ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
INDHOLDS<strong>FOR</strong>TEGNELSE<br />
<strong>ØVEHÆFTE</strong><br />
<strong>FOR</strong> <strong>MATEMATIK</strong> C<br />
<strong>LINEÆR</strong> <strong>SAMMENHÆNG</strong><br />
1 Formelsamling ............................................................................................................................. side 2<br />
1 Introduktion ................................................................................................................................. side 3<br />
2 Grundlæggende færdigheder ........................................................................................................ side 4<br />
2a Finde konstanterne a og b i en formel ........................................................................... side 4<br />
2b Indsætte x-værdi og beregne y-værdi .............................................................................. side 5<br />
2c Indsætte y-værdi og beregne x-værdi; det sker ved en ligning ........................................... side 6<br />
2d Beregne hældningskoefficienten a, når vi kender to punkter på grafen ............................. side 7<br />
2e Finde b-tallet, når vi kender a og et punkt på grafen ......................................................... side 8<br />
2f Beregne ændringen i y-værdi, når vi kender a og ændringen i x-værdi ............................ side 9<br />
2g Beregne a , når vi kender ændringen i x-værdi og den dertil hørende ændring i y-værdi . side 10<br />
3 Opgaver med flere af begreberne ................................................................................................ side 11<br />
4 Øvelser i at genkende oplysninger i tekst .................................................................................... side 14<br />
5 Tekstopgaver, hvor begreberne bruges ....................................................................................... side 16<br />
6 Lidt af hvert - sværere opgaver ................................................................................................... side 24
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 2 af 28<br />
Funktioner og modeller<br />
Funktion<br />
Model<br />
Lineær funktion, y=a∙x + b<br />
Betydning i lineær model<br />
af konstanterne a og b:<br />
y<br />
b<br />
1<br />
a<br />
x<br />
En funktion er en sammenhæng mellem variable,<br />
hvor et input giver et output.<br />
Kan vises med ”sildeben” og graf.<br />
En ”model” kan bestå af nogle variable og en<br />
funktion der sammenknytter dem.<br />
Eks.<br />
x : længde af taxatur i km (uafhængig variabel)<br />
y : pris i kroner for taxaturen (afhængig variabel)<br />
Sammenhæng: y = 14 x + 30<br />
y = a∙x + b<br />
a <br />
y2y1 x2x1 Omformning af y = a∙x + b :<br />
( y b)<br />
x <br />
a<br />
Konstanternes navne ved lineære funktioner:<br />
a : hældningskoefficienten, stigningstallet<br />
b : y-akse-skæringen<br />
Konstanternes betydning<br />
(ved lineære funktioner):<br />
Når x=0 , er y=b<br />
Når x stiger med 1, vil y ændres med a<br />
Vækstegenskab:<br />
b = y– a∙x<br />
( y b)<br />
a <br />
x<br />
Funktionen er voksende, når a er positiv<br />
Funktionen er aftagende, når a er negativ
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 3 af 28<br />
1 INTRODUKTION<br />
Her er først fire eksamensopgaver fra tidligere eksaminer. REGN DEM IKKE, gå til næste side.<br />
I løbet af disse opgaver optræder de forskellige begreber, vi vil møde i emnet lineær sammenhæng.<br />
Løsningen af dem kommer i kapitel 5.<br />
Opgave 1<br />
Opgave 2<br />
Opgave 3<br />
Opgave 4
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 4 af 28<br />
2 GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER<br />
2a Finde konstanterne a og b i en formel<br />
Eksempel Vi har formlen y = 3x − 5<br />
Tallet ”ved siden af” x er tallet 3; altså er a = 3<br />
Tallet ”ikke-ved siden af” x er tallet − 5; altså er b = − 5<br />
Eksempel Vi har formlen y = 6 − 2x<br />
Tallet ”ved siden af” x er tallet −2; altså er a = −2<br />
Tallet ”ikke-ved siden af” x er tallet 6; altså er b = 6<br />
Opgaver (opgaven med stjerne er lidt sværere)<br />
Opg. 201 Vi har formlen y = 7x + 1<br />
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . . b = . . . . . .<br />
Opg. 202 Vi har formlen y = −2x + 11<br />
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . . b = . . . . . .<br />
Opg. 203 Vi har formlen y = 32x − 500<br />
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . . b = . . . . . .<br />
Opg. 204 Vi har formlen y = x − 13<br />
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . . b = . . . . . .<br />
Opg. 205 Vi har formlen y = 0.37x + 5.6<br />
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . . b = . . . . . .<br />
Opg. 206 Vi har formlen y = −x − 8<br />
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . . b = . . . . . .<br />
Opg. 207 Vi har formlen y = 6 + 4x<br />
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . . b = . . . . . .<br />
Opg. 208*) Vi har formlen y = 2 ∙ (x − 3)<br />
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . . b = . . . . . .
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 5 af 28<br />
2b Indsætte x-værdi og beregne y-værdi<br />
Eksempel Vi har formlen y = 3x − 5.<br />
Hvis vi indsætter x = 7, får vi y-værdien y = 3 ∙ 7 − 5 = 16<br />
Hvis vi indsætter x = −2, får vi y-værdien y = 3 ∙ (−2) − 5 = −11<br />
Opgaver<br />
Opg. 211 Den lineære model er: y = 7x + 1<br />
Beregn y-værdien, når<br />
x = 4:<br />
x = −3:<br />
x = 0.6:<br />
x = 300:<br />
Opg. 212 Den lineære model er: y = −2x + 11<br />
Beregn y-værdien, når<br />
x = 3:<br />
x = −3:<br />
x = 6.5:<br />
x = −250:<br />
Opg. 213 Den lineære model er: y = 32x − 500<br />
Beregn y-værdien, når<br />
x = 40:<br />
x = −10:<br />
x = 4.25:<br />
x = 550:
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 6 af 28<br />
2c Indsætte y-værdi og beregne x-værdi; det sker ved en ligning<br />
Eksempel Vi har formlen y = 3x − 5.<br />
Hvis vi indsætter y = 7, står der: 7 = 3x − 5<br />
Det er en ligning, hvor vi skal finde x. Det kan vi gøre på tre måder:<br />
Metode 1 Vi bruger den færdige formel<br />
yb a<br />
x .<br />
Heri indsætter vi y = 7 , a = 3 og b = −5:<br />
Metode 2 Vi løser ligningen ”i hånden”:<br />
7 + 5 = 3x<br />
12 = 3x<br />
12<br />
3<br />
= x , så x = 4<br />
Metode 3 Vi bruger lommeregnerens Solver.<br />
7 ( 5)<br />
3<br />
x - så x = 4.<br />
Opgaver I de næste opgaver skal du bruge alle tre metoder for at finde den metode, der er<br />
rarest for dig.<br />
Opg. 221 Den lineære model er y = 7x + 1<br />
Beregn x-værdien, når<br />
y = 29: Skriv ligningen:<br />
- og løs den:<br />
y = −13:<br />
y = 13:<br />
y = 300:<br />
Opg. 222 Den lineære model er y = −2x + 11<br />
Find x-værdien, når<br />
y = 33:<br />
y = −5:<br />
y = 11:<br />
y = −6:
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 7 af 28<br />
2d Beregne hældningskoefficienten a, når vi kender to punkter (x1 , y1) og (x2 , y2) på grafen<br />
Eksempel Den rette linje går gennem punkterne (−5 , 3) og (7 , 15). Bestem a.<br />
Vi skal indsætte i formlen a <br />
y2 y1<br />
x x<br />
2 1<br />
Derfor er det ”smart” at give navne til koordinaterne: x1 = −5 , y1 = 3 , x2 = 7 og y2 = 15.<br />
15 3 12<br />
Så indsætter vi: a 1<br />
7 ( 5)<br />
12<br />
Eksempel Den rette linje går gennem punkterne<br />
(2 , 14) og (9 , 3). Bestem a.<br />
Vi skal indsætte i formlen a <br />
y2 y1<br />
x x<br />
Vi navngiver koordinaterne:<br />
x1 = 2 , y1 = 14 , x2 = 9 og y2 = 3.<br />
2 1<br />
3 1411 Så indsætter vi: a 1.57<br />
9 2 7<br />
Bemærk, at oplysningssættet<br />
»Til x = 2 svarer y = 14 og til x = 9 svarer y = 3«<br />
i sit indhold er fuldstændig magen til oplysningssættet<br />
med de to punkter.<br />
Opgaver<br />
Opg. 231 Grafen går gennem punkterne (−5 , −4) og (2 , 10) . Find hældningskoefficienten.<br />
Skriv først: x1 = . . ., y1 = . . . , x2 = . . . , y2 = . . .<br />
Opskriv så formlen: a =<br />
Opg. 232 Grafen går gennem punkterne (15 , −17) og (3 , 1) . Find hældningskoefficienten.<br />
Opg. 233 Grafen går gennem punkterne (6 , 7) og (−1 , 10) . Find hældningskoefficienten.<br />
Opg. 234 Grafen går gennem punkterne (−11 , 8) og (7 , 8) . Find hældningskoefficienten.<br />
Opg. 235 Til x = −4 svarer y = 6 og til x = 5 svarer y = −3. Find hældningskoefficienten.
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 8 af 28<br />
2e Finde b-tallet, når vi kender a og et punkt på grafen<br />
Eksempel En lineær funktion har hældningskoefficient a = 1.5 og grafen går gennem punktet (5 , 14)<br />
Når vi ved, at a = 1.5, kan forskriften skrives sådan:<br />
y = 1.5x + b<br />
At punktet (5 , 14) ligger på grafen kan også siges<br />
sådan: til x = 5 svarer y = 14.<br />
- eller: hvis vi på x-pladsen skriver 5, skal vi på ypladsen<br />
skrive 14.<br />
DET GØR VI: 14 = 1.5 ∙ 5 + b<br />
Det blev en ligning - oven i købet med b som<br />
ubekendt. Den løser vi:<br />
Enten i hånden: 14 = 7.5 + b<br />
14 − 7.5 = b , så b = 6.5<br />
Eller med Solveren.<br />
Altså er formlen: y = 1.5x + 6.5.<br />
Opgaver<br />
Opg. 241 Find b-tallet, når a = 3 og grafen går gennem punktet (2 , −1)<br />
Skriv først forskriften med den rigtige hældningskoefficient:<br />
Sæt punktets x- og y-koordinat ind:<br />
Løs så ligningen (b er den ubekendte):<br />
Opg. 242 Find b-tallet, når a = 8 og grafen går gennem punktet (−2 , −13)<br />
Opg. 243 Find b-tallet, når a = −4 og grafen går gennem punktet (8 , −11)
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 9 af 28<br />
Opg. 244 Find b-tallet, når a = 0.4 og der til en x-værdi på −5 svarer en y-værdi på 41<br />
Opg. 245 Find b-tallet, når a = −3.2 og der til en x-værdi på 15 svarer en y-værdi på 7<br />
2f Beregne ændringen i y-værdi, når vi kender a og ændringen i x-værdi<br />
Eksempel Vi har den lineære funktion y = 2x − 3.<br />
Hvis x bliver 1 større, vokser y med 2 - fordi<br />
hældningskoefficienten a = 2.<br />
Hvis x bliver 4 større, vokser y med 4 ∙ 2 = 8<br />
Hvis x bliver 3 mindre (og det regner vi med ved at<br />
sige, at x vokser med −3), så vokser y med<br />
(−3) ∙ 2 = −6 . Og det vil vi selvfølgelig udtrykke ved<br />
at sige, at y aftager med 6.<br />
Eksempel Vi har den lineære funktion y = −7x + 876<br />
Hvis x bliver 1 større, vokser y med −7 - siges: y aftager med 7<br />
Hvis x bliver 4 større, vokser y med 4 ∙ (−7) = −28 - y aftager med 28<br />
Hvis x bliver 5 mindre, vokser y med (−5) ∙ (−7) = 35<br />
Opgaver<br />
Opg. 251 Den lineære funktion har forskriften y = 7x + 1<br />
Beregn ændringen i y-værdien, når<br />
x vokser med 4:<br />
x vokser med −3:<br />
x aftager med 6:<br />
x bliver 300 større:
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 10 af 28<br />
Opg. 252 Den lineære funktion har forskriften y = −2x + 11<br />
Beregn ændringen i y-værdien, når<br />
x bliver 3 større:<br />
x vokser med −5:<br />
x aftager med 8.5:<br />
Opg. 253 Den lineære funktion har forskriften y = 32x − 500<br />
Beregn ændringen i y-værdien, når<br />
x bliver 40 mindre:<br />
x aftager med 10:<br />
2g Beregne a , når vi kender ændringen i x-værdi og den dertil hørende ændring i y-værdi<br />
Eksempel Om en lineær funktion oplyses, at y vokser med 14, når x bliver 5 større. Find a.<br />
y-ændringen fås som x-ændringen gange a.<br />
Her skriver vi: 14 = 5 ∙ a . Den ligning løser vi:<br />
Opgaver<br />
14<br />
5<br />
a eller som decimalbrøk: a = 2.8<br />
Find hældningskoefficienten a i de næste fire opgaver:<br />
Opg. 261 Når x bliver 6 større, vokser y med 12<br />
Skriv først y-ændring lig med x-ændring gange a :<br />
Løs ligningen:<br />
Opg. 262 Når x bliver 8 større, bliver y 20 mindre<br />
Opg. 263 y aftager med 7, når x vokser med 14<br />
Opg. 264 Når x bliver 19 mindre, aftager y med 29
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 11 af 28<br />
3 OPGAVER MED FLERE AF BEGREBERNE<br />
Eksempel En opgave lyder sådan:<br />
Grafen for en lineær sammenhæng går gennem punkterne (5 , −9) og (13 , 15).<br />
a) Find en formel for denne sammenhæng<br />
b) Find y-værdien, når x = −3<br />
c) Løs ligningen y = 21<br />
d) Hvor meget ændres y-værdien, når x vokser med 7?<br />
Besvarelsen er sådan:<br />
a) I formlen y = a ∙ x + b skal vi finde tallene a og b.<br />
Først a.<br />
I oplysningerne sætter vi x1 = 5 , y1 = −9 , x2 = 13 og y2 = 15<br />
15 ( 9)<br />
Så er a <br />
13 5<br />
<br />
24<br />
8<br />
3<br />
Altså har vi den halvfærdige formel y = 3x + b<br />
Heri indsættes x2 = 13 og y2 = 15: 15 = 3 ∙ 13 + b<br />
Ligningen løses: 15 − 39 = b , d.v.s. b = −24<br />
Altså er formlen y = 3x −24<br />
b) Vi indsætter x = −3: y = 3 ∙ (−3) − 24 = −33<br />
c) På y’s plads i formlen skriver vi 21: 21 = 3x − 24<br />
Ligningen løses: 21 + 24 = 3x<br />
45<br />
3<br />
x - d.v.s. x = 15<br />
d) y-værdien ændres med 3 ∙ 7 = 21. Så y bliver 21 større.<br />
Opgaver<br />
Opg. 301 Grafen for en lineær sammenhæng går gennem punkterne (−4 , 6) og (5 , −3)<br />
a) Find en formel for denne sammenhæng.<br />
b) Løs ligningen y = 14<br />
c) Hvilken y-værdi fås, når x = 14?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 12 af 28<br />
Opg. 302 I en lineær sammenhæng svarer x = 2 til y = 1 og x = 11 svarer til y = 4<br />
a) Bestem tallene a og b i formlen.<br />
b) Hvor meget ændres y, hvis x vokser med 8?<br />
Opg. 303 Vi har formlen y = a ∙ x + b . Grafen går gennem punkterne (7 , 1) og (2 , 8.5)<br />
a) Bestem tallene a og b.<br />
b) Hvilken x-værdi svarer til y = 35?<br />
c) x bliver 35 større; hvor meget ændres y ?<br />
Opg. 304 En ret linje har hældningskoefficient 2, og linjen går gennem punktet (−4.5 , −7).<br />
a) Bestem b-tallet i formlen.<br />
b) Et punkt på grafen har x-værdien x = 42. Find punktets y-værdi.<br />
Opg. 305 Om en lineær sammenhæng oplyses, at grafen går gennem punktet (0 , 75)<br />
a) Bestem b-tallet i formlen.<br />
Endvidere oplyses, at y bliver 8 mindre, når x vokser med 16.<br />
b) Bestem a-tallet i formlen.<br />
c) Løs ligningen y = 40<br />
d) Hvor meget aftager y, når x bliver 8 større?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 13 af 28<br />
Opg. 306 En ret linje går gennem punktet (−6 , 5). Endvidere oplyses, at x = 13 svarer til y = 5.<br />
a) Bestem tallene a og b i formlen.<br />
b) Find y-værdien, der svarer til x = 110<br />
Opg. 307 I et koordinatsystem er tegnet punkterne (25 , 660) og (78 , 775)<br />
a) Find en formel for den rette linje, der går gennem de to punkter.<br />
b) Hvilken x-værdi giver y-værdien y = 1000 ?<br />
Opg. 308 En lineær sammenhæng har formlen<br />
2<br />
3<br />
y x b .<br />
Desuden går grafen gennem punktet (15 , −2).<br />
a) Bestem tallet b.<br />
b) I hvilken x-værdi skærer grafen gennem x-aksen?<br />
Opg. 309 Når x vokser med 14, bliver y 7 større. Og til x = −12 svarer y = −6.<br />
a) Bestem en formel for den lineære sammenhæng.<br />
b) Løs ligningen y = 13.5
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 14 af 28<br />
4 ØVELSER I AT GENKENDE OPLYSNINGER I TEKST<br />
Eksempel Regn IKKE nedenstående opgave, men læs den og se nedenunder<br />
En kunsthåndværker fremstiller en bestemt type krukker. Han vil levere 50 krukker pr. måned,<br />
hvis prisen er 100 kr. stykket, og han vil levere 70 krukker pr. måned, hvis prisen er 120 kr.<br />
stykket.<br />
Antallet af krukker kaldes udbuddet, og der er en lineær sammenhæng mellem udbuddet og<br />
prisen pr. krukke for priser mellem 80 kr. og 140 kr.<br />
a) Bestem tallene a og b i den lineære sammenhæng.<br />
Da antallet af krukker afhænger af hvilken pris han får, er prisen den uafhængige variabel og<br />
antal krukker den afhængige variabel.<br />
Vi skriver altså: x: pris (kr.)<br />
y: antal krukker<br />
I begyndelsen af opgaven står nogle taloplysninger. To af tallene angiver et antal krukker; de<br />
er altså y-tal; de to andre angiver priser og er derfor x-tal.<br />
Vi kan nu omskrive oplysningen<br />
»Hvis prisen er 100 kr. pr. krukke, leverer han 50 krukker« til<br />
»Hvis x = 100 er y = 50 «<br />
og oplysningen<br />
»Hvis prisen er 120 kr. pr. krukke, leverer han 70 krukker« til<br />
»Hvis x = 120 er y = 70 «<br />
Da vi har to sæt oplysninger, må vi nummerere de to sæt, f.eks. sådan:<br />
x1 = 100 svarer til y1 = 50 og x2 = 120 svarer til y2 = 70 - eller sådan:<br />
Punkterne (100 , 50) og (120 , 70) ligger på grafen.<br />
Vi slutter med at markere oplysningerne:<br />
Oplysningen, der viser, at sammenhængen er lineær, er markeret med understregning.<br />
De to taloplysninger (sæt af oplysninger) er markeret med fed skrift og kursiv skrift.<br />
En kunsthåndværker fremstiller en bestemt type krukker. Han vil levere 50 krukker pr.<br />
måned, hvis prisen er 100 kr. stykket, og han vil levere 70 krukker pr. måned, hvis prisen er<br />
120 kr. stykket.<br />
Antallet af krukker kaldes udbuddet, og der er en lineær sammenhæng mellem udbuddet og<br />
prisen pr. krukke for priser mellem 80 kr. og 140 kr.<br />
a) Bestem tallene a og b i den lineære sammenhæng.<br />
Bemærk til sidst, at oplysningen om at priserne skal ligge mellem 80 kr. og 140 kr. ikke skal<br />
bruges til noget.
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 15 af 28<br />
Opgaver<br />
Opg. 401 Regn IKKE nedenstående opgave, men læs og se nedenunder<br />
På et hus opsættes en tagrende, som sættes sammen af to stykker. Plastic udvider sig ved<br />
opvarmning, så de to tagrendestykker må ikke sættes for tæt op ad hinanden. Afstanden<br />
mellem de to stykker afhænger lineært af temperaturen, mens tagrenden sættes op.<br />
Ved 0°C skal afstanden mellem de to stykker være 50 mm og ved 30°C skal den være 0 mm.<br />
a) Bestem en formel for sammenhængen mellem temperatur og afstand.<br />
b) Hvad fortæller tallet a om sammenhængen mellem temperatur og afstand?<br />
Find og markér oplysningen om, hvilke begreber x og y står for i denne opgave<br />
Markér de oplysninger, der skal bruges til at fastsætte formlen og sæt variabelnavne, x1 o.s.v.<br />
på de tal, der skal bruges for at beregne hældningskoefficienten a.<br />
Opg. 402 Regn IKKE nedenstående opgave, men læs og se nedenunder<br />
I en kommune betaler beboerne sådan for deres vandforbrug:<br />
Der betales en fast årlig afgift på 419 kr.<br />
Der betales en vandafgift på 42.50 kr. pr. kubikmeter vand.<br />
a) Opskriv en formel, der angiver den samlede udgift for vandforbruget, målt i<br />
kubikmeter<br />
b) Bestem prisen for et årligt forbrug på 172 000 liter vand.<br />
c) En familie vil kun bruge 7000 kr. om året på vand. Hvor mange liter vand kan<br />
familien så bruge?<br />
Find og markér oplysningen om, hvilke begreber x og y står for i denne opgave<br />
Markér de oplysninger, der skal bruges til at fastsætte formlen og sæt navne på de tal, a og b<br />
der skal bruges.<br />
Opg. 403 Endnu en opgave:<br />
Ved dykning stiger trykket med stigende dybde, sådan at når man dykker 25 m længere ned,<br />
stiger trykket med 2.40 atmosfære. I dybden 10 meter under havets overflade er trykket 1.96<br />
atmosfære.<br />
a) Opskriv en formel, der angiver trykket i dybden x meter.<br />
b) Bestem trykket på det dybeste sted, Filippinergraven, som er 10 265 meter dyb.<br />
c) Hvad fortæller a om sammenhængen mellem dybde og tryk?<br />
d) I hvilken dybde er trykket 30 atmosfære?<br />
Find og markér oplysningen om, hvilke begreber x og y står for i denne opgave<br />
Markér de oplysninger, der skal bruges til at fastsætte formlen og sæt variabelnavne på de tal,<br />
der skal bruges.
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 16 af 28<br />
5 TEKSTOPGAVER, HVOR BEGREBERNE BRUGES<br />
NB i dette afsnit gennemgås og trænes også den sproglige beskrivelse af størrelserne i den lineære<br />
sammenhæng, når det er nogle bestemte begreber, der beskrives.<br />
Først gennemgås løsning af de fire opgaver fra afsnit 1:<br />
Opgave 1<br />
Begynd altid med at skrive meget<br />
tydeligt, hvad de to variable<br />
betyder i opgaven:<br />
x: antal år efter 2000<br />
y: antal lønmodtagere[, der betaler<br />
til efterlønsordningen]<br />
a) Vi har i teksten fået oplyst to<br />
punkter:<br />
(1 , 1 472 000) og (4 , 1 352 000).<br />
Vi beregner a (afsnit 2c):<br />
13520001472000 a 40000<br />
41 <br />
Så er forskriften y = −40000x + b<br />
Vi beregner b (afsnit 2d): I den halvfærdige formel indsættes det ene punkt: på x-pladsen skrives 1, samtidig<br />
med at der på y-pladsen skrives 1472000:<br />
1 472 000 = −40 000 ∙ 1 + b<br />
Denne ligning løses: 1 472 000 + 40 000 = b - altså er b = 1 512 000 .<br />
b) Her spørges om, hvornår antallet af lønmodtagere bliver 1 100 000. Antallet af lønmodtagere er et y-tal.<br />
Så nu er y = 1 100 000.<br />
D.v.s. vi kender y og skal finde x (afsnit 2b):<br />
Løser ligningen: 1 100 000 = −40 000x + 1 512 000<br />
1 100 000 − 1 512 000 = −40 000x<br />
412000<br />
x<br />
40000 x = 10.3<br />
Løsningen er altså 10.3 år efter 2000. Det skriver vi mere mundret:<br />
I løbet af år 2010 kommer antallet af lønmodtagere under 1 100 000.
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 17 af 28<br />
Opgave 2<br />
Vi begynder med at skrive de<br />
variable:<br />
x : temperatur (°C)<br />
y : tryk (hektopascal)<br />
a) Vi får oplysningen, at temperaturen er 10°C. temperaturen er et x-tal. D.v.s.: x = 10.<br />
Vi skal beregne trykket, d.v.s. y (afsnit 2a):<br />
y = 3.5 ∙ 10 + 955 = 990<br />
Altså er trykket ved 10°C på 990 hektopascal.<br />
I formlen er tallet 3.5 hældningskoefficient. Betydningen af hældningskoefficienten er:<br />
”Når x vokser med 1 , ændres y med a ”<br />
Med opgavens begreber:<br />
”Når temperaturen vokser med 1, ændres trykket med 3.5”<br />
Det kan skrives mere som en dansk sætning, hvor enhederne medtages :<br />
”Når temperaturen stiger med 1°C, vokser trykket med 3.5 hektopascal.”<br />
Opgave 3<br />
De variable:<br />
x : antal år efter 2000<br />
y : omsætningen (mia. kr.)<br />
a) Tallet 2.5 er hældningskoefficient:<br />
Når antal år vokser med 1, ændres omsætningen med 2.5.<br />
Og på dansk:<br />
For hvert år vokser omsætningen med 2.5 mia. kr.<br />
Tallet 10.5 er b-tallet. Betydningen af b-tallet er:<br />
Når x = 0 , er y = b .<br />
Med begreberne her:<br />
Når antal år efter 2000 er 0, er omsætningen 10.5 mia. kr.<br />
På dansk:<br />
I år 2000 er omsætningen på 10.5 mia. kr.<br />
b) Omsætningen i år 2005. År 2005 er 5 år efter 2000, så x = 5.<br />
Så beregner vi y : y = 2.5 ∙5 + 10.5 = 23<br />
Vores model siger altså: I år 2005 er omsætningen på 23 mia. kr.<br />
Men vi får en oplysning, at i 2005 blev omsætningen på 26.8. mia. kr. Det må betyde, at modellen ikke<br />
passer ind i år 2005. (Men bemærk også, at i opgavens første oplysning stod der netop, at modellen for<br />
omsætningen passede i årene 2000–2004.)
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 18 af 28<br />
Opgave 4<br />
De variable:<br />
x : antal måneder efter april 2005<br />
y : antal ledige [personer i Danmark].<br />
Bemærk, at der ikke står noget som helst i opgaven om, at denne funktion er lineær!<br />
Vi må altså selv finde argumentet for det.<br />
a) Den første oplysning:<br />
»Antallet af ledige faldt med 2900 personer pr. måned«<br />
kan også skrives:<br />
Hver gang der går en måned, bliver antallet af ledige 2900 mindre.<br />
eller:<br />
Når x bliver 1 større, bliver y 2900 mindre.<br />
- og det er lige præcis beskrivelsen af en hældningskoefficient!<br />
Derfor er funktionen en lineær funktion med hældningskoefficient a = −2900.<br />
b-tallet: Oplysningen »I april 2005 var der 165 200 ledige« kan skrives:<br />
Når x = 0 , er y = 165 200.<br />
Men b-tallet er netop y-værdien, når x er lig med 0. Så b = 165 200<br />
Dermed er modellen: y = −2900x + 165 200
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 19 af 28<br />
Opgaver<br />
Opg. 501 Figuren til højre viser den forventede udvikling i<br />
flytrafikken over Europa indtil 2020. Ifølge denne figur vil<br />
antallet af flyvninger vokse lineært i perioden 2000–2020.<br />
a) Bestem en model, der beskriver antallet af<br />
flyvninger som funktion af antal år efter 2000.<br />
b) Beregn antallet af flyvninger i 2006.<br />
c) Beregn, i hvilket år antallet af flyvninger vil<br />
overstige 14 millioner.<br />
d) Beregn, hvor meget antallet af flyvninger stiger i<br />
en 7-års periode.<br />
Som indledning til denne opgave - og alle de næste opgaver - skal du finde alle oplysninger i teksten,<br />
som vi øvede i kapitel 4 (opg. 401–403)<br />
Opg. 502 Figuren til højre viser udviklingen i antallet af<br />
Dankortbetalinger i Danmark.<br />
Det fremgår af figuren, at der er en lineær udvikling i antallet<br />
af Dankort-betalinger i perioden.<br />
I 1995 blev der foretaget 241 mio. Dankort-betalinger, og i<br />
2001 blev der foretaget 439 mio. Dankortbetalinger.<br />
a) Bestem en regneforskrift for funktionen.<br />
b) Beregn antallet af Dankort-betalinger i 2006, hvis denne udvikling fortsætter.<br />
c) Beregn, i hvilket år antallet af Dankort-betalinger vil komme over 740 mio., hvis<br />
denne udvikling fortsætter.<br />
d) Hvad fortæller tallet a om udviklingen i antal dankortbetalinger?<br />
e) Hvor meget vokser antallet af dankortbetalinger over 5 år?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 20 af 28<br />
Opg. 503 Om en lineær sammenhæng oplyses, at x = 1 svarer til y = 4. Endvidere oplyses, at når x<br />
vokser med 2, vokser y med 3 .<br />
a) Find y-værdierne svarende til x = 5 og til x = −3 .<br />
b) Bestem tallene a og b i denne sammenhæng.<br />
c) Løs ligningen y = 7.5 .<br />
Opg. 504 Ozonlaget i atmosfæren beskytter mod solens ultraviolette stråling. Ozonlagets tykkelse O<br />
(målt i Dobson-enheder) kan beskrives ved en model O = at + b , hvor t er antal år<br />
efter 1979.<br />
a) Beregn a og b , når det oplyses at ozonlagets tykkelse i 1981 var 348 Dobson-enheder<br />
og i 1989 var 334 Dobson-enheder.<br />
b) Beregn ozonlagets tykkelse i 2001 ifølge denne model.<br />
c) Hvornår kommer ozonlagets tykkelse under 300 Dobson-enheder ifølge modellen.<br />
d) Med hvor mange Dobsonenheder formindskes ozonlaget over 6 år?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 21 af 28<br />
Opg. 505 På et bjerg på New Guinea er der en<br />
sammenhæng mellem højden over havet og antallet<br />
af fuglearter i denne højde. I koordinatsystemet<br />
viser den rette linje denne sammenhæng.<br />
Linjen går gennem punkterne P(5000 , 66)<br />
og Q(7700 , 20).<br />
a) Bestem tallene a og b i denne<br />
model.<br />
b) Beregn, hvor mange fuglearter<br />
man kan forvente at finde i 4500<br />
fods højde over havet.<br />
c) Hvad fortæller hældningskoefficienten om antallet af fuglearter?<br />
d) Hvor mange færre fuglearter er der, hver gang man kommer 500 fod højere op?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 22 af 28<br />
Opg. 506 I en personbil måltes motorstøj, når bilen kørte i 5. gear med hastigheder mellem 70 km/t og<br />
130 km/t. Målingerne viste, at der er en lineær sammenhæng mellem støjniveauet, målt i dB<br />
og hastigheden, målt i km/t. Ved 70 km/t er støjniveauet 60 dB og ved 130 km/t er<br />
støjniveauet 70 dB.<br />
a) Bestem konstanterne a og b i denne sammenhæng.<br />
b) Hvad betyder størrelsen af a for denne sammenhæng?<br />
c) Beregn støjniveauet ved 90 km/t.<br />
d) Beregn den hastighed, hvor støjniveauet er 67 dB.<br />
Opg. 507 For perioden 1983–2000 kan antallet af landbrug med god tilnærmelse beskrives ved en<br />
formel y = a ∙ x + b ,<br />
hvor y er antallet af landbrug, og x er antal år efter 1983.<br />
I 1983 var der 98 680 landbrug, og i 2000 var der 54 541 landbrug.<br />
a) Bestem konstanterne i formlen.<br />
b) Beregn antallet af landbrug i 2010, hvis denne udvikling fortsætter.<br />
c) Hvornår kommer antallet af landbrug under 40 000, hvis udviklingen fortsætter.<br />
d) Hvor meget aftager antallet af landbrug i en 5-års periode?<br />
e) Hvad fortæller a om udviklingen i antal landbrug?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 23 af 28<br />
Opg. 508 Algers produktion af næringsstof kræver lys. I<br />
de arktiske have er der en sammenhæng mellem længden<br />
af den isfri periode og produktionen af næringsstof.<br />
Hvis y er produktionen af næringsstof, målt i gram pr.<br />
m 2 pr. år, og x er længden af den isfri periode, målt i<br />
måneder, er sammenhængen en lineær funktion.<br />
På figuren ses den rette linje gennem punkterne P(4 , 29)<br />
og Q(10 , 90)<br />
a) Beregn tallene a og b .<br />
b) Beregn produktionen af næringsstof, når<br />
den isfri periode varer 4.5 måneder.<br />
Et år måltes produktionen af næringsstof til 10 gram pr. m 2 pr. år<br />
c) Beregn, hvor lang en isfri periode det svarer til.<br />
Langs Grønlands østkyst er havet nu isfrit ca. en kvart måned længere end tidligere.<br />
d) Beregn den tilsvarende forøgelse i produktionen af næringsstof.<br />
e) Hvad fortæller hældningskoefficienten om produktionen af næringsstof?<br />
Opg. 509 Vi ser på sammenhængen mellem de to forskellige temperaturskalaer Celsius og Fahrenheit.<br />
Sammenhængen beskrives ved formlen F = 1.8C + 32<br />
a) Hvilken betydning har tallet 1.8 for sammenhængen mellem de to skalaer?<br />
b) Find Fahrenheittemperaturerne, der svarer til 0°C og til 100°C<br />
Det siges, at Fahrenheit fastlagde skalaen bl.a. ved at tage sin egen temperatur og så skrive<br />
100 der hvor termometret blev stående.<br />
c) Var Fahrenheit syg den dag, han fastlagde skalaen?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 24 af 28<br />
Opg. 510 Figuren viser udviklingen af<br />
vægten af en gris i perioden 3–10 uger<br />
efter fødslen.<br />
I en model beskrives denne udvikling ved<br />
y = ax + b ,<br />
hvor y er vægten af grisen, målt i kg, og<br />
x er antal uger efter fødslen.<br />
På figuren er modellen vist ved den rette<br />
linje gennem punkterne P(3 , 6.5) og<br />
Q(10 , 35.5).<br />
a) Beregn tallene a og b .<br />
b) Beregn grisens vægt efter 12 uger, hvis udviklingen fortsætter.<br />
c) Hvornår vil grisen veje 70 kg - forudsat udviklingen fortsætter?<br />
d) Hvor meget stiger vægten af grisen i løbet af en uge?<br />
- og i løbet af et døgn?<br />
e) Hvad fortæller b-tallet om grisens vægt? Kommentér svaret!<br />
Opg. 511 I en beholder er der luft. Man har målt sammenhørende værdier for luftens tryk og<br />
temperatur:<br />
Temperatur i °C 27 71<br />
Tryk i mm Hg 750 860<br />
Der er en lineær sammenhæng mellem trykket og temperaturen.<br />
a) Bestem denne lineære sammenhæng.<br />
b) Bestem trykket, når luftmassen afkøles til 0°C.<br />
c) Den temperatur, der svarer til et tryk på 0 mm Hg, kaldes det absolutte nulpunkt.<br />
Bestem denne temperatur.<br />
d) Hvad fortæller hældningskoefficienten om denne sammenhæng?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 25 af 28<br />
6 LIDT AF HVERT - SVÆRERE OPGAVER<br />
Opg. 601 I en personbil måltes motorstøj, når bilen kørte i 5. gear med hastigheder mellem 70 km/t og<br />
=506fortsat 130 km/t. Målingerne viste, at støjniveauet, målt i dB, er en lineær funktion af hastigheden,<br />
målt i km/t. Ved 70 km/t er støjniveauet 60 dB og ved 130 km/t er støjniveauet 70 dB.<br />
e) Hvor meget skal hastigheden nedsættes, for at støjniveauet falder med 3 dB?<br />
Opg. 602 Andelen af analfabeter blandt kvinder i verdens lavindkomstlande kan for årene 1970–2000<br />
beskrives ved en formel y = −0.87x + 73 ,<br />
hvor y er andelen af kvindelige analfabeter, målt i antal analfabeter pr. 100 kvinder, og x<br />
er antal år efter 1970.<br />
a) Hvad fortæller tallene −0.87 og 73 om andelen af kvindelige analfabeter?<br />
Andelen af mandlige analfabeter i verdens lavindkomstlande kan beskrives ved en model:<br />
y = −0.73x + 50 ,<br />
hvor y er andelen af mandlige analfabeter, og x er antal år efter 1970.<br />
b) Beregn andelen af mandlige analfabeter i år 2005.<br />
c) Beregn andelen af kvindelige analfabeter på det tidspunkt, hvor andelen af mandlige<br />
analfabeter er 20.<br />
d) Hvor mange år skal der gå, før andelen af kvindelige analfabeter er faldet med 11 ud<br />
af 100?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 26 af 28<br />
Opg. 603 I perioden 1970–2004 er antallet af elever på efterskolerne vokset med i gennemsnit 532<br />
elever om året.<br />
I 1984 var der 13267 elever på efterskolerne.<br />
a) Bestem en formel, der giver sammenhængen mellem antallet af elever på efterskolerne<br />
og antal år efter 1970.<br />
b) Bestem antallet af elever på efterskolerne i 2007.<br />
c) Hvor meget vokser antallet af elever på efterskolerne i en 8-årsperiode?<br />
Opg. 604 For en kobbertråd er sammenhængen mellem modstanden og temperaturen bestemt ved<br />
formlen y = ax + b , hvor y er modstanden, målt i ohm, og x temperaturen, målt i °C.<br />
Ved 16.5°C er modstanden 59.5 ohm, og ved 67°C er modstanden 70.6 ohm.<br />
a) Bestem tallene a og b.<br />
b) Hvad fortæller tallene a og b om kobbertrådens modstand?<br />
c) Bestem modstanden ved en temperatur på 100 °C.<br />
d) Modstanden i en kobbertråd ønskes gjort 5 ohm mindre. Hvor mange grader skal<br />
temperaturen så sænkes?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 27 af 28<br />
Opg. 605 Tabellen viser antallet af flypassagerer i Kastrup Lufthavn i visse udvalgte år.<br />
År 1958 1968 1978 1988 1998<br />
Antal flypassagerer (mill.) 1.40 5.33 9.60 12.1 16.8<br />
a) Indtegn tabellens oplysninger i et koordinatsystem, og gør ved hjælp heraf rede for, at<br />
sammenhængen mellem årene og antallet af flypassagerer med god tilnærmelse er af<br />
formen y = ax + b . (Som inspiration: se oplægget til opgave 510.)<br />
y er antallet af flypassagerer, angivet i millioner, og x er antal år efter 1958.<br />
b) Bestem tallene a og b .<br />
c) Forklar hvad hældningskoefficienten a fortæller om væksten i antallet af<br />
flypassagerer.<br />
d) Benyt modellen til at give et skøn over antallet af flypassagerer i 2005.<br />
e) I hvilket år vil antallet af flypassagerer overstige 20 millioner ifølge denne model?<br />
Opg. 606 En af de skatter, vi betaler som danskere, er kommuneskatten. Den betales med en bestemt<br />
procent af det beløb, der kaldes den skattepligtige indkomst.<br />
I Københavns Kommune betales 23.8% af den skattepligtige indkomst.<br />
a) Skriv en formel, der beregner skattebeløbet, når x er den skattepligtige indkomst.<br />
Så let er det ikke! Hver person har et personfradrag, som er et beløb, der ikke skal betales<br />
skat af. Hvis dette beløb er 42900 kr., betyder det altså, at de første 42900 kr. af den<br />
skattepligtige indkomst beholder man selv, og derefter begynder man at betale de 23.8% af<br />
beløbet over 42900 kr.<br />
b) Prøv at finde en formel, der beregner kommuneskattebeløbet, når x er den<br />
skattepligtige indkomst.
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng Side 28 af 28<br />
Opg. 607 På tegningen ses en ret linje i et koordinatsystem.<br />
a) Aflæs koordinaterne til to punkter på<br />
linjen.<br />
b) Bestem derudfra tallene a og b i ligningen.<br />
c) Bestem x-værdien svarende til y = −4.<br />
Opg. 608 På tegningen ses to rette linjer.<br />
a) Find tallene a og b i de to ligninger for de<br />
to linjer.<br />
Opg. 609 a) Løs ligningen 0.6x + 0.2 = −1.25x + 5.75<br />
b) Hvordan kunne opg. 608 have hjulpet med at løse denne ligning?