Differentiabilitet af vektorfunktion - Steen Toft Jørgensen

steen.toft.dk

Differentiabilitet af vektorfunktion - Steen Toft Jørgensen

Differentiabilitet af vektorfunktion

Man kan ikke se på 2D-banekurve for en vektorfunktion f(t)=(x(t),y(t)) om den er differentiabel.

NB: Man skal undersøge om hver af koordinatfunktionerne x(t) og y(t) er differentiabel.

Eksempel på en differentiabel vektorfunktion af 2 variable

Definer følgende koordinat-funktioner:

og

Banekurven i planen knækker i (0,0):

NB: Her er kun 2 kordinater: x og y.

(1.1)

(1.2)


y

4

3

2

1

0

0 1 2

x

banekurven i planen

3 4

Men funktionen f(t)=(x(t),y(t)) er en differentiabel funktion, da koordinatfunktionerne x(t) og

y(t) er differentiable:


x

4

3

2

1

0 1

t

2

x(t)


y

4

3

2

1

0 1

t

2

y(t)

Koordinatfunktionernes afledede x'(t) og y'(t) er kontinuerte funktioner af t:

og


x

4

3

2

1

0 1

t

2

x'(t)


Banekurven i rummet er differentiabel:

NB: Her er 3 kordinater: t, x og y.

y

0 1

t

2

y'(t)

(Rotér grafen og se fra forskellige vinkler. Grafen er simpelthen glat - også i )

(Prøv også at dreje koordinatsystemet, så t-aksen går ud af skærmen samt x-aksen til højre og yaksen

opad. Så fremkommer banekurven i x-y-planen.)


Eksempel på en ikke-differentiabel vektorfunktion af 2 variable

Definer følgende koordinat-funktioner:

og

(2.1)

(2.2)


Banekurven i planen er en ret linje:

NB: Her er kun 2 kordinater: x og y.

y 1

0 1

x

2

banekurven i planen

Men koordinatfunktionerne x(t) og y(t) er ikke differentiable:

(grafen knækker i 0)

2

(2.2)


t

x(t)

2

x 1

0 1


Banekurven i rummet er ikke-differentiabel:

NB: Her er 3 kordinater: t, x og y.

t

y(t)

2

y 1

(Rotér grafen og se fra forskellige vinkler. Grafen knækker i )

0 1

(Prøv også at dreje koordinatsystemet, så t-aksen går ud af skærmen samt x-aksen til højre og yaksen

opad. Så fremkommer banekurven i x-y-planen.)

More magazines by this user
Similar magazines