Tirsdag - Matematik - Rasmus Sylvester Bryder

1. c ≥ 0: I dette tilfælde er x + c ≥ c ≥ 0 for alle x ∈ [0, 1], hvormed
1
1
|x + c|dx =
0
0
x + cdx = 1
+ c.
2
Bemærk i dette tilfælde, at 1
1
1
2 + c ≥ 0, hvormed 2 + c = | 2 + c|.
2. c ≤ −1: I dette tilfælde er x + c ≤ x − 1 ≤ 0 for alle x ∈ [0, 1], hvormed
1
1
|x + c|dx = − (x + c)dx = − 1
− c.
2
Bemærk her, at 1
1
1
2 + c ≤ 0, hvormed − 2 − c = | 2 + c|.
0
3. −1 < c < 0: I dette tilfælde er x + c ≥ 0 for x ≥ −c og x + c ≤ 0 for x ≤ −c, hvormed
1
|x + c|dx = −
0
−c
0
0
1
(x + c)dx + (x + c)dx
−c
2 (−c)
= − + c(−c) +
2
1 1
−
2 2 (−c)2
+ c(1 + c)
= − c2
2 + c2 + 1 1
−
2 2 c2 + c + c 2 = 1
2 + c + c2 .
Bemærk, at c ≥ 0 hvis og kun hvis a + b ≥ 0, c ≤ 0 hvis og kun hvis a + b ≤ −2 og −1 < c < 0 hvis
og kun hvis −2 < a + b < 0. Alts˚a f˚ar vi, at
2|a − b|
d1(fa, fb) =
1 a+b
2 +
2 for a + b ≥ 0 eller a + b ≤ −2
2|a − b|
for − 2 < a + b < 0.
(b)
1
2
+ a+b
2
+ (a+b)2
4
Vis, at afbildningen a ↦→ fa er kontinuert R → (E, d1).
Lad (an) være en konvergent følge i R med an → a. Da findes specielt M ≥ 0 s˚a |an| ≤ M og |a| ≤ M
for alle n ∈ N. Specielt findes K ≥ 0 s˚a |an + a| ≤ K for n ∈ N (vi kan fx vælge K = 2M med M fra
før). Nu vil
d1(fan , fa)
2|an − a|
≤
1 K
2 + 2 for an + a ≥ 0 eller an
+ a ≤ 2
1 K K2
2|an − a| 2 + 2 + 4 for − 2 < an + a < 0
1 K K2
≤ 2|an − a| + + → 0
2 2 4
for n → ∞. Alts˚a vil fan → fa for n → ∞ i E, hvormed afbildningen er kontinuert.
(c)
Vis, at K = {fa | 0 ≤ a ≤ 2} er en afsluttet og begrænset delmængde af E.
Det afsluttede, begrænsede interval [0, 2] er en kompakt delmængde af R. Alts˚a vil billedet af dette
interval under afbildningen fra (b) være kompakt i E, og dette er netop K. Da K derfor er kompakt,
er K specielt afsluttet og begrænset (husk, at det ikke i almindelighed gælder den anden vej).
Reeksamen 2010, opgave 4
Betragt R 2 som metrisk rum med den sædvanlige metrik. Bestem det indre, afslutningen og randen
for mængden
A = {(t cos(t −1 ), t sin(t −1 )) | t ∈ (0, ∞)},
og afgør om A er en kompakt mængde.
3