˚aelige konfigurationer burde være nok!

Appel, Haken: 1476 reducerbare konfigurationer.

Appel, Haken: Uundg˚aelighed via 487 (komplicerede)

afladningsregler.

Robertson, Sanders, Seymour og Thomas: 633 reducerbare

konfigurationer.

Robertson et al: Uundg˚aelighed via 32 (simple)

afladningsregler.

Simplere D-reducibilitet.

Mange bogus beviser ...


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Beviserne

Heesch: 8904 uundg˚aelige konfigurationer burde være nok!

Appel, Haken: 1476 reducerbare konfigurationer.

Appel, Haken: Uundg˚aelighed via 487 (komplicerede)

afladningsregler.

Robertson, Sanders, Seymour og Thomas: 633 reducerbare

konfigurationer.

Robertson et al: Uundg˚aelighed via 32 (simple)

afladningsregler.

Simplere D-reducibilitet.

Mange bogus beviser ...


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Beviserne

Heesch: 8904 uundg˚aelige konfigurationer burde være nok!

Appel, Haken: 1476 reducerbare konfigurationer.

Appel, Haken: Uundg˚aelighed via 487 (komplicerede)

afladningsregler.

Robertson, Sanders, Seymour og Thomas: 633 reducerbare

konfigurationer.

Robertson et al: Uundg˚aelighed via 32 (simple)

afladningsregler.

Simplere D-reducibilitet.

Mange bogus beviser ...


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Beviserne

Heesch: 8904 uundg˚aelige konfigurationer burde være nok!

Appel, Haken: 1476 reducerbare konfigurationer.

Appel, Haken: Uundg˚aelighed via 487 (komplicerede)

afladningsregler.

Robertson, Sanders, Seymour og Thomas: 633 reducerbare

konfigurationer.

Robertson et al: Uundg˚aelighed via 32 (simple)

afladningsregler.

Simplere D-reducibilitet.

Mange bogus beviser ...


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Uundg˚aeligt sæt

Uundg˚aelige konfigurationer.

Figur: Uundg˚aeligt sæt


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Afladningsregel

G en triangulering, δ(G) = 5.

Knuder gives en ladning 6 − deg(v).

Total ladning er

(6 − deg(v)) = 6V − 2E = 6V − (6V − 12) = 12


v∈V

Afladningsregel: Grad 5 knuder fordeler deres ladning

ligeligt til negativt ladede naboer.

Total ladning er bevaret.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Afladningsregel

G en triangulering, δ(G) = 5.

Knuder gives en ladning 6 − deg(v).

Total ladning er

(6 − deg(v)) = 6V − 2E = 6V − (6V − 12) = 12


v∈V

Afladningsregel: Grad 5 knuder fordeler deres ladning

ligeligt til negativt ladede naboer.

Total ladning er bevaret.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Afladningsregel

G en triangulering, δ(G) = 5.

Knuder gives en ladning 6 − deg(v).

Total ladning er

(6 − deg(v)) = 6V − 2E = 6V − (6V − 12) = 12


v∈V

Afladningsregel: Grad 5 knuder fordeler deres ladning

ligeligt til negativt ladede naboer.

Total ladning er bevaret.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Afladningsregel

G en triangulering, δ(G) = 5.

Knuder gives en ladning 6 − deg(v).

Total ladning er

(6 − deg(v)) = 6V − 2E = 6V − (6V − 12) = 12


v∈V

Afladningsregel: Grad 5 knuder fordeler deres ladning

ligeligt til negativt ladede naboer.

Total ladning er bevaret.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Afladningsregel

G en triangulering, δ(G) = 5.

Knuder gives en ladning 6 − deg(v).

Total ladning er

(6 − deg(v)) = 6V − 2E = 6V − (6V − 12) = 12


v∈V

Afladningsregel: Grad 5 knuder fordeler deres ladning

ligeligt til negativt ladede naboer.

Total ladning er bevaret.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Afladning

G en triangulering.

Antag grad 5 knuder kun har naboer med grad mindst 7.

For hver grad 5 knude sendes 1/5 ladning til hver nabo.

-1

-2

1

5

1

5

1


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Afladning

G en triangulering.

Antag grad 5 knuder kun har naboer med grad mindst 7.

For hver grad 5 knude sendes 1/5 ladning til hver nabo.

-1

-2

1

5

1

5

1


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Afladning

G en triangulering.

Antag grad 5 knuder kun har naboer med grad mindst 7.

For hver grad 5 knude sendes 1/5 ladning til hver nabo.

-1

-2

1

5

1

5

1


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Afladning

G en triangulering.

Antag grad 5 knuder kun har naboer med grad mindst 7.

For hver grad 5 knude sendes 1/5 ladning til hver nabo.

-1

-2

1

5

1

5

1


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Afladning

Nu har grad 5 og grad 6 knuder ladning 0.

Lad deg(v) = 7. Hvis ladningen af v er positiv m˚a v have

modtaget mindst 6/5, dvs. v m˚a have mindst 6 grad-5

naboer.

Det tvinger to af disse til at være naboer hvilket ikke er

tilladt.

Generelt, hvis deg(v) = d ≥ 8 kan ladningen kun være

positiv hvis der er flere end 5(d − 6) grad-5 naboer:

Modstrid.

5(d − 6) < d, 4d < 30

Da der er positiv ladede knuder efter afladningen, m˚a der

være en af de uundg˚aelige konfigurationer.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Afladning

Nu har grad 5 og grad 6 knuder ladning 0.

Lad deg(v) = 7. Hvis ladningen af v er positiv m˚a v have

modtaget mindst 6/5, dvs. v m˚a have mindst 6 grad-5

naboer.

Det tvinger to af disse til at være naboer hvilket ikke er

tilladt.

Generelt, hvis deg(v) = d ≥ 8 kan ladningen kun være

positiv hvis der er flere end 5(d − 6) grad-5 naboer:

Modstrid.

5(d − 6) < d, 4d < 30

Da der er positiv ladede knuder efter afladningen, m˚a der

være en af de uundg˚aelige konfigurationer.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Afladning

Nu har grad 5 og grad 6 knuder ladning 0.

Lad deg(v) = 7. Hvis ladningen af v er positiv m˚a v have

modtaget mindst 6/5, dvs. v m˚a have mindst 6 grad-5

naboer.

Det tvinger to af disse til at være naboer hvilket ikke er

tilladt.

Generelt, hvis deg(v) = d ≥ 8 kan ladningen kun være

positiv hvis der er flere end 5(d − 6) grad-5 naboer:

Modstrid.

5(d − 6) < d, 4d < 30

Da der er positiv ladede knuder efter afladningen, m˚a der

være en af de uundg˚aelige konfigurationer.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Afladning

Nu har grad 5 og grad 6 knuder ladning 0.

Lad deg(v) = 7. Hvis ladningen af v er positiv m˚a v have

modtaget mindst 6/5, dvs. v m˚a have mindst 6 grad-5

naboer.

Det tvinger to af disse til at være naboer hvilket ikke er

tilladt.

Generelt, hvis deg(v) = d ≥ 8 kan ladningen kun være

positiv hvis der er flere end 5(d − 6) grad-5 naboer:

Modstrid.

5(d − 6) < d, 4d < 30

Da der er positiv ladede knuder efter afladningen, m˚a der

være en af de uundg˚aelige konfigurationer.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Afladning

Nu har grad 5 og grad 6 knuder ladning 0.

Lad deg(v) = 7. Hvis ladningen af v er positiv m˚a v have

modtaget mindst 6/5, dvs. v m˚a have mindst 6 grad-5

naboer.

Det tvinger to af disse til at være naboer hvilket ikke er

tilladt.

Generelt, hvis deg(v) = d ≥ 8 kan ladningen kun være

positiv hvis der er flere end 5(d − 6) grad-5 naboer:

Modstrid.

5(d − 6) < d, 4d < 30

Da der er positiv ladede knuder efter afladningen, m˚a der

være en af de uundg˚aelige konfigurationer.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

32 afladningsregler


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

633 uundg˚aelige konfigurationer

unavoidable set page 1


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

633 uundg˚aelige konfigurationer

unavoidable set page 2


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

633 uundg˚aelige konfigurationer

unavoidable set page 3


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

633 uundg˚aelige konfigurationer

unavoidable set page 4


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

633 uundg˚aelige konfigurationer

unavoidable set page 5


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

633 uundg˚aelige konfigurationer

unavoidable set page 6


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

633 uundg˚aelige konfigurationer

unavoidable set page 7


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

633 uundg˚aelige konfigurationer

unavoidable set page 8


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

633 uundg˚aelige konfigurationer

unavoidable set page 9


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Eksempel

32

afladningsregler

633 uundg˚aelige

konfigurationer

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

633 uundg˚aelige konfigurationer

unavoidable set page 10


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

Generaliseringer

m-pire problemet: Hvert land har m regioner. Et lands

regioner skal have samme farve.

Jord-M˚ane problemet: Hvert land har en region p˚a Jorden

og en p˚a M˚anen.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

Generaliseringer

m-pire problemet: Hvert land har m regioner. Et lands

regioner skal have samme farve.

Jord-M˚ane problemet: Hvert land har en region p˚a Jorden

og en p˚a M˚anen.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

m-pires

Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).

Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).

Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.


x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)

Gennemsnitsgraden er

2e

v

Induktion.

≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m

Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 farver.

Heawood (1890): 2-pire løst.

Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

m-pires

Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).

Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).

Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.


x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)

Gennemsnitsgraden er

2e

v

Induktion.

≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m

Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 farver.

Heawood (1890): 2-pire løst.

Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

m-pires

Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).

Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).

Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.


x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)

Gennemsnitsgraden er

2e

v

Induktion.

≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m

Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 farver.

Heawood (1890): 2-pire løst.

Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

m-pires

Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).

Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).

Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.


x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)

Gennemsnitsgraden er

2e

v

Induktion.

≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m

Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 farver.

Heawood (1890): 2-pire løst.

Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

m-pires

Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).

Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).

Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.


x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)

Gennemsnitsgraden er

2e

v

Induktion.

≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m

Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 farver.

Heawood (1890): 2-pire løst.

Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

m-pires

Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).

Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).

Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.


x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)

Gennemsnitsgraden er

2e

v

Induktion.

≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m

Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 farver.

Heawood (1890): 2-pire løst.

Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

m-pires

Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).

Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).

Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.


x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)

Gennemsnitsgraden er

2e

v

Induktion.

≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m

Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 farver.

Heawood (1890): 2-pire løst.

Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

m-pires

Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).

Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).

Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.


x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)

Gennemsnitsgraden er

2e

v

Induktion.

≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m

Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 farver.

Heawood (1890): 2-pire løst.

Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

m-pires

Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).

Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).

Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.


x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)

Gennemsnitsgraden er

2e

v

Induktion.

≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m

Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 farver.

Heawood (1890): 2-pire løst.

Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

Kim Scott’s symmetriske 2-pire

10

1

4

3

1

11

11

6

5

6

5

4

7 8 9 8 10 9 7

12

12

2

2

3


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

Jord-M˚ane problemet

Hvert land har en region p˚a Jorden og en p˚a M˚anen.

Svaret er mellem 9 og 12.

Thom Sulanke (1974): Mindst 9 farver!

Hjørnerne 6,7,8,9,10,11 udgør K6 (6 farver)

Hjørnerne 1,2,3,4,5 udgør C5 (3 farver), og alle er naboer

til hele K6.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

Jord-M˚ane problemet

Hvert land har en region p˚a Jorden og en p˚a M˚anen.

Svaret er mellem 9 og 12.

Thom Sulanke (1974): Mindst 9 farver!

Hjørnerne 6,7,8,9,10,11 udgør K6 (6 farver)

Hjørnerne 1,2,3,4,5 udgør C5 (3 farver), og alle er naboer

til hele K6.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

Jord-M˚ane problemet

Hvert land har en region p˚a Jorden og en p˚a M˚anen.

Svaret er mellem 9 og 12.

Thom Sulanke (1974): Mindst 9 farver!

Hjørnerne 6,7,8,9,10,11 udgør K6 (6 farver)

Hjørnerne 1,2,3,4,5 udgør C5 (3 farver), og alle er naboer

til hele K6.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

Jord-M˚ane problemet

Hvert land har en region p˚a Jorden og en p˚a M˚anen.

Svaret er mellem 9 og 12.

Thom Sulanke (1974): Mindst 9 farver!

Hjørnerne 6,7,8,9,10,11 udgør K6 (6 farver)

Hjørnerne 1,2,3,4,5 udgør C5 (3 farver), og alle er naboer

til hele K6.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

Jord-M˚ane problemet

Hvert land har en region p˚a Jorden og en p˚a M˚anen.

Svaret er mellem 9 og 12.

Thom Sulanke (1974): Mindst 9 farver!

Hjørnerne 6,7,8,9,10,11 udgør K6 (6 farver)

Hjørnerne 1,2,3,4,5 udgør C5 (3 farver), og alle er naboer

til hele K6.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

m-pires

Jord-M˚ane

problemet

Liste-farvninger

Andre

overflader

Referencer

5-liste farvning

Carsten Thomassen (1994): Givet 5 tilladte farver for hvert

land. Kortet kan farves.


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Ringel-Youngs

sætningen -

1968

Heawood formel

7-farve

sætningen

Referencer

Ringel-Youngs sætningen - 1968

Lad G være indlejret p˚a en overflade, som ikke er en kugle,

med Euler-karakteristik ɛ.

χ(G) ≤ H(ɛ) = 7 + √ 49 − 24ɛ

2

Bortset fra Klein flasken kan K H(ɛ) indlejres.

Ringel-Youngs (1968).


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Ringel-Youngs

sætningen -

1968

Heawood formel

7-farve

sætningen

Referencer

Ringel-Youngs sætningen - 1968

Lad G være indlejret p˚a en overflade, som ikke er en kugle,

med Euler-karakteristik ɛ.

χ(G) ≤ H(ɛ) = 7 + √ 49 − 24ɛ

2

Bortset fra Klein flasken kan K H(ɛ) indlejres.

Ringel-Youngs (1968).


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Ringel-Youngs

sætningen -

1968

Heawood formel

7-farve

sætningen

Referencer

Ringel-Youngs sætningen - 1968

Lad G være indlejret p˚a en overflade, som ikke er en kugle,

med Euler-karakteristik ɛ.

χ(G) ≤ H(ɛ) = 7 + √ 49 − 24ɛ

2

Bortset fra Klein flasken kan K H(ɛ) indlejres.

Ringel-Youngs (1968).


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Ringel-Youngs

sætningen -

1968

Heawood formel

7-farve

sætningen

Referencer

Heawood formel - 1890

Lad G være indlejret p˚a en overflade med

Euler-karakteristik ɛ. S˚a er

(’=’ for ’pæne indlejringer).

V − E + F ≥ ɛ

Hver region har mindst 3 kanter: E ≥ 3F /2, dvs.

V − ɛ ≥ E − F ≥ E/3, dvs.

E ≤ 3V − 3ɛ


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Ringel-Youngs

sætningen -

1968

Heawood formel

7-farve

sætningen

Referencer

Heawood formel - 1890

Lad G være indlejret p˚a en overflade med

Euler-karakteristik ɛ. S˚a er

(’=’ for ’pæne indlejringer).

V − E + F ≥ ɛ

Hver region har mindst 3 kanter: E ≥ 3F /2, dvs.

V − ɛ ≥ E − F ≥ E/3, dvs.

E ≤ 3V − 3ɛ


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Ringel-Youngs

sætningen -

1968

Heawood formel

7-farve

sætningen

Referencer

Heawood formel

Lad G være minimal med χG = k. S˚a er δ(G) ≥ k − 1.

Alts˚a er

V (k − 1) ≤

deg(x) = 2E ≤ 6V − 6ɛ

x∈V

Alts˚a er for k ≥ 7: k(k − 7) ≤ V (k − 7) ≤ −6ɛ (idet

V ≥ k).

k(k − 7) + 6ɛ ≤ 0

k ≤ H(ɛ) = 7 + √ 49 − 24ɛ

2


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Ringel-Youngs

sætningen -

1968

Heawood formel

7-farve

sætningen

Referencer

Heawood formel

Lad G være minimal med χG = k. S˚a er δ(G) ≥ k − 1.

Alts˚a er

V (k − 1) ≤

deg(x) = 2E ≤ 6V − 6ɛ

x∈V

Alts˚a er for k ≥ 7: k(k − 7) ≤ V (k − 7) ≤ −6ɛ (idet

V ≥ k).

k(k − 7) + 6ɛ ≤ 0

k ≤ H(ɛ) = 7 + √ 49 − 24ɛ

2


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Ringel-Youngs

sætningen -

1968

Heawood formel

7-farve

sætningen

Referencer

7-farve sætningen

For en torus er ɛ = 0, s˚a k ≤ H(0) = 7.

Da K7 kan indlejres p˚a en torus er problemet løst der!

5

6

7

1 2 3 4 5 6

Figur: Torus

7


Fire-farve

Sætningen

JB

Oversigt

Historie

Kort og Grafer

Bevis ide

Kempekæder

Beviserne

Afladning

Forbedringer

og generaliseringer

Andre

overflader

Referencer

Referencer

K. Appel and W. Haken, Every planar map is four colorable.

Part I. Discharging, Illinois J. Math. 21 (1977), 429-490.

K. Appel, W. Haken and J. Koch, Every planar map is four

colorable. Part II. Reducibility, Illinois J. Math. 21 (1977), 491–567.

G. D. Birkhoff, The reducibility of maps, Amer. J. Math. 35

(1913), 114-128.

H. Heesch, Untersuchungen zum Vierfarbenproblem,

Hochschulskriptum 810ab, Bibliographisches Institut, Mannheim

1969.

A. B. Kempe, On the geographical problem of the four colors,

Amer. J. Math., 2 (1879), 193-200.

N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour and R.

Thomas, The four colour theorem, J. Combin. Theory Ser. B. 70

(1997), 2-44.

T. L. SAATY, Thirteen colorful variations on Guthrie’s four-color

conjecture, Amer. Math. Monthly 79 (1972), 2-43.

Robin Wilson, Four Colors Suffice: How the Map Problem Was

Solved (2003)

More magazines by this user
Similar magazines