XM @ DTU License to Thrill - DTU Matematik ∙ Institut for Matematik

www2.mat.dtu.dk

XM @ DTU License to Thrill - DTU Matematik ∙ Institut for Matematik

XM @ DTU

License to Thrill

En Automat fra Funktionsinspektoratet

S. Markvorsen & P. G. Hjorth

Institut for Matematik, Bygning 303S, DTU

DK-2800 Kgs. Lyngby

1


secFunk

En Automat fra Funktionsinspektoratet

Funktionen f(x) = x^2 (rød) og

første afledede (blå) og

anden afledede (grøn):

2

1

0

−1.0

−0.5 0.0 0.5 1.0

x

−1

−2

Figur 1: Del af inspektion af f (x) = x 2 , x ∈ [−1,1].

figInspek01

Niveau: C, B, og A.

Tidsforbrug: Fra 1 til 2 lektioner.

Faglige mål: Funktionsbegrebet, funktionsundersøgelse, nulpunkter, værdimængde.

Beskrivelse (kort): Funktionsbegrebet diskuteres i relation til output fra et apparat, der kan assistere

ved en klassisk funktionsundersøgelse af funktioner f (x) af én reel variabel x ∈ I ⊂ R.

Præcise funktionsundersøgelser er helt afgørende for en række anvendelser, hvor opgaven ofte er

at finde største eller mindste værdi for en given funktionsforskrift. De i praksis forekommende

funktioner er kun sjældent elementære, klassisk tabellagte, analytiske, eller på nogen som helst

anden vis ’pæne’.

Det er derfor af værdi tidligt i uddannelsen at kunne eksperimentere relativt uhindret og frit

med alle aspekter af den klassiske funktionsundersøgelse, så det allerede ved undersøgelser i

klassen af ’pæne’ funktioner bliver klart, at der er alvorlige men spændende vanskeligheder at

diskutere, forstå, og løse med henblik på at få fornemmelsen af, hvad der er på færde i de mere

videregående sammenhænge og derved opøve den handlekraft, der er nødvendig for effektivt at

kunne undersøge de faktisk forekommende funktioner.

2


’Funktionsinspektoren’ er et ultra-simpelt og groft bud på en ’automatisk funktionsundersøger’,

der kan benyttes ved sådanne eksperimenter; dels til komplettering af de papir-og-blyant beregninger,

der allerede producerer de velkendte løsninger (som eksemplificeret i figur 1) og dels

til at dyrke det uundgåelige overraskelsesmoment: at inspektoren ikke nødvendigvis giver det

forventede resultat eller måske endda henter en ukendt formulering frem fra ’biblioteket’.

’Inspektoren’ bygger implicit på to helt fundamentale antagelser (som kun sjældent er opfyldte):

At intervallet I er afsluttet og begrænset (alle eksempler har faktisk I = [−1,1]), og at de funktioner,

der undersøges, er ’passende mange gange’ differentiable. Det sikrer nemlig blandt andet

- i henhold til en fundamental sætning i analysen - at der findes både et maksimum og et minimum

i intervallet - se figur 1, som er en del af output fra Inspektoren ved inspektion af funktionen

f (x) = x 2 , x ∈ [−1,1].

Det ovenfor omtalte overraskelsesmoment kan uhindret ’forceres’ frem ved at eksperimentere

med inspektoren og bruge den på funktioner, der oplagt ikke opfylder de nævnte implicitte antagelser.

Der gives eksempler på dette i materialet.

Materialer:

• Illustrerende eksempler:

http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/

- i undermappen: XMatDTU/XMwriteF07/

FUNKTIONSINSPEKTOR/Eksempler/KongeligProcedure.html

• Den bagvedliggende anvendte Maple worksheet findes i

FUNKTIONSINSPEKTOR/KongeligProcedure.mw

INSTITUT FOR MATEMATIK, MATEMATIKTORVET, DTU

BYGNING 303 SYD, 2800 KGS. LYNGBY.

3

More magazines by this user
Similar magazines