Geodæsi og Geostatistik

1
Noter til
Geofysik 5
Geodæsi og Geostatistik
C.C.Tscherning
Niels Bohr Institutet
Forår 2009.

Indhold:
1. Indledning
1.1. Hvad er geodæsi ?
2. Matematiske Hjælpemidler. Koordinater.
2.1 De mange bredder
2.2 Enheder
2.3 Elementære formler i planen eller på en kugle
2.4 Kortprojektioner og kort.
3. Geodætisk Statistik og mindste kvadraters metode
3.1 Statistiske Grundbegreber
3.2 Linearisering
3.3 Mindste kvadraters metode
3.4 Løsning af normalligningerne
4. Materiale fra Allan A.Nielsen, DTU:
Allan Aasbjerg Nielsen: Least Squares Adjustment: Linear and Nonlinear Weighted
Regression Analysis. Baggrundsmateriale til første forelæsning i geostatistik
Allan Aasbjerg Nielsen: Geostatistik og analyse af spatielle data. Baggrundsmateriale til
anden forelæsning i geostatistik
Allan Aasbjerg Nielsen: Orthogonal Transformations. Baggrundsmateriale til tredje
forelæsning i geostatistik
2

Indledning.
Disse noter er udarbejdet med henblik på undervisningen i 2 års-kurset kurset i Geodæsi og
Geostatistik på København Universitet. Noterne er dels et supplement til og dels en uddybning af
lærebogen af W.Torge: Geodesy, 3.ed., 2001, og dels en helt elementær introduktion til emnet
kortprojektioner. Endvidere er der udarbejdet Power-Point slides til brug for fremlæggelsen i
forelæsningslokalet.
3
Geostatistik er en vigtig del af det metodiske grundlag for alle geofysiske dicipliner. Her har geodæsi
en række gode eksempler på statistiske metoder. C.F.Gauss udvikling af mindste-kvadraters metode i
1800-tallet til brug for geodæsi er her et godt eksempel.
Undervisningen suppleres af øvelser, der dels illustrerer teksten i Lærebogen, og dels giver de
studerende et basalt kendskab til geodætiske målemetoder.
1.1. Hvad er geodæsi ?
Geodæsi er det fag eller den videnskab, der har til opgave at bestemme Jordens form. Det vil sige
opmåling og afbildning af Jordens overflade, og bestemmelse af Jordens tyngdefelt, bunden af vand og
is-dækkede områder, samt de tidsmæssige ændringer. Det forhold, at bestemmelsen af tyngdefeltet
hører med til geodæsi, har (en af) sin(e) årsager i, at havoverfladen, der jo udgør det mest af Jordens
overflade, er en flade, der under visse forudsætninger falder sammen med en flade hvor
tyngdepotentialet er konstant. Denne flade kaldes geoiden.
Geodæsi søger også at løse de samme opgaver for Månen og planeterne. Hertil kommer de fagområde
vi i dag kalder positionsbestemmelse. Det er stedsbestemmelse af objekter (skibe, fly, satellitter) i
forhold til Jorden. Hvis "objekterne" bevæger sig taler vi også om navigation, og for satellitters
vedkommende om celest mekanik.
Geodæsi har en lang række anvendelsesområder, hvor de følgende er de væsentligste:
Ved enhver form for kortlægning tager man udgangspunkt i en række punkter med kendte positioner,
f.eks. kendt geografisk bredde og længde. Disse punkter benyttes blandt andet til at korrigere et
luftfoto for fejl forårsaget af forvrængninger i fotoet. Bestemmelsen af disse punkters koordinater i et
veldefineret globalt koordinatsystem er en af geodæsiens væsentligste opgaver: At tilvejebringe
grundlaget for nøjagtige landkort.
Ved studiet af Jordens dynamiske ændringer, geodynamik, er et af udgangspunkterne gentagne
positions- eller tyngdebestemmelser, der sammenlignes. Geodæsi har derfor geodynamik som et af
sine hovedområder, fælles med en række andre geofysiske og geologiske fag.
Hvis man på en uafhængig måde kan finde geoiden, så kan studiet af de tidsmæssige afvigelser fra
denne flade give information om årsagerne til afvigelserne, så som havstrømme, temperaturændringer
ol. Helt basalt fortæller tyngdepotentialets værdier om at vand vil løbe fra et punkt med mindre
potentiale til et punkt med større.
Tyngdekraften, der er lig med størrelsen af potentialets gradient, varierer. Den største variation er
forbundet med Jordens fladtrykning. Når man står på Nordpolen er man tættere på Jordens tunge

4
kerne, end hvis man står på Ækvator. Men hvis man fratrækker denne bredde-afhængige variation, så
fortæller tyngdeanomalien om det der er inde i eller på Jorden. Er der et bjerg, så er tyngden større,
end hvis der er en dal. Og mere interessant, så vil tyngden efter fratrækning af bjerge og dale, give os
information om massefordelingen i Jorden. En negativ tyngdeanomali er et tegn på lette masser - vand,
gas, olie.
Tyngden ændres med tiden, idet den er en sum af Jordens tiltrækning, centrifugalkraften og
tiltrækningen fra Sol og Måne. Ligesom vi har tidevand, så har vi også tide variationer af tyngden.
Men da Jordoverfladen ændrer sig på grund af tiltrækningen, så vil man ikke måle de
tyngdeændringer, der svarer til ændringerne af Sol og Månes position. Dette kan vi benytte til at sige
noget om elasticitetsforholdene i Jordens indre.
Endelig kan relative positions eller tyngde ændringer give forvarsel om jordskælv eller vulkanudbrud.
1.2. Det fælles referencesystem.
Et fælles referencesystem (Conventional Terrestrial Reference System, CTRS) er defineret som følger:
Det er et sædvanligt tre-retvinklet, Cartesisk, koordinatsystem med nulpunkt (0,0,0) i Jordens
tyngdepunkt. Akserne benævnes (X,Y,Z) eller (X1,X2,X3), se Figur 1.1
Figur 1.1 Ellipsoidiske koordinater ( ϕ, λ)
og tredimensionale retvinklede koordinater (X,Y,Z)
Z-aksen går gennem tyngdepunktet, og er parallel med Jordens rotationsakse år 1900.0. X - Z planen
er fastlagt astronomisk, så den falder sammen med Greenwich meridian planen.

I dette koordinatsystem er lagt en omdrejnings-ellipsoide, med Z-aksen som symmetri-akse. Dens
dimensioner er givet ved den halve stor-akse, a, den halve lille-akse, b, (i Torge kaldet c !).
Dimensionerne kan også angives ved hjælp af
fladtrykningen f = (a - b)/a eller
1. excentricitet e 2 = (a 2 - b 2 ) / a 2 .
Pas på med b, der i Torge også benyttes for bredden !
5
Ellipsoiden betragtes som Jordens form i første tilnærmelse. Det er den flade, der danner grundlag for
landkort, ved en afbildning (kortprojektion) fra fladen til planen (R 2 ). Ellipsoiden er valgt, så den
tilnærmer middelhavniveau. I denne forbindelse må man forestille sig middelhavniveau fortsat ind
under landmasserne.
Helt præsist er middelhavniveau en flade hvor tyngdepotentialet er konstant, og det er denne flade,
der kaldes geoiden.
Indtil omkring år 1960 kendte man kun små dele af geoidefladen, se Figur 1.2, nemlig over de store
kontinenter. Man fandt ved beregning frem til en ellipsoide, der lokalt passede bedst med
middelhavniveau, og antog så, at Jordens tyngdepunkt var sammenfaldende med ellipsoidens centrum.
Da satellitterne kom frem, fandt man ud af, at man havde taget op til 1 km fejl !
til ellipsoiden har næsten samme retning som lodlinien.
Afvigelserne er i middel
30 m, med numerisk
maximum 110 m. Et
andet forhold af
betydning er, at normalen
Vinklen mellem ellipsoide-normalen og Ækvatorplanet er den geodætiske eller geografiske bredde ϕ
se Figur 1.3. Den fysiske lodretning, der er vinkelret på middelhavniveau, er derfor ganske tæt på
ellipsoide-normalen. Rumvinklen mellem de to retninger kaldes lodafvigelsen.

Lodliniens retning kan bestemmes ved astronomiske målinger, og er således en fysisk observerbar
størrelse. Dvs. vi kan ved et eksperiment i naturen bestemme en god tilnærmelse til vor position i
forhold til ellipsoiden.
6
Note: Astronomisk bredde og længde observeres ved hjælp af en kikkert hvis lodrette akse er
sammenfaldende med lodlinien. (Ved hjælp af libeller). Udfra kendskabet til stjerners deklination og
rektascention kan man beregne vinklen mellem zenith og den celeste pol (polarafstanden = 90 o -
bredden). Udfra observations tidspunktet kan man beregne den astronomiske længde. Helt simpelt kan
man observere tidspunktet for hvornår en stjerne står højest på himlen. Forskellen mellem dette
tidspunkt (i stjernetid) og Rektascentionen giver en vinkel, der er lig med stedets (astronomiske)
længde.
I "gamle" dage var udgangspunktet for stedsbestemmelse et antal punkter med kendt astronomisk
længde og bredde. Man vedtog, at fastsætte at et af disse punkters bredde og længde skulle være lig
med den geodætiske bredde og længde. Eller at man bestemte geodætiske længder og bredder sådan at
der i området var bedst mulig overensstemmelse mellem geodætiske koordinater og astronomiske
koordinater. Dette kaldes fastlæggelse af et geodætisk datum. Figur 1.6 viser de punkter i Danmark
hvor astronomiske bredder og/eller længder er kendt.
Fordelen ved at benytte astronomiske metoder var, at man ikke behøvede at have direkte sigte fra
punkt til punkt. Mellem de astronomisk bestemte punkter kunne man så fylde ud ved hjælp af
vinkelmåling (triangulation) og afstandsmåling (tri-lateration), se Figur 1.4.
Højderne blev bestemt ved måling af højdedifferenser fra vandstandsmålere ved kysterne.

7
Da højdedifferenser bestemmes med instrumenter (kikkerter) opstillet med aksen sammenfaldende
med lodlinien, så giver lodliniens variation fra sted til sted en fejl, der gør at måling af
højdedifferenser i en lukket kurve ikke giver højdeforskellen nul fra start til slut. Vi skal senere se, at
hvis man ganger differenserne med værdien af tyngden, så får man differenser af tyngdepotential, og
disse differenser vil summere til 0.
Måling af højder er således i virkeligheden en måling at tyngdepotentialets ændringer. Heldigvis er det
også det der er brug for i praksis, hvor en højdeforskel gerne skulle udtrykke om vand vil løbe fra et
sted til et andet !
Hvis udgangspunktet for en stedsbestemmelse kun var et punkt, så var det nødvendigt at
fastlægge en retning i rummet, for at få det ved triangulation og trilateration konstruerede net korrekt
placeret på ellipsoiden. Men retninger (azimuth, se Figur 1.5) kan også fastlægges ved astronomiske
målinger. Helt enkelt kunne man forestille sig at Nordstjernen sad nøjagtigt i den celeste nordpol. Ved
at måle vinklen mellem de lodrette planer, der indeholder henholdsvis Nordstjernen og et punkt på
jordoverfladen ville man have fastlagt retningen. (Bemærk at vinklen vil være målt i en plan vinkelret
på kikkertens akse, lodretningen).
Vi skal i det følgende se, hvordan vi ved hjælp af satellitter har løst det problem, at vi ikke - på grund
af jordkrumningen - kan benytte triangulation eller trilateration for store afstande, f.eks. til at forbinde
øer med kontinentet eller kontinenterne.
Vi skal også se, at hvis vi kan bestemme tyngdepotentialet uden at nivellere, så kan vi bestemme
geoiden og dermed største delen af Jordens form.

Fig. 1.6. Første-ordens net i Danmark.
File: H:\excerc\g09\kap11.doc 2009-03-31
8

2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater.
2.1 De mange bredder.
2.1
I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med
koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X 3). Z-aksen er parallel med Jordens omdrejningsakse, X-Z
planen falder sammen med Greenwich meridianplanen og centrum falder i Jordens centrum, et
CTS. Men vi har brug for mange andre typer af koordinater.
Sædvanlige sfæriske koordinater
er polære koordinater i rummet, se Figur 2.1. Omvendt har vi
(2.2)
Til brug på eller nær Jordens overflade benytter vi geografiske eller geodætiske koordinater
(, , h) eller (, , H) se Figur 2.1 og 2.2.
(2.1)
er vinklen mellem normalen nedfældet fra punktet P på ellipsoiden og ækvatorplanet og h er
afstanden langs normalen fra ellipsoiden. Da er tæt på vinklen mellem lodlinien og
Ækvator, blev benyttet til kortlægning baseret på astronomiske målinger.

2.2
I stedet for h benyttes i praksis højden over havet H. Her må vi præcisere, hvad vi mener med
"havet", og det er her geoiden, se Figur 2.3.
Sammenhængen er
Vi skal nu udlede sammenhængen mellem de forskellige former for bredde, se Figur 2.4.
Udgangspunktet er ellipsens ligning, som vi her udtrykker i X og Z koordinater, da ellipsoiden
fremkommer ved en rotation on Z-aksen,
(2.3)
(2.4)
hvor ellipsens halve storakse er a og den halve lilleakse er b. Formel (2.4) udtrykker at
punkterne på ellipsen er det geometriske sted for de punkter, hvor summen af afstanden fra 2
punkter (de 2 focii) er konstant (= 2a). Midtpunktet mellem de to focii kaldes ellipsens
centrum, og det skal falde sammen med vort koordinatsystems nulpunkt.
Afstanden E

2.3
(excentriciteten) fra centrum til et af de to focii findes ved Pytagoras
For Jorden benytter vi i dag
a = 6378137.0 m og
b = 6356752.314 m
Opgave 2.1. Udregn f, e, e' samt E.
For at kunne finde sammenhængen mellem den geografiske og den geocentriske bredde
betragter vi nu ellipsen som en kurve i planen, dvs. en afbildning
også kaldet en parameterfremstilling. For en cirkel har vi som bekendt
For ellipsen vil vi forsøge at finde et udtryk på samme form
Da ellipsens ligning skal være opfyldt fås
(2.5)
kaldes den reducerede bredde, se Figur 2.5. Geometrisk findes den ved at omskrive ellipsen
med en cirkel med radius a, nedfælde den vinkelrette på X-aksen og dernæst forbinde
skæringspunktet med cirklen med centrum i ellipsen.

Vi skal nu benytte til af finde . Den findes simpelthen som 90 o minus tangentens hældning,
(polarafstanden). Tangentens hældning finder vi ved at differentiere
parameterfremstillingen for den kurve, c(), der fremstiller ellipsen.
så
eller
Nu er også
så på ellipsoiden gælder
2.4
Opgave 2.2. Den geografiske bredde for et punkt på ellipsoiden er 56 o . Hvad er den reducerede
bredde og den geocentriske bredde. Hvis den geocentriske bredde er 56 o , hvad er så de 2
andre bredder ? (a, b som benyttet i opgave 2.1).
Vi kan nu udtrykke den reducerede bredde udfra den geografiske bredde, og dermed finde X
og senere Z udtrykt ved denne. Vi har

Da
så får vi den meget vigtige formel:
Opgave 2.3. = 56 o . Hvad er N ?
Vi har så mere generelt:
Vi mangler nu at udtrykke Z. Her opstiller vi normalens ligning som en ret linie i X-Z
koordinatsystemet, jvf. Figur 2.6 b.
2.5
Normalens ligning er

2.6
og skæring med Z-aksen fremkommer for X = 0:
så
Disse vigtige formler findes i Torge, s. 49.
Den omvendte afbildning
er singulær på polerne. For længden vi har = arctan(Y/X), mens og h normalt regnes
iterativt. Der findes dog også lukkede formler.
2.2. Enheder.
De vigtigste enheder er:
meter, afstand lyset løber i vakuum i løbet af 1/299792458 sek.
1 sek er 9192631770 perioder for Cæsium 133's overgang mellem to hyperfinstrukturer.
Vinkler: Radianer, 180 o = . Meget benyttet blandt landinspektører er de såkaldte nygrader
eller gon, indført i 1791,
1 gon = 0.9 o = 54' (bueminutter) = / 200 radian.
TS, tusindedele benyttes militært 64000 = 360 o .
Grader, minutter, sek benævnes seksagesimale grader.
Af andre længdeenheder finder vi
1 favn = 3 alen = 6 fod,
1 mil = 12000 alen,
1 fod = 0.3138535 m.
2.3. Elementære formler i planen eller på en kugle.

2.7
For den plane trekant med siderne a, b, c har vi (se figur 2.7):
For den sfæriske trekant har vi tilsvarende simple formler, for betegnelser se Figur 2.8.
Hvis C ligger i Nordpolen, så har vi

2.8
c er så den sfæriske afstand mellem A og B,
Formlen bevises let ved at tage skalarproduktet af 2 enhedsvektorer udtrykt i sfæriske
koordianter (dvs. r = 1). Skalarproduktet mellem to enhedsvektorer er netop cosinus til den
sfæriske afstand.
Formlerne kan anvendes til en grov afstandsberegning mellem 2 punkter på en kugle med
radius lig med Jordens middelradius, 6371 km.
Af andre vigtige formler er sinusrelationerne, der er komplicerede at udlede:
Disse formler kan benyttes til at regne grove retninger og afstande udfra 3 kendte størrelser.
Kender vi længde og bredde for 2 punkter kan vi regne azimuth, . Det regnes positivt med
uret fra nord !
Opgave 2.4. Der er giver to punkter i kortblad 1314 III.
P =(=56 o , =10 o ), Q = ( = 56 o 52', = 10 o 18'). Benyt formlerne til at regne afstand og
azimuth fra P til Q på en kugle med radius 6371 km. Sammenlign med afstand og retning i
kortet.

2.4 Kortprojektioner og kort.
2.9
Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her
er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del af det reelle
talrum, R n , her R 3 , eller R 2 .
Jorden og/eller dens overflade er en mangfoldighed.
I Figur 2.10 vises afbildningen , f, af en omegn, U, omkring et punkt X, på Jordens overflade
over i f(U), der er en delmængde af R 2 . Parret (f, U) kaldes også i abstrakt matematik et kort. f
er en kortprojektion og den inverse afbildning, f -1 , er en parametrisering eller parameterfremstilling
af U.
ksempel 2.10
Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse
afbildning, f -1 ?
I praksis optræder flere afbildninger:
A: Fra Jordoverfladen eller rummet til ellipsoiden, (X,Y,Z) (,,h=0). (Eventuelt til
geoiden, H = 0).
B 1: Afbildning (kort) til planen af et delområde (omegn)
B 2: Afbildning til kugle, og herfra til planen af delområde (omegn).
Kortene har forskellige egenskaber, der helt eller delvist udelukker hinanden:
(a) afstandstro
(b) konforme, dvs. lokalt vinkeltro
(c) arealtro
E

2.10
(1) Ret linie der forbinder to punkter i kortet svarer til rute med kortest afstand. (En sådan
kurve kaldes en orthodrom eller geodætisk linie).
(2) Ret linie der forbinder to punkter i kortet svarer til rute med konstant kurs. (En sådan
kurve kaldes en loxodrom).
Kurver i rummet har parameterfremstilling c: R R 3 ,
Eksempel 2.4.2: Meridian på kugle med længden 0 og parallel med bredde 0.
De kurver, der frembringes ved i planen at holde en koordinat fast, kaldes parameterkurverne.
I eksempel 2.4.1 er meridianer og paralleller parameterkurverne. Men da parameterfremstillingerne
ikke er entydige, kan der være mange parameterkurver.
En vigtig type kurver,er de, der forbinder to punkter med den korteste afstand. De kaldes de
geodætiske kurver eller linier. På kuglen er det storcirklerne.
Eksempel 2.4.3. Storcirkel på en kugle gennem ( 0, 0) med azimuth .

2.11
der så afbildes videre over på kuglen. Udfra de sfæriske trekantsformler, jvf. Figur 2.12, så er
Øvelse 2.4.1. Kontroller, at vi for azimuth lig med 0 får meridianerne og at vi for = 90 o ikke
får en parallel !
Når vi skal vurdere en kortprojektions egenskaber, skal vi altid huske på, at størrelser som
afstande, arealer og retninger alle måles i det tre-dimensionale rum. Længden af en vektor v =
(X,Y,Z) er
eller kvadratet på længden er skalarproduktet af vektoren med sig selv, s 2 = v • v. Cosinus til
vinklen mellem 2 vektorer, v 1 og v 2 er lig med skalarproduktet af vektorerne divideret med
vektorernes længder, dvs. skalarproduktet af de tilsvarende enhedsvektorer.
Vi har her udtrykt den sædvanlige metrik i rummet ved hjælp af skalarproduktet. På en flade
må vi arbejde lidt anderledes. I gennem hvert punkt af fladen vil der gå to parameterkurver,
der er billede af kurvene x = konstant og y = konstant i kortet. Hver af disse kurver vil have en
tangent, og 2 tangenter udspænder en plan, tangentplanen, se Figur 2.13. I denne kan vi måle
vinkler og afstande, som om vi var i det 2-dimensionale reelle talrum. Men tangentvektorerne
vil ikke nødvendigvis være enhedsvektorer eller vinkelrette på hinanden, dvs. de danner ikke
nødvendigvis nogen orthonormal basis. Og det må vi selvfølgelig tage hensyn til.
Eksempel
2.4.4:
Tangentplanen svarende til eksempel 2.4.1.
Vi skal differentiere parameterkurverne med hensyn til x og y, og evaluere i billedet (X,Y).

2.12
Nu definerer vi billedet af en vektor i kortet (a,b) som værende vektoren (a v 1 + b v 2) i
tangentplanen. Har vi 2 vektorer i kortet (a 1, b 1) og (a 2, b 2) så kan vi udtrykke deres skalarprodukt
i tangentplanen som
Eksempel 2.4.5: For kortprojektionen i eksempel 2.4.1 får vi
Helt generelt, er det vi har fundet, den såkaldte Jakobi-matrix. Den kaldes også den metriske
fundamentalform,

2.13
Bemærk at basisvektorernes længde er e ½ og f ½ , at cosinus til vinklen mellem vektorerne
og arealet er matricens determinant, A = ef - g 2 .
Vi kan nu definere målestoksforholdet m som værende forholdet
hvor m er angivet som en funktion af (a, b), dvs. det er retningsafhængigt ! Vi ser også at
målestoksforholdene i akseretningerne er kvadratroden af e, henholdsvis f. Hvis basisvektorerne
skal være vinkelrette på hinanden, så skal g være lig med 0.
Vi kan nu definere:
Konform: Vinklerne mellem tangentvektorerne bevares i ethvert punkt.
Arealtro: Arealer målt i tangentplanen udspændt af to vektorer skal være konstant, ef - g 2 =
konstant.
Afstandstro: Afstande målt i tangentplanen bevares, eller
Eksempel 2.4.6: Cylinderprojektion fra kuglen. Vi forlanger her at afbildningen er afstandstro
langs Ækvator, samt at den som funktion af x kun afhænger af længden og af y kun af
bredden, dvs:
hvor f er en funktion, vi vil finde.
Basisvektorerne bliver

Her får vi
så for at vinklerne skal bevares må vi have
Løsningen til denne ligning er
2.14
Denne størrelse kaldes også isometrisk bredde og det er den der er grundlaget for de
sædvanlige søkort i Merkators projektion.
Hvis afbildningen skulle have været arealtro, så var betingelsen
Hvis vi ønsker en Meridian afstandstro, så bytter vi (på kuglen !) om på længde og bredde.
Herved fremkommer den overmåde meget benyttede Transverse Merkator projektion, se Figur
2.15.
Ved at rotere
90 o om X-aksen, så den nye Z-akse går i samme retning som Y aksen, bytter om på
længde og bredde, så er med o= 0 i Figur 2.15
Heraf får vi

Dvs.
2.15
Det er grundlaget for UTM, Universal Transversal Merkator projektion, der benyttes på alle
moderne topografiske kort i målestoksforhold fra 1:25000 til 1:250000. UTM har der særlige
forhold, at der for hver 6 o er defineret en ny midtermeridian, hvor målestoksforholder er
0.9996. Herved skærer cylinderen langs to kurver, så den generelle målestoksforvrængning er
mindst mulig inden for 6 o zonen.
Generelt så kan vi opfatte bredden og længden som funktioner af de plane koordinater (x, y).
Så bliver parameterkurvernes tangentvektorer,
Her får vi så
efter en lang udregning
Udskifter vi med isometrisk bredde , så

2.16
Hvis vi vil forlange at kortprojektionen skal være konform, så må tangentvektorerne være lige
lange og skalarproduktet må være 0. (De skal være vinkelrette på hinanden). For at dette kan
gælde, så må vi have
Dette er de berømte Cauchy-Riemanns differentialligninger, der som konsekvens har, at
sammenhængen mellem (x,y) og (, ) kan udtrykkes om en kompleks analytisk funktion,
endda som et polynomium (med uendelig mange led, en potensrække),
hvor a'ern og b'erne er komplekse konstanter og i er den imaginære enhed. Denne form har den
fordel, at man udfra kendskabet til den ene række let kan finde den anden række for den
inverse afbildning.
I Kort & Matrikelstyrelsens transformationsprogrammer er dette udnyttet til flere af de
konforme kortprojektioner, se Poder, K., and K.Engsager: Some conformal mappings and
transformations for geodesy and cartography. Draft KMS, 1995.
Vi skal nu udnytte de generelle formler til at finde udtrykket for en kegleprojektion.

2.17
Her forlanges røring langs en af parallellerne. Indfører vi vinklen
og forlanger at afstanden fra keglens toppunkt er en funktion af bredden alene,
så er
Vi må nu udregne de afledede med hensyn til x og y. Her er to udregnet; udregn selv de andre:
Herefter kan længden og det indre produkt af tangent-vektorerne udregnes, (f' er den afledede
af f):

2.18
Konformitet kræver nu at vektorerne er lige lange og vinkelrette på hinanden, så
og heraf
Herefter fastlægges konstanterne c 1, c 2 og c 3, så vi får målestoksforholdet til at passe. Ved at
multiplicere med en passende faktor, er det også muligt at få keglen til at skære langs 2
paralleller. De endelige formler svarende til en røringsparallel med bredden 0 (for en kugle)
bliver
hvor vi har forskudt nulpunktet til skæringspunktet mellem røringsparallellen og midtermeridianen.
Udfra formlerne for keglen kan man udlede formlerne for Merkators projektion (Tangens ved
ækvator) og for Polar-stereografisk projektion, hvor en plan tangerer en af polerne.
mlerne for polar-stereografisk projektion bliver
For

2.19
Nulpunktsforskydning. Ofte ønsker vi et bestemt punkt ( 0, 0) skal afbildes over i kortet
som (0,0). Det gøres enklest ved først at afbilde punktet over i kortet i (x 0, y 0) , og derefter
definere den nye afbildning som x' = x - x 0, y' = y - y 0.
Eksempel 2.4.7. For kegleprojektionen ønsker vi nulpunktet lagt på rørings-parallellen med
bredde 0. Dvs. vi skal fratrække afstanden fra keglens toppunkt,
Meridiankonvergensen.
Vinklen mellem meridian-kurvens billede og Y-aksen (Nord-retningen) kaldes
meridiankonvergensen.
Vinklen findes i tangentplanen mellem tangenterne til meridianen og til parameterkurven
svarende til x = konstant, (v 2), som vi har udledt et generelt udtryk for ovenfor. Tangenten til
meridianen er

2.20
Ved at danne det indre produkt, og dividere med længden af tangenterne får vi cosinus til
vinklen,
Hvis længden er uafhængig af y, som i Merkators projektion, så ser vi at cos = 1, dvs. = 0.
For Transvers-Merkator er x = R f('), y = R '.
Heraf får vi
eller meridiankonvergensen er tilnærmet lig med længde-differensen fra midtermeridianen.
Ellipsoidiske formler. Ovenfor har vi udledt formler for kortprojektioner fra en kugle til
planen. De tilsvarende formler for overgangen fra en ellipsoide til planen, evt. med en
"genvej" over en kugle kan udledes uden særlige komplikationer. - Formlerne bliver længere.
Mange flere detailler om kortprojektioner, herunder om såkaldte skævaksede findes i
Peter Ricardus og Ron K. Adler, 1974. Nogle af de følgende illustrationer er kopieret fra denne
bog.
Danske kortprojektioner.
De sædvanlige topografiske kort (4, 2 og 1 cm) er i UTM-projektionen med midtermeridianer
med længderne 9 o og 15 o . (Zone 32 og zone 33), se Buchwaldt, 1972.
Søkort er i Merkators projektion. Dette giver meridianer og paralleller som rette linier.
Lambert konform-konisk projektion benyttes for Fly kort (ICAO).

2.21
Det Danske koordinatsystem System 34 (se Buchwaldt, 1976) er ikke baseret på nogen
kortprojektion i matematisk forstand. Basis er en tilnærmet transversal konform cylinderprojektion
(samt 1 for Bornholm). Jorden er regnet kugleformet, baseret på middelkrumningsradius
for Hayford-ellipsoiden (a = 6378388 m, 1/f = 297) i bredden 56 o 08' for Jylland og 55 o
20' for Sjælland. Det trigonometriske punkt Agri Baunehøj har fået koordinaterne (Y, X) = (
200 km, 200 km), så alle danske koordinater er positive. X - aksen peger mod Nord og Y -
aksen peger mod vest. Afbildningen er iøvrigt fastlagt så retningen fra Agri til Lysnet er
24 o 31'14".17.
Den er konstrueret så målestoksændringerne er mindre end 50 ppm (part per million) for
Jylland og 22 ppm for Sjælland. Den benyttes til alle matrikulære formål.
Overgangen fra System 34 Sjælland, Jylland og Bornholm, bygger på kendskabet til koordinater
i 2 systemer, nemlig UTM og System 34. Der er konstrueret flere sæt af polynomier, der
repræsenterer overgangen fra det ene system til det andet, se Andersson. O. og K.Poder:, 1981.
2.5 Litteratur til kapitel 2.
Andersson. O. og K.Poder: Koordinattransformationer ved Geodætisk Institut. Landinspektøren,
Årg. 30, s. 552-571, 1981.
Bomford. G.: Geodesy. 4. ed., Clarendon Press, Oxford, 1980.
Buchwaldt, F.: UTM nettet, Opbygning og anvendelse, Geodætisk Institut, 2. oplag 1972.
Buchwaldt, F.: Den Danske Kortprojektion System 1934. Damsk Kartografisk Selskab, Pub.
Nr. 5, (Uden år, dog 1976).
Grossmann, W.: Geodätische Rechnungen und Abbildungen, Verlag Konrad Wittwer, 1976.
Ricardus, Peter og Ron K. Adler: Map Projections, North-Holland, 2. ed. 1974.
Pearson II, F.: Map Projections, Theory and Applications.CRC Press, Inc., 1990.

H:\excerc\geodstat2.doc , sidste ændring: Nov. 5, 2003..
3. Geodætisk statistik og mindste kvadraters metode.
3.1. Statistiske grundbegreber.
3.1.1 Fordelinger.
Fordelingen af gentagne observationer (målinger) kan beskrives ved hjælp af et histogram,
der viser antallet af målinger i et givet interval.
Målingerne kan gentages i det samme punkt (og kan så opfattes som en tidsrække) eller den
samme størrelse kan måles i forskellige punkter på Jorden (og opfattes så som en
stedsafhængig størrelse). Nedenfor er vist fordelingen af middel-tyngdeværdierne for 1 grads
blokke fordelt over hele Jorden.
Dette eksempel er valgt for at illustrere at også fysiske (deterministiske) størrelser kan have
en ”statistisk” fordeling. Fordelingen vist i figuren ligner jo afgjort en normalfordeling. For
målinger der gentages på det samme sted betragtes typisk afvigelsen fra middelværdien som
en fejl, med mindre vi ved at der er en fysisk årsag til afvigelsen (som fx tidekræfterne).
I statistik er det grundlæggende begreb et udfald (af et forsøg) eller en ”hændelse”. I geodæsi
vil en hændelse være en måling af en afstand eller en tyngdeværdi. Vi har en afbildning fra et
rum (H) af mulige hændelser ind i et udfaldsrum (den reelle akse (R), en ternings 6 øjne, ol.).
Afbildningen kaldes en stokastisk variable. Den svarer til begrebet en funktional i
funktionalanalyse hvis udfaldsrummet er den reelle akse. Tyngden i et punkt er en afbildning
fra rummet af mulige tyngdepotentialer ind i det reelle talrum.
En stokastisk variabel X: H -> R kan beskrives ved en sandsynlighedstæthed, f(x), der ved
1

integration over intervallet [a,b] angiver hvor stor sandsynligheden (P) er for at udfaldet
ligger i dette interval,
P(a ≤ x ≤ b) =
b
∫
a
f(x) dx
For fordelingen kan man definere middelværdi, varians og det n=te moment:
der begge kan udtrykkes ved Estimations operatoren E.
Varians :
Middelværdi
2
σ x =
∞
∫
:
−∞
x=
(x -
-∞
x ⋅
n - te moment : E((x -
∞
∫
2
x ) ⋅
f(x) dx=
f(x) dx=
E((x -
Hvis udfaldsrummet er flerdimensionalt (fx tyngdevektorens 3 komponenter) kan man på
tilsvarende vis definere middelværdi vektoren og Varians-Kovarians Matricen:
Σ
X
2 = σ X = { σ ij }, σ ij =
∫ ∫
-
∞
∞
−∞
∞
hvor vi ofte betegner
Hvis X er tyngdevektoren, så er matricen en 3 x 3 matrix.
x )
n
)
2
σ ii = σ i .
Vi kan så også definere korrelationen mellem 2 størrelser:
ρ =
ij
E(x)
x )
( x - ~ x ) ( x - ~
i i j x j ) f( xi
, x j ) dxi
dx j ,
σ ij
∈[-1,1]
σ ii ⋅σ jj
På grund af estimationsoperatorens linearitet har vi ”kovarians-propagation”:
E(a j
⋅ X i + b ⋅ X j ) = a ⋅ E( X i ) + b ⋅ E( X )
hvor a og b er reelle tal. Hvis X og A0 er vektorer af dimension n og A er en n x m
matrix, så gælder
2
2
)

Y = A + A⋅
X →E
Y ) = A + A⋅
E(
X )
Σ
Y
0
( 0
= E((
y − E(
Y )) ⋅ ( Y − E(
Y ))
Den inverse P = Σ kaldes ofte vægt-matricen.
-1 X
T
) = A⋅
Σ
Eksempel 3.1: Her er n = 2 og m = 1. Vi betragter summen af 2 observationer:
σ 11 0
A0 = {0}, A=
{1 , 1}, X =
0
⎟
σ 22
Y = X 1+
X 2 , σ YY = σ 11+
σ 22
⎟
⎛ ⎞
Σ ⎜
⎝ ⎠
Hvad er så variansen, hvis vi betragter differensen mellem 2 observationer ?
3.1.2 Normalfordelingen.
En 1-dimensional størrelse er normalfordelt hvis
f(x) =
1
2π
⋅σ
xx
⋅ e
2
σ xx
-(x-E(X)
) /(
2)
X
⋅ A
Tilsvarende består en vektor af simultant normalfordelte størrelser hvis
F( x1
,..., xn
) =
(2π
)
n/2
1
⋅( det Σ
Den kaldes den n-dimensionale normalfordeling.
X
)
1/2
e
T
-(X -E(X))
T
P (X -E(X))/2
En konsekvens af kovarians-propagationen (og som ses let ved et lille regnestykke) er at hvis
X er en n-dimensional normalfordelt vektor, D en n x m matrix, så bliver Z = D X også
normalfordelt med middelværdi E(Z) = D E(X) og varians-kovarians matrix
Hvis en størrelse er normalfordelt så er det bedste skøn (udfra n observationer) for
middelværdi, varians og ko-varians
E( Z
) = Σ Z = D • Σ
2
X •
3
D
T

xˆ
=
eller med s =
n
Σ
i=1
Standardafvigelsen=
n
Σ
i=1
Standardafvigelsen=
COV(x, y) =
(x - xˆ
) ⋅(y
- yˆ
)/n,
Korrelation=
ρ = COV(x, y)/( σ x ⋅σ
y )
x
x
i
i
n
,
Σ
i=1
/n,
σ x
=
ss =
n
Σ
i=1
(ss -
x
s
2
i
2
n
Σ
i=1
( xi
- xˆ
)
n - 1
2
/n)/(n-1)
Hvis kovariansen COV(x,y) kan udtrykkes som en funktion af en parameter s, COV(s), så
kaldes den for en kovariansfunktion. I øvelse 11.1 beskrives estimationen af en
kovariansfunktion for lokale tyngdedata.
Bemærk, at hvis vi som udgangsdata har data, der er normalfordelte, så får vi et nyt sæt af
normalfordelte data, hvis det nye sæt har en lineær relation til det gamle sæt ! Det har som
konsekvens, at vi må linearisere (Taylorudvikling med kun 0 og 1. ordens led) en eventuel
ikke lineær relation. Årsagen til at dette er vigtigt er, at vi ofte ved at startdata er
normalfordelte med en kendt varians, og vi så ønsker at kunne sige noget om variansen af
afledte størrelser.
Hvis middelværdien er ukendt, og variansskønnet går mod uendeligt når man får flere og
flere data (for eksempel hvis data fordeler sig om en ret linie med hældning forskellig fra 0),
så benytter man i stedet variogrammet:
vari(s) =
N
iΣ =1
( xi
- x
hvor summen tages over alle par af data, der har afstanden s (eller ligger i intervallet fra s-ds
til s+ds). Bemærk, at variogrammet har værdien 0 for s = 0. For normalfordelte størelser er
der en meget simpel sammenhæng mellem kovariansfunktion og variogram.
Vi kan også have uendelig (men tællelig) dimensionale normalfordelinger. Antag vi har en
funktion T(P) i et Hilbertrum af tællelig dimension. Denne funktion kan udvikles i en
(Fourier-) række
Σi =1
∞
⋅
(P),V
T(P) = ai
V i
i
j
orthonormal
4
)
2
,
basis,
De fundamentale stokastiske variable, Xi er de lineære funktionaler der afbilder fra T til
Fourier-koefficienterne ai. Disse variable antages at være normalfordelte med middelværdi 0
2
og varians σ i . Summen af varianserne skal være et endeligt tal. Dette er et eksempel på en
stokastisk proces. Formelt kræves der, at den simultane (samtidige)

sandsynlighedsfordeling af n variable er defineret, dvs. for 2 variable
P(a 1
2
< X
er kendt, og ligger i intervallet fra 0 til 1.
< b, c < X
< d)
Herudfra kan man finde den 1-dimensionale fordeling af for eksempel
evalueringsfunktionalerne, LP (T) = T(P). De får også middelværdi 0, og varians lig med
Σi =1
∞
2 2
E(T(P ) ) = σ i V(P )
Kovariansen mellem 2 værdier bliver tilsvarende
2
E((T(P) •T(Q)) = σ i ⋅V
i(P)
⋅V
i
Σi= 1
∞
2
(Q)
Eksempel 3..1.2: Stationær tidsrække. Betragt Fourierrække (periodisk funktion)
f(x) =
N
Σ
i=0
Så er kovariansfunktionen
COV(x, y) = E(f(x) f(y)) =
2πi
2πi
2
2 2 ( ai
cos(
x) + bi
sin(
x)), E(( ai
) ) = E(( bi
) ) = σ i
N
N
N
Σ
i=0
σ
2
i
( cos(i
x) cos(i
N
Σ
i=0
2
σ i cos(i(x-
y))
y) +
sin(i
x) sin(i
Vi ser at kovariansfunktionen kun afhænger af forskellen mellem x og y, dvs. den er
stationær. Varianserne kaldes power-spektret.
y)) =
Eksempel 3.1.3: Det anomale tyngdepotentiale, T. Her er rækkeudviklingen ( sfærisk
tilnærmelse)
5

j
GM ⎛ R ⎞
T(P) = T( ϕ , λ,
r) = ⋅ C V ( , )
R Σ ⎜ ⎟
r Σ ij ij ϕ λ
i=
2 ⎝ ⎠ j= -i
ϕ = bredden, λ = længden , r = radiusvektors
længde,
∞
R = Jordens middelradius,
C
GM = produkt af
ij
i+
1
fuldt - normaliserede
koefficienter,
gravitationskonstant
og Jordens totalmasse.
Antag at koefficienterne at er normalfordelte med den samme varians
GM
E( (
R
⋅ C
ij
2 2 2
) ) = σ ij = σ i /(2i + 1)
for koefficienter af samme grad. Hermed bliver kovariansfunktionen (se Torge (1991, (2.47))
P =
∞
i
Σ Σ
i=
2 j= -i
σ
2
i
i+
1
COV(P, Q) =
/(2i+
1)
2 ⎛ R ⎞
⎜
rr
⎟
⎝ ′ ⎠
E(T(P) ⋅T(Q))
=
i+
1
∞ 2
2⎛
R ⎞
Σσ
i ⎜ ⎟ Pi(
cosψ
), ψ = sfærisk afstand mellem P og
i=
2 ⎝ r′
r ⎠
( ϕ,
λ,
r), Q = ( ϕ′
, λ′
, r′
), Pi
, Legendre Polynomium af
V
ij
( ϕ,
λ )
V
ij
( ϕ′
, λ′
) =
Q,
graden i.
Vi ser at kovariansfunktionen kun er en funktion af den sfæriske afstand, samt r og r=.
Funktionen er isotrop = rotations-invariant.
3.2. Linearisering.
I fysik, geofysik og geodæsi står vi ofte overfor et ”parameter estimations problem” - dvs. at
finde det bedste skøn af m størrelse ud fra n andre størrelser, hvor n er større end eller lig med
m. Vi har flere observationer end størrelser vi ønsker at bestemme.
Hvis sammenhængen er lineær, og data er normaltfordelt, kan man vise, at den bedste metode
(den der giver mindst fejl eller varians) er mindste kvadraters metode. Ved denne metode
finder man de størrelser der har den mindste kvadratiske afvigelse fra de oprindelige
størrelser, hvis man regner ”baglæns” fra de bedste skøn.
Men ofte er denne lineære sammenhæng ikke tilstede, og må så findes ved en
Taylorudvikling.
6

Den generelle ikke lineære sammenhæng kan skrives
L + v=
Φ(X)
observationer
+ fejl =
Antag vi har et første skøn X1 for X, så L0 = ( 1 )
eller
Funktion af
parametre
Φ X , y = L- L0, x = X - X1. Så er tilnærmet
∂Φ
y + v=
A x, A=
{ } | X 1 ∂X
A er en matrix der består af de partielle afledede med hensyn til X=s komponenter, evalueret i
X1.
Hvis der er givet en række målinger, x=(x1,....,xn ), der som udgangspunkt er normalfordelte
2 med varians { σ i } og uafhængige, så kan vi benytte den lineariserede sammenhæng til at
finde varians-kovarians matricen for y = A x , se afsnit 1.
2
Σ y = A•
{ σ i } • A
Eksempel 3.2.1: En afstands afhængighed af koordinatforskelle.
Φ ( X , X ) = ( X − X
2
) + ( X − X
2
) ( X − X
0
Denne relation kan lineariseres udfra et start punkt, her (X11 ,X12 ,X13):
3
∂Φ
Φ(X, X 0 ) = Φ(
X 1 , X 0 ) + ∑ | X ⋅(
X i - X
1
i=1
∂ X 1i
∂Φ
X 1i -
=
X 0i
| X 1 ∂ X 1i Φ(
X 1 , X 0 )
På matrix form har vi med dXi = ( Xi -X1i)
1
T
01
2
T
02
1i
3
) + led
⎧∂Φ(
X , X 0 )
⎨
⎩ ∂X
i
⎫
⎬ X 0 ⎭
⋅{
dX i}
= Φ(
X , X 0 ) − Φ(
X 1,
X 0 ) =
observeret − beregnet,
eller A ⋅ x = y
7
af
03
)
2
2 - orden.

Hvis O-ordens leddet af Taylorudviklingen trækkes over på venstre side, og led af 2-orden
bortkastes, så er forbedringerne til X1, X-X1 udtrykt ved en lineær ligning med 3 ubekendte,
nemlig (X-X1 )>s 3 komponenter.
Eksempel 3.2.2: (Jævnfør Øvelse 10), (X11, X12,X13) = ( 3496719 m, 743242 m, 5264456
m).
Der er observeret afstanden fra en GPS satellit #16. Koordinaterne for satelliten, den
observerede afstand og den beregnede (alt i m) er:
Sat. X11 X12 X13 Obser. Beregnet
Afstand
16 19882818.3 -4007732.6 17137390.1 20785631.1 20785633.8
Observationsligningen er derfor med dXi = ( Xi -X1i)
((3496719.0-19882818.3)dX1 + (743242.0-4007732.6) dX2
+(5264456 .0-17137390.1) dX3)/20785633.8 = ( 20785631.1 - 20785633.8)
eller -0.7883 dX1 -0.1571 dX2 + 1.7083 dX3 = -2.7
Eksempel 3.2.3: I fysisk geodæsi lineariseres udtrykket for geoidehøjden og
tyngdeanomalien ved hjælp af anomalipotentialet T = W-U:
Δg
T
ς =
γ
dT 2
= - - T
dr r
(højdeanomalien),
(tyngdeanomalien)
Herved er de to størrelser udtrykt ved hjælp af lineære funktionaler, der er anvendt på T, hvor
T betragtes som element i et lineært funktionsrum (af harmoniske funktioner). U
(normalpotentialet, se Torge (2001, Afs. 4.4.2)) kan betragtes som 0-ordens leddet i en
Taylorudvikling. (I et Hilbertrum kaldes den afledede den Frechet-afledede).
8

3.3. Mindste kvadraters metode.
3.3.1 Det overbestemte problem.
Mindste kvadraters metode er traditionelt blevet anvendt til at bestemme en n-dimensional
vektor x, udfra m observationer, y, m > n. Vi har et overbestemt problem. Et typisk eksempel
er et geodætisk net hvor vi har målt alle retninger (vinkler) og afstande. For et plant net
kræves det dog normalt at 2 af punkterne har kendte koordinater.
Antag nu, at vi har foretaget en linearisering af den funktionelle sammenhæng mellem
observationer og de parametre vi vil bestemme. Så vil de m observationer udspænde et rum af
maximal dimensional m, hvor de n parametre udgør et underrum. (Vi vil i det følgende antage
at rummet er m-dimensionalt, ellers se afsnit 3.2).
Et skøn x ~ for x kan bestemmes i dette underrum ved en projektion. Vi søger det bedste skøn
- den bedste projektion - der kan defineres som den, hvor forskellen mellem det observerede
og det der beregnes udfra det bedste skøn har den mindste kvadratiske sum. Vi tager her
hensyn til at observationerne muligvis har forskellig nøjagtighed. Hvis målingerne har en fejl
vi, så har vi
Vi søger en løsning så
v Σ
y + v = A x, (Observationsligningerne)
T
v = (y - A x)
-1
-1
y Σy
Denne fås ved differentiation efter x:
x=
(
T
(y - A x ) = minimum(x)
d
-1 T
(y - Ax) Σ y (y - Ax ) = 0
d xi
-1 T -1 2 ⋅ yi
Σ y ⋅(Ai
) - 2 ⋅(
Ai
) ⋅Σ
y ⋅(
Ai
) ⋅ xi
T -1 -1 A Σ y A x=
A Σ y y
T -1 -1
T -1 A Σ y A ) A Σ y y
= 0
(Normalligningerne)
(Hele denne proces kaldes en udjævning af observationerne, fordi fejlen fordeles mellem
observationerne efter deres vægt).
Herefter kan vi finde varians-kovarians matricen for x:
Σ = ( A
A )
( A
A )
T T
) = ( A
T -1 -1 T -1 T -1 -1 T -1
-1
x Σy
A Σy
Σy
Σy
A Σy
Σy
Eksempel 3.3.1 : Vi betragter nu et typisk problem der er ”født” lineært. Betragt 3 punkter H,
G, I. Tyngen i et punkt H er 981600.15 mgal og vi har målt tyngdeforskellene mellem H og
G til 12.11 mgal og mellem G og I til 10.52 mgal, samt mellem I og H til -22.70 mgal.
A )
-1
1

Usikkerhedden i H er 0.02 mgal, og differenserne er målt med en nøjagtighed på 0.03 mgal.
Vi søger det bedste skøn for tyngderne i G og I.
så
Σ
-1 x
⎛1
0 0 ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ g
981600.15
G⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ -1
10
⎟
⎜ ⎟
⎜ 12.11⎟
⎜ ⎟ • g H =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 -1
1⎟
⎜ ⎟
⎜ 10.52⎟
⎜ ⎟ ⎝ g I ⎠ ⎜ ⎟
⎝ 10
-1⎠
⎝ - 22.70⎠
2 ⎛ 0. 02 0.00 0.00 0.00⎞
⎜
⎟ ⎛ 10
0⎞
⎛ 1-
1 0 1⎞
⎜ ⎟
2
⎜ ⎟ ⎜0.00
0. 03 0.00 0.00 ⎟
⎜ -1
10
⎟
= ⎜ 0 1-
10
⎟ •⎜
⎟ •
⎜
⎟
2
0.00 0.00 0. 03 0.00
⎟
⎜
⎜
⎜ 0 -1
1⎟
0 0 1-
1 ⎟
⎝ ⎠ ⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜
2⎟
0.00 0.00 0.00 0. 10
-1
03
⎝ ⎠
⎝
⎠
-1
2

Opgave 3.3.1: Udregn varians-kovarians-matricen.
Mindste kvadraters metode giver det bedste (lineære) skøn, hvis observationerne er
normaltfordelt. Hvis de ikke er det , kan man stadig bruge mindste kvadraters metode,
blot er den ikke længere nødvendigvis den bedste metode. Endvidere kan man ikke
beregne den statistiske fordeling af de skønnede størrelser, på den simple måde.
Bemærk, at man kan finde nye skøn for observationernes fordeling ved at regne
”baglæns”. Et nyt skøn for fordelingen er
Σ ~
y
=
A(
A
Vi har ovenfor forudsat at der var foretaget en linearisering. Hvis der er tvivl om at denne
måske ikke er god nok, benyttes det nye resultat som et nyt udgangspunkt for
lineariseringen, og udjævningen foretages på ny.
3.3.2. Det underbestemte problem.
Hvis vort rum har en dimension, der er større end antallet af observationer, må vi foretage
en anden projektion. Vi søger i stedet den vektor, der har mindst mulig norm. Men
hvilken norm ?
Inspireret af det overbestemte problem, kan man kræve, at en skønnet værdi er en linearkombination
af observationerne,
T
Σ
-1
y
A )
-1
A
T
3

n
~
i = ∑α ij
⋅
y
x j
j=1
Hvis x er en funktion, erstattes index i af en punkt-variabel (P), og α ij bliver også en
funktion α af P.
Pi
Vi kan betragte x som en stokastisk proces, og kræve at variansen af x - x~ bliver mindst
mulig:
E(
x − ~ x)
Vi kalder nu
2
2
= E(
x ) − 2
= E(
x −
n
∑
i=
1
i=
1
α ⋅ y )
α ⋅ E(
x ⋅ y ) + i = 1
i
n
∑
i
i
i
2
n
∑
i=
1
n
∑
j=
1
α α E(
y ⋅ y ) = minimum(
α )
2
Cij
= E( y ⋅ y ), C Pi=
E(x ⋅ y ), C0
= E( x )
og får igen ved differentiation (sammenlign Torge (2001, side 225)).
Fejl-variansen kan også udregnes:
E((x -
+
~ x
i
j
~ x = ( C
med E(x) = 0, E(y) = 0, E((
Pi
) ⋅(
C
ij
i
)
-1
i
j
⋅ y
2
2
T -1
) ) = E( x ) - 2 ( C Pi)
⋅ ( Cij)
E(x ⋅ y)
-1
2 -1
T
( C Pi)(
Cij)
E( y ) ( Cij)
( C Pj)
=
2 T -1
σ x - ( C Pi)
( Cij)
( C Pj)
T
y ) ⋅(
y ) ) = ( Cij)
, E(xy) = (C
i
Vi ser, at hvis vi vil have et skøn for et af observationsværdierne, bliver det reproduceret
eksakt. Fejlskønnet bliver endvidere 0. Det er fordi vi ikke har taget hensyn til fejlene i
observationerne. Man kan vise, at det gøres ved at addere støjens varians-kovarians til
matricen (Cij).
Eksempel 3.3.2: Vi har 2 tyngdeværdier i punkterne P og Q med værdierne 6 mgal og 10
mgal. Vi ser bort fra målefejl.
Afstanden mellem P og Q er 10 km. Vi søger tyngden i et andet punkt R, der ligger 8 km
fra P og 4 km fra Q. Kovarianserne er: COV(0) = 100 mgal 2 , COV(10 km) = 60, COV(8
j
i
j
Pj
)
i

km) = 80 mgal 2 , COV(4 km) = 90 mgal 2 . Værdien i R bliver
Δ g~
R
=
⎛100
60⎞
⎛10⎞
( 90 80)
⎜ ⎟ ⎜ ⎟=
9 mgal
⎝60
100⎠
-1
⎝ 6 ⎠
Opgave 3.3.2: Udregn fejskønnet for tyngdeanomalien i R. (Se også øvelse 11.2).
Ovennævnte metode kaldes mindste-kvadraters collocation eller ofte optimal lineær
estimation. Metodens navn udspringer fra teorien for løsning af partielle
differentialligninger, hvor metoden er karakteriseret ved, at den for fejlfrie data
reproducere disse. Indenfor denne ramme er metoden blevet generaliseret af Torben
Krarup, (Krarup, 1969) så man kan behandle data af forskellig art, som for eksempel
tyngder og geoidehøjder samtidigt. Metoden er yderligere generaliseret af H.Moritz,
(Moritz, 1980) så man kan blande et overbestemt og et underbestemt problem (se Torge
(2001, afsnit 6.8.2)). Denne type problemer løses indenfor andre fag ved en metode
kaldet Kriging, der er i tæt familie med collocationsmetoden.
Skøn for kovarianserne bestemmes som for normalfordelingen, under hensyntagen til at
der her er tale om en funktion. Men med mange fysiske fænomener har vi ikke
gentagelser (vi har kun en jord, kun en tid). Man må så gå på kompromis og antage en
hvis regularitet i kovarianserne. Ved stationaritet antager man for eksempel, at
kovarianserne kun afhænger af tidsforskellen. Dvs. alle par af observationer, der
observeres med en given tidsforskel kan benyttes til estimation af kovariansen. Dette
gøres ved at danne alle produkter af data, der har den bestemte tidsforskel, og så dividere
med antallet af produkter.
På Jordens overflade (eller i rummet) antages isotropi. Hvis vi drejer Jorden om
jordcenteret får vi en ny Jord. Herved er gentagelserne alle værdier, der for en fast højde
har den samme sfæriske afstand. Kovariansen estimeres så ved integralet (summen) over
alle værdier, der har en fast afstand, og der divideres med antallet. (Se øvelse 11).
Eksempel 3.3.3: For tyngdeanomalier har vi for punkter på Jordens overflade (r = R)
V
j GM
Δg( ϕ , λ,
R) = • (i - 1) ( , , R)
2 Σ Σ C ij ⋅ ⋅V
ij ϕ λ
R i=
2 j= -1
= Pij(
ϕ ) cos(j
λ ) , sin(j
λ ) , fuldt normaliserede
kuglefunktioner
∞
ij
så kovarianserne for tyngdeanomalierne bliver (se Heiskanen & Moritz (1967, afsnit
7.7)):
π π/2
2π
1
C( ψ ) = C( ϕ , λ,
ϕ′
, λ′
) =
g( , ) g( , ) d d d ,
2 16 ∫ ∫ ∫ Δ ϕ λ ⋅ Δ ϕ′
λ′
cosϕ
ϕ λ α
π -π
-π/2
0
med ϕ′
, λ′
med fast sfærisk afstand ψ , α azimut.

P.gr. af ortogonaliteten af kuglefunktionerne på kuglen får vi

2 ⎛ GM ⎞
σ i = ⎜ ⋅ 2 ⎟
⎝ R ⎠
2
j
Σ
j= -i
2
C( ψ ) = σ i ⋅ Pi(
cosψ
),
(i
- 1
)
2
∑
i=
2
C
∞
ij
, (tyngdeanomali
gradvarianser)
Der findes forskellige modeller for hvordan grad-varianserne går mod uendelig. Mest kendt er
”Kaulas-rule”,(Kaula, 1959), der desværre medfører at tyngdevariansen på Jordens overflade
er uendelig. I 1974 lancerede forfatteren og R.H.Rapp en model, der ikke har denne skavank
(Tscherning & Rapp, 1974) , Torge (2001, eq. 6.27).
3.4. Løsning af normalligningerne.
Da normalligningerne har en symmetrisk koefficient-matrix (N) og altid forsøges konstrueret
så de er løsbare (positivt definitte), er det mest fordelagtigt at benytte Cholesky=s metode til
at løse ligningerne. Denne metode giver den mindst mulige afrundingsfejl, og hvis
ligningerne er singulære kan man blive advaret om det under løsningsprocessen. Vi skal løse
ligningssystemet y = N x, hvor y og x er n-dimensionale vektorer.
Hovedideen er at omforme N så den bliver et produkt af to nedre-symmetriske matricer, L
(for ”Lower”).
L
-1
(L L
T
N x=
- ) x=
L
L L
1
T
x=
y, eller
y,
T
L x=
Dette system er nu øvre-triangulært. Det vil sige, at den n-te ligning er en ligning med 1
ubekendt (xn). Løses denne og indsættes, får man at den næste er en ny ligning med 1
ubekendt. Denne proces kaldes tilbageløsningen, og kan først udføres når L -1 y er beregnet.
Cholesky algoritmen kan udledes induktivt. Først betragtes en ligning med 1 ubekendt. Så er
L et tal, lig med kvadratroden af N11. Antag nu vi har fundet (den reducerede) Lm for det
delsystem, der består af de m første rækker, og kald de m første rækker af den m-te søjle for
Nm+1, så vil Lm+1 være lig med
L
m + 1
⎛ L
⎜
= ⎜
⎝0
m
N
m+
1, m+
1
- ( L
(Vises ved at danne produktet). Så kerne algoritmen er følgende: Da Lm er nedre-triangulær,
skal vi løse 1 ligning med 1 ubekendt for voksende index:
-1 m
L
-1 m
N
N
m+
1
m+
1
)
T
L
L
-1 m
-1
N
y
m+
1
⎞
⎟
⎟
⎠

L
i,
m+
1
L
= ( N
m+
1,
m+
1
i,
m+
1
=
- Σ Lik
L •
N
m
k=1
m+
1,
m+
1
-
m
Σ
k=1
m+
1,
k
Lk
)/ L
2
, m+
1
Den samme algoritme benyttes til beregning af L -1 x. En bedste måde at se det på er, at udvide
N-matricen med en ekstra søjle bestående af y=s elementer. Anbringes kvadratsummen af
y=erne i et nyt diagonal-led, Nn+1,n+1, så får man en generel algoritme.
Eksempel 3.4.1. Vi ønsker nu at løse samme opgave som i eksempel 3.3.2, og betragter så 3
x 3 matricen
( L
T
⎛
⎜
⎜
⎝0
-1
)
⋅(
L
⎛100
60 10⎞
⎛ N y⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟=
⎜ 60 100 6 ⎟,
⎜ T T ⎟
⎝ y y y⎠
⎜
10 6 136 ⎟
⎝ ⎠
T T -1
10 6 1
L ( L ) y⎞
⎛ ⎞
⎟
⎜ ⎟
= ⎜ 0 8 0⎟,
så
T T ⎟ -1
y y - ( y N y ⎜
0 0 135 ⎟
⎠
⎝ ⎠
T
-1
)
⎛ 0.1⎞
⎛90⎞
y = ⎜ ⎟ og ~ x = ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠ ⎝80⎠
T
ii
⎛0.1⎞
⋅ ⎜ ⎟ = 9
⎝ 0⎠
En nedre (eller øvre) triangulær matrix har en determinant, der er lig med produktet af
diagonalleddene. Endvidere er produktet af L=s diagonal elementer lig med kvadratroden af
N=s determinant. Hvis det bliver lig 0, er ligningssystemet singulært. Hvis det m-te diagonalelementerne
bliver nul, så er den m-te del-matrix singulær. (Den m-te søjle er lineært
afhængig af de m-1 forrige). Denne egenskab gør, at Cholesky=s metode er meget anvendelig
i praksis, idet man når at fange fejl i ligningssystemet. I et geodætisk net kan det skyldes, at
der ikke er nok fastholdte (kendte) punkter, og i collocation, at en observation er taget med 2
gange.
Cholesky=s metode, er en metode til at løse ligninger med en positiv definit koefficientmatrix,
og ikke en metode til at finde den inverse af en matrix. Hvis den skal bestemmes, så
må man løse et antal ligninger, hvor højresiden består af kolonnerne i en identititsmatrix.
Eksempel 3.4.2: Bestemmelse af den inverse af en 2 x 2 matrix, jvf. Eksempel 3.3.2:.

⎛100
60⎞
⎛10
6 ⎞ ⎛ 1⎞
⎛ 0.1⎞
⎛0
⎞ ⎛ 0
T
-1
-1
⎞
N = ⎜ ⎟,
L = ⎜ ⎟,
L ⎜ ⎟=
⎜ ⎟,
L ⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎝ 60 100⎠
⎝ 0 8⎠
⎝0
⎠ ⎝-
0.75⎠
⎝ 1⎠
⎝0.125⎠
⎛ 0.1⎞
⎛ 0.06625⎞
⎛ 0⎞
⎛ - 0.09375
T -1
T -1
⎞
så ( L ) ⎜ ⎟=
⎜ ⎟,
( L ) ⎜ ⎟=
⎜ ⎟,
⎝-
0.75⎠
⎝-
0.09375⎠
⎝0.125⎠
⎝ 0.015625⎠
⎛ 0.06625 - 0.09375
-1
⎞
N = ⎜
⎟
⎝-
0.09375 0.015625⎠
Kontroller beregningen ved at finde den inverse ved determinantmetoden.
Bemærk endvidere at N er symmetrisk, så man kun behøver at lagre den ene halvdel. Når et
element i ligningssystemet har været i brug, så kan det erstattes af det tilsvarende i Lmatricen.
Det kan også udnyttes, at hvis en søjle har en række elementer lig med 0 i
begyndelsen af søjlen, så bliver de tilsvarende elementer i L-matricen også 0. Det giver
mulighed for at spare regnekraft, når der arbejdes med såkaldte tyndt besatte matricer.
Sådanne matricer opstår ofte når man udjævner geodætiske net. Værdier, der svarer til at der
ikke er nogen måling, der forbinder 2 punkter, vil være 0. Se iøvrigt Poder & Tscherning
(1973).
Bemærk, at hvis den n+1 søjle består af elementerne Cpi med C0 i diagonalen, så beregnes
fejlskønnet, hvis man i Cholesky-algoritmen undlader at tage kvadratroden til sidst.
Eksempel 3.4.3. Vi vil nu udregne fejlskønnet på skønnet for tyngdeværdien i eksempel
3.3.2. Vi har allerede udregnet L-matricen i eksempel 3.4.1, så vi betragter nu 3 x 3 matricen,
der består af 2 x 2 matricen L, vektoren Cpi og C0 i diagonal-elementet:
der viderereduceres, så vi får
så fejlskønnet er 2.9 mgal 2 .
3.5. Litteratur til kapitel 3.
⎛
⎜
⎜
⎝0
C
0
- ( L
⎛ 10 6 90⎞
⎛ L C Pi⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟=
⎜ 0 8 80⎟
⎜ ⎟
⎝ 0 C0
⎠ ⎜
⎟
⎝ 0 0 100⎠
L
-1
C
Pi
L
-1
T -
) ⋅(
L
1
C
C
Pi
Pi
⎛ 10 6 9 ⎞
⎞ ⎜ ⎟
⎟
= ⎜ 0 8 3.25⎟
⎟
⎠ ⎜
⎟
⎝ 0 0 2.9⎠
Hald, A.: statistical Theory with Engineering Applications. John Whiley & Sons, New York,
London, 1956.
Heiskanen, W.A. and H. Moritz: Physical Geodesy. W.H. Freeman & Co, San Francisco,

1967.
Kaula, W.M.: Statistical and Harmonic Analysis of Gravity. J.Geophys. Res., Vol. 64, no. 12,
pp. 2401-2421, 1959.
Krarup, T.: A Contribution to the Mathematical Foundation of Physical Geodesy. Meddelelse
no. 44, Geodætisk Institut, København 1969.
Moritz, H.: Advanced Physical Geodesy. H.Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1980.
Poder, K. and C.C.Tscherning: Cholesky's Method on a Computer. The Danish Geodetic
Institute Internal Report No. 8, 1973.
Sanso, F.: Statistical methods in physical geodesy. In: Suenkel, H.: Mathematical and
Numerical Techniques in Physical Geodesy. Lecture Notes in Earth Sciences, Vol. 7, pp.
49-155, Springer-Verlag, 1986.
Torge, W.: Geodesy. 3. edition, de Gruyter, 2001.
Torge, W.: Gravimetry. de Gruyter, Berlin, 1989.
Tscherning, C.C.: Introduction to Functional Analysis with a View to its Application in
Approximation Theory. In: Moritz, H. and H.Suenkel (Ed's): Approximation Methods in
Geodesy, H.Wichmann Verlag, Karlsruhe, pp. 157-192, 1978c.
Tscherning, C.C. and R.H.Rapp: Closed Covariance Expressions for Gravity Anomalies,
Geoid Undulations, and Deflections of the Vertical Implied by Anomaly Degree-Variance
Models. Reports of the Department of Geodetic Science No. 208, The Ohio State University,
Columbus, Ohio, 1974.