EN SAMMENLIGNING AF KONVERTERINGSSTRATEGIER FOR ...

EN SAMMENLIGNING AF KONVERTERINGSSTRATEGIER FOR 

KONVERTERBARE REALKREDITLÅN 

PETER LØCHTE JØRGENSEN, KRISTIAN R. MILTERSEN OG CARSTEN SØRENSEN 

Resumé. I denne artikel undersøges og sammenlignes forskellige strategier til konvertering af realkreditlån. 

Vi foreslår en simpel konverteringsstrategi, der udspringer af et krav om en konverteringsgevinst af en 

vis størrelse, og sammenligner denne med den optimale konverteringsstrategi ved at beregne låntagers 

værditab, hvis låntager konverterer efter den simple (inoptimale) konverteringsstrategi. Undersøgelsen tager 

sit udgangspunkt i Cox-Ingersoll-Ross rentestrukturmodellen med parameterestimater fra danske ikkekonverterbare 

obligationsprisobservationer. Vi analyserer problemstillingen med tre forskellige skattesatser: 

0%, 34% og 50%, og vi tager højde for forskellige omkostninger i forbindelse med konverteringen. Et resultat 

af denne undersøgelse er, at et – i løbetiden – lineært aftagende procentvis gevinstkrav er en særdeles 

god indikator for, hvornår det er optimalt at konvertere realkreditlån. Dette resultat understøtter altså det 

kriterium, som i forvejen anvendes af de fleste pengeinstitutter og realkreditinstitutter i deres konverteringsovervågningssystemer. 

1. Introduktion 

Et konverterbart lån kan opfattes som en kombination af et tilsvarende inkonverterbart lån og en konverteringsret. 

Konverteringsretten kan sidestilles med en amerikansk calloption med det inkonverterbare lån som 

underliggende aktiv. Konverteringsretten giver låntager ret men ikke pligt til at (tilbage-)købe ydelsesrækken 

på det inkonverterbare lån mod at betale de påløbne renter frem til førstkommende termin og den til 

det tidspunkt tilbageværende restgæld. Optionen er amerikansk, da konverteringsretten kan udnyttes i hele 

lånets løbetid. 

I denne artikel vil vi vurdere værdien af det konverterbare lån fra låntagers perspektiv ved anvendelse af metoder 

fra optionsteori. Værdien af det konverterbare lån afhænger af, hvilken konverteringsstrategi låntager 

følger. En optimal konverteringsstrategi for låntager er en strategi, der minimerer nutidsværdien af de fremtidige 

betalinger på det konverterbare lån. Problematikken omkring værdifastsættelse af det konverterbare lån 

og bestemmelse af optimale konverteringsstrategier er forholdsvis komplicerede på grund af flere forhold. Dels 

er konverteringsretten i det konverterbare lån en renterelateret fordring. Dette sætter krav til den anvendte 

model, idet man ved prisfastsættelse af renterelaterede fordringer generelt må modellere udviklingen i hele 

rentestrukturen. Dels skal der tages højde for forskellige administrative forhold og omkostninger i forbindelse 

med konvertering samt beskatning af låntager. 

Dato: September 1995. Denne udgave: 28. april 1999. 

Stikord. Konverterbare realkreditlån, optimale/simple konverteringsstrategier. 

Vi vil gerne takke Johannes Raaballe, Bjarne G. Sørensen og finans/invest referee Svend Jakobsen for kommentarer og forslag, 

der har forbedret denne artikel både sprogligt og især indholdsmæssigt. Ligeledes takkes Aarhus Universitets Forskningsfond 

for finansiel støtte til den førstnævnte forfatter og det tværfaglige initiativ mellem De Samfundsvidenskabelige og Naturvidenskabelige 

Forskningsråd for finansiel støtte til de to sidstnævnte forfattere. 

1

2 PETER LØCHTE JØRGENSEN, KRISTIAN R. MILTERSEN OG CARSTEN SØRENSEN 

Som model for udviklingen i rentestrukturen vælger vi Cox-Ingersoll-Ross modellen (CIR-modellen). Modellen 

har den attraktive egenskab, at vi kan beregne værdien af såvel ikke-konverterbare lån som konverterbare 

lån og – ikke mindst – den optimale konverteringsstrategi for konverterbare lån. Modellen sikrer desuden 

positive renter. Vi estimerer parametrene i modellen ud fra historiske data for den korte rente og observerede 

obligationspriser ultimo ’95. 

CIR-modellen er også den grundlæggende model i Christensen (1988), som prisfastsætter konverterbare obligationer 

på følgende måde: Ved hjælp af CIR-modellen prisfastsættes inkonverterbare annuitetsobligationer 

ud fra en antagelse om skattefritagede investorer. Derefter bestemmes efter-skat renten for de beskattede 

låntagere, således at disse låntagere prisfastsætter de inkonverterbare lån til samme værdi som de skattefritagede 

investorer. Herefter findes den optimale konverteringsstrategi for låntagerne for de konverterbare lån. 

Denne strategi anvendes endelig til prisfastsættelse af de konverterbare obligationer fra de skattefritagede 

investorers perspektiv. Ligesom i vores model må den udledte partielle differentialligning løses numerisk. 1 

Stort set samme metode benyttes i Mouritsen and Møller (1986a), Dahl (1991) og Jakobsen (1992), der 

også prisfastsætter konverterbare obligationer. Mouritsen and Møller (1986a) anvender en binomial-model 

med den inkonverterbare obligationspris som den underliggende stokastiske faktor, mens Dahl (1991) og 

Jakobsen (1992) anvender BDT-binomial-modellen, hvor den korte spotrente er den stokastiske faktor, der 

genererer modellens usikkerhed. Benyttelse af BDT-modellen har den fordel, at den kan tilpasses en vilkårlig 

initial observeret rentestruktur, hvilket ikke er tilfældet for CIR-modellen. 2 

Et problem for modeller til prisfastsættelse af konverterbare obligationer er, at modelleringen af konverteringsretten 

som en amerikansk exercise-ret gør, at alle låntagerne finder det optimalt at konvertere samtidigt 

– et fænomen, der ikke observeres i praksis. Dahl (1991) løser dette problem ved at opdele låntagerne 

i klasser efter deres respektive låns størrelse og ved samtidig at indføre konverteringsomkostninger. Ved 

efterfølgende at undersøge de enkelte låntagergruppers optimale konverteringsbeslutning særskilt opnås sekventiel 

konverteringsadfærd i modellen. Jakobsen (1992) afskriver helt den amerikanske optionstankegang 

i forbindelse med prisfastsættelse af konverterbare obligationer 3 og introducerer i stedet en eksogen given 

såkaldt prepayment funktion, der angiver, hvor stor en andel af de låntagere, der endnu ikke har konverteret, 

som vil konvertere ved et givet renteniveau. Denne prepayment funktion skal så estimeres ud fra historiske 

data om tidligere foretagne konverteringer. 

Modsat Mouritsen and Møller (1986a), Christensen (1988), Dahl (1991) og Jakobsen (1992) er ambitionsniveauet 

i denne artikel ikke at prisfastsætte konverterbare obligationer, men derimod udelukkende at analysere 

konverteringsstrategier set ud fra låntagernes perspektiv. I denne sammenhæng er det derfor en naturlig og 

nødvendig antagelse, at låntagerne opfører sig strengt rationelt, således at den amerikanske optionstankegang 

kan anvendes. 4 Af samme årsag kan vi i vores model undgå at modellere investorerne/långiverne. 5 Dette gør 

1 Den anvendte numeriske løsningsmetode i Christensen (1988) er identisk med den, der anvendes i denne artikel. Dvs. endeligdifferensmetoden 

med Crank-Nicholson approksimationer af de partielle afledede, cf. Duffie (1992, pp. 204–210). 

2 Ved at lade de indgående parametre i CIR-modellen være tidsafhængige kan CIR-modellen dog også tilpasses en vilkårlig 

initial rentestruktur, som vist i Hull and White (1993). 

3 Jakobsen (1992) mener dog stadig, at den amerikanske optionstankegang er rigtig i forbindelse med vurdering af den optimal 

konverterinsadfærd for den enkelte låntager. 

4 Spørgsmålet er desuden, om ikke rationalitetsantagelsen hos låntagerne bliver mere og mere plausibel i takt med, at de 

finansielle rådgiveres overvågning af klienternes låneporteføljer bliver mere og mere systematisk og effektiv. 

5 Vi er dog nødt til at antage eksistensen af et obligationsmarked med tilhørende investorer, for at låntager kan få sitlån 

finansieret. Ligeledes skal vi eksplicit bruge investorsiden i forbindelse med estimationen af CIR-modellens parametre, der 

foretages med udgangspunkt i inkonverterbare statsobligationer.

KONVERTERINGSSTRATEGIER FOR KONVERTERBARE REALKREDITLÅN 3 

b 1 b 2 b N 

2mdr - 

, ,A A AA, , 

- 

Varselstidspunkt 

t 0 t 1 t 2 t N 

Figur 1. Tidslinie. 

samtidig en antagelse om, at alle låntagere har samme skattesats langt mindre kritisk, idet vi sådan set 

kun behøver at betragte en enkelt låntager. Udelukkelsen af investorerne har dog den konsekvens, at vi må 

antage, at de konverterbare obligationer på lånets optagelsestidspunkt er prisfastsat som nutidsværdien af 

de fremtidige efter-skat betalinger på låntagersiden. I den sammenhæng kan antagelsen om samme skattesats 

for alle låntagere kritiseres. Vi mener dog ikke, at denne antagelse er mere urealistisk end antagelser i, f. 

eks., Christensen (1988) om at alle investorer er skattefritagede og at alle låntagere har samme skattesats. 

Med henblik på at karakterisere den optimale konverteringsstrategi vil vi optegne kritisk rente og gevinstkrav 

for realkreditlån. For efterfølgende at kunne vurdere betydningen af den anvendte konverteringsstrategi, 

sammenligner vi optimale konverteringsstrategier i forskellige rentestrukturscenarier og for låntagere med 

forskellige skattesatser med nogle såkaldte simple strategier. Et kriterium for vurdering af forskellige simple 

strategier er værdien af det konverterbare lån set fra låntagers perspektiv, når man følger den givne strategi. 

Vi sammenholder derfor værdien af lånet, når man anvender den optimale konverteringsstrategi, og når man 

i stedet anvender en simpel strategi. 

Resten af denne artikel er disponeret som følger. I afsnit 2 beskriver vi problemstillingen nærmere, og viser, 

at det kun kan være optimalt at konvertere sit realkreditlån på selve varselstidspunktet. I afsnit 3 beskrives 

den metode, som vi benytter i vores analyse og i afsnit 4 beskrives kort metoden, vi benytter til at estimere 

modellen og resultaterne heraf præsenteres. Derefter følger analysen af de forskellige konverteringsstrategier. 

De optimale konverteringsstrategier beskrives i afsnit 5 mens de simple konverteringsstrategier analyseres i 

afsnit 6. Endelig sluttes artiklen af med en konklusion i afsnit 7. 

2. Konvertering af realkreditlån 

I forbindelse med anvendelse af konverteringsretten på danskerealkreditlån skal konverteringen normalt 

varsles senest to måneder inden næstkommende termin. 6 Tidslinien i figur 1 har til hensigt at illustrere problemstillingen 

i forbindelse med konverteringsbeslutningen. Tidspunkterne t 0 , t 1 , ..., t N angiver de følgende 

terminer. Hvis låntager ønsker at konvertere lånet til den førstkommende termin t 0 , skal dette varsles senest 

to måneder før t 0 . Ved en eventuel konvertering betaler låntager restgælden på tidspunkt t 0 samt de påløbne 

renter indtil tidspunkt t 0 for til gengæld i princippet at modtage den tilsvarende inkonverterbare obligation 

bestående af de fremtidige betalinger b 1 , ..., b N ,derså “netter ud” med de fremtidige betalingsforpligtigelser 

fra det oprindelige realkreditlån, som låntager i forvejen besidder. 

6 For visse låntyper er varselstiden dog fem måneder.


Det er velkendt fra optionsteori, at det er inoptimalt at exercise amerikanske calloptioner bortset fra umiddelbart 

før et betalingstidspunkt på det underliggende aktiv eller ved udløb. 7 Tilsvarende kan det indses, 

at en eventuel konverteringsbeslutning altid bør udskydes til umiddelbart før et varselstidspunkt. Antag for 

eksempel, at låntager på et tidspunkt inden varselstidspunktet beslutter sig for at udnytte konverteringsrettigheden. 

Man kan således overbevise sig om, at låntager ikke er bedre stillet, end hvis beslutningen blev 

udskudt til selve varselstidspunktet, idet låntager på varselstidspunktet blot kan beslutte at konvertere og 

således være stillet præcis, som hvis konverteringsbeslutningen var taget tidligere. Alternativt kunne renten 

være steget så meget, at låntager i stedet for at konvertere til pari med fordel kunne vælge at opkøbe egne 

obligationer i markedet billigere. Dette argument er gyldigt, uanset eksistensen af eventuelle fastkursaftaler. 

Hvis man er overbevist om, at renten vil stige, kan man til enhvert tidspunkt indgå en fastkursaftale om 

optagelse af et nyt realkreditlån til en fastlåst rente ved næste konverteringstidspunkt. Uafhængigt af denne 

fastkursaftale kan man så tage stilling til, om man vil konvertere sit gamle realkreditlån eller blot købe 

obligationerne op i markedet, når varselstidspunktet oprinder. 8 

En optimal konverteringsstrategi vil således kun involvere konvertering på selve varselstidspunktet. Dette er 

udnyttet i beregningsalgoritmen for optimale konverteringsstrategier som beskrevet i afsnit 3. På etgivet 

varselstidspunkt er låntagers problem at vurdere, om det er optimalt at konvertere nu eller at vente. Hvis 

låntager vælger at konvertere, realiseres en gevinst svarende til nutidsværdien af det inkonverterbare lån 

minus restgælden på det konverterbare lån minus omkostningerne ved konverteringen. Til gengæld mistes 

retten til at kunne konvertere på et senere tidspunkt – eventuelt på endnu gunstigere vilkår. I forbindelse med 

en vurdering af det optimale tidspunkt og renteniveau for en konvertering, er det således væsentligt at kunne 

vurdere værdien af den mistede option. I det følgende har vi anvendt én-faktor modellen fra Cox, Ingersoll, 

and Ross (1985) (CIR-modellen) til at få et estimat for den mistede optionsværdi ved en konvertering. 

3. Model og metode 

I dette afsnit beskrives modellens vigtigste antagelser og metoden, der er benyttet til bestemmelse af det 

konverterbare låns værdi og den optimale konverteringsstrategi. 

Det forudsættes, at låntager refinansierer på “markedsvilkår”, således at vi ikke behøver at tage højde for 

låntagers øjeblikkelige refinansieringsmuligheder. Udviklingen i den korte markedsrente, r t , antages at kunne 

beskrives ved 

dr t = κ(θ − r t )dt + σ √ r t dZ t , 

hvor parameteren κ bestemmer graden af tilpasning i den korte rente mod et langsigtsniveau θ, σ bestemmer 

usikkerheden omkring den fremtidige renteudvikling (rentevolatiliteten), og dZ t er et støjled. 

Den relevante rente i nedenstående analyse er låntagers efter-skat refinansieringsrentesats. Alle betalinger 

vil tilsvarende blive opgjort på efter-skat basis, og der vil blive taget højde for gebyrer i forbindelse med 

7 Se f.eks. Cox and Rubinstein (1985, p. 139). 

8 Dette er også påpeget i Jakobsen (1992, pp. 66–67).


omlægningen. 9 Vi vil yderligere antage, at låntagers korte efter-skat rente bestemmes som (1 − s)r t ,hvors 

betegner låntagers skattesats. 10 

Metoden, der anvendes ved beregning af det konverterbare låns værdi, er følgende: Vi vil betegne værdien 

af det konverterbare lån på n’te varselstidspunkt og ved CIR-kort-renten r med C(r, n), n =1,..., N. Ved 

sidste termin har det ingen værdi at konvertere, idet den sidste terminsbetaling under alle omstændigheder 

forfalder til kurs pari to måneder senere (svarende til 1 6 år), dvs. C(r, N )=b ND(r, 1 6 ), hvor b N er efterskatbetalingenvedrørendedensidsteterminogD(r, 

t) betegner værdien af en (inkonverterbar) nul-kupon 

obligation med t tidsenheder til udløb og en CIR-kort-rente på r. Denne nul-kupon obligationspris er et 

lukket formeludtryk i CIR-modellen. Dernæst beregnes det konverterbare låns værdi på tidspunkt N − 1for 

alle renteniveauer. Herefter for tidspunkt N − 2 for alle renteniveauer og så videre tilbage til første termin. 

Dette er nærmere beskrevet i det følgende. 

For at bestemme værdien af det konverterbare lån på et givet varselstidspunkt n, opgør man først restgælden 

og diverse efter-skat omkostninger i forbindelse med konverteringen. Nutidsværdien af et konverterbart lån 

beregnes ved at diskontere restgæld samt omkostninger tilbage til varselstidspunktet. Dernæst opgøres værdien 

af at vente med at konvertere; denne værdi afhænger af værdien ved næste varsel. I princippet findes 

værdien ved at tilbagediskontere de fremtidige værdier, C(r, n + 1), under hensyntagen til den stokastiske 

udvikling af de fremtidige renter. Denne nutidsværdi betegnes i det følgende C + (r, n). Den omtalte tilbagediskontering 

justeres for risiko ved hjælp af risikojusteringsparameteren λ. 11 Ipraksismå denne beregning 

foretages numerisk. Beregningsmetoden er kort beskrevet i appendiks. På et varselstidspunkt n med n


Den kritiske rente på detn’te varselstidspunkt, r n , er den rentesats, hvor låntager er indifferent mellem at 

konvertere og at vente. For et renteniveau under den kritiske rente vil der blive konverteret, mens der ved et 

renteniveau over den kritiske rente ikke vil blive konverteret. 

4. Estimation af CIR-modellen 

Med henblik på en konkret anvendelse af modellen må vi fremskaffe estimater for modellens parametre, dvs. 

renteprocessens parametre κ, θ og σ samt risikojusteringsparameteren, λ. 

Renteprocesparametrene har vi estimeret ved hjælp af metoden beskrevet i Jørgensen and Hansen (1995), 

der er inspireret af Chan et al. (1992). Datagrundlaget er dag-til-dag–renten, som rapporteres af Danmarks 

Nationalbank i publikationen “Finansiel Månedsstatistik”. Ved således at vælge en meget kort rente som 

grundlag for parameterestimationen er vi mest mulig “tro” mod CIR-modellens oprindelige specifikation. 12 

I den konkrete estimationsprocedure anvendes data fra perioden 1. januar 1993 til 30. november 1995 – i alt 

739 observationer af dag-til-dag–renten. De opnåede renteprocesparameterestimater er som følger: 

Parameterestimater 

κ 0,3421 

θ 0,0752 

σ 0,1185 

Med disse værdier indsat i CIR-modellens obligationsprisudtryk foretager vi dernæst en implicit bestemmelse 

af risikojusteringsparameteren, λ. Mere præcist sammenholder vi på en række handelsdage i december 

1995 CIR-modellens priser ud fra efter-skat betalingsrækkerne med observerede markedspriser for de 10 

mest omsatte obligationer på Københavns Fondsbørs. Disse er alle inkonverterbare statsobligationer med 

udløbstidspunkter jævnt fordelt i perioden 1996 til 2006. Det viser sig, at λ-værdier i intervallet [−0,1; 0,1] 

giver de bedste resultater; typisk en gennemsnitlig fejlprisfastsættelse af de 10 obligationer på mindre end et 

kvart kurspoint. 13 Med baggrund i disse resultater såvel som for overskuelighedens skyld, vil vi i det følgende 

vælge at sætte λ =0. 

5. Optimale konverteringsstrategier 

I nærværende afsnit vil vi illustrere modellens anvendelse gennem præsentation af en række gennemregnede 

eksempler. 

Som repræsentativt eksempel har vi valgt at analysere konverteringsproblematikken for et 30-årigt kontantlån 

baseret på udstedelse af 9% annuitetsobligationer med kvartårlige terminer. Med en dagskurs for 

de bagvedliggende obligationer på 98,24 svarer det til en kontantlånsrente på 9,2%. Denne forholdsvis høje 

obligationsrente og tilsvarende høje kontantlånsrente er valgt af illustrative årsager, idet disse værdier giver 

12 Der kan sættes spørgsmålstegn ved, om dag-til-dag–renten er den rente med størst forklaringsgrad over for variationen i 

obligationspriserne. Omvendt er der næppe tvivl om, at det er den korte rente, der er styrende for renteudviklingen. Vi vil dog 

ikke komme yderligere ind på dette problem i nærværende artikel. 

13 Oplysninger om den præcise fremgangsmåde kan rekvireres hos forfatterne. Det skal her bemærkes, at der er brugt efterskat 

betalingsrækker for de indgående obligationer, og at parameterestimatet på λ ikke afviger signifikant for de tre forskellige 

skattesatser.


gode konverteringsmuligheder. Lånets hovedstol er sat til kr. 500.000, og efter-skat konverteringsomkostningerne 

har vi specificeret som kr. 5.000 fast, samt 1 2 

% af den til ethvert tidspunkt tilbageværende restgæld.14 

Daderertaleometkontantlån, skal låntager i forbindelse med en eventuel konvertering altså tilbagebetale 

obligationsrestgælden, der som hovedregel er større end kontantlånsrestgælden. Desuden er obligationsrestgælden 

afhængig af det gældende renteniveau og derfor en stokastisk proces set fra låntagers perspektiv. 

Som diskuteret i afsnit 3 vil der på ethvert varselstidspunkt i lånets restløbetid eksistere et kritisk renteniveau, 

r n , som præcist identificerer det punkt, hvor værdien af lånet er det samme, uanset om låntager vælger at 

konvertere eller at udskyde beslutningen. Hvis den aktuelle rente er lavere end den kritiske rente, skal der 

konverteres, og vice versa. 

Ved hjælp af den beskrevne numeriske metode kan forløbet for de kritiske renter fastlægges. Nedenfor har 

vi valgt at illustrere forløbet for – ikke den kritiske korte rente (dag-til-dag–rente) men – den effektive førskat 

rente på et (fiktivt) inkonverterbart tiårigt 8% stående lån, som er prisfastsat af CIR-modellen med 

de ovenfor estimerede parametre og ved et aktuelt kort renteniveau svarende til CIR-modellens kritiske 

korte rente. Vi har valgt denne transformation med henblik på mere meningsfuldt at kunne referere til et 

renteniveau lidt à la 18.30-TV-avisens “Dagens obligationsrente” – som om dette var et entydigt begreb. En 

tilsvarende konvention benyttes i Christensen (1988) og Jakobsen (1992). 

Vi har gennemført beregningerne for tre forskellige skattesatser: 0%, 34% og 50% i figur 2. Endvidere har vi 

varieret på rentevolatilitetsparameteren, σ, som har en afgørende indflydelse på obligationskursernes variation. 

Konkret har vi prøvet med σ =0,05, σ =0,1185 og σ =0,20 i figur 3. 

Af figur 2 ses det – måske i første omgang lidt overraskende – at de kritiske rentekurver er næsten sammenfaldende 

for de tre skattesatser. Først i slutningen af lånets løbetid er de optimale strategier for forskelligt 

beskattede låntagere tydeligt forskellige. Det ses, at skattefritagede låntagere altid vil konvertere før højere 

beskattede låntagere (den kritiske rentekurve ligger højest for skattesats nul og nås derfor først ved et rentefald). 

Dette resultat kan forklares ved, at en beskattet låntager – alt andet lige – må stille et højere krav til 

konverteringsgevinsten end en skattefritaget (lavere beskattet) låntager, idet man ved konvertering af et kontantlån 

mister sit skattesubsidium. Dette skattesubsidium opstår ved, at der ved optagelse af et kontantlån 

transformeres afdrag, som ikke er fradragsberettigede for låntager, til renter, som er fradragsberettigede for 

låntager. Ved en eventuel konvertering skal låntager tilbagebetale obligationsrestgælden og mister derved 

skattesubsidiet relateret til de fremtidige rentebetalinger – disse rentebetalinger bliver så at sige transformeret 

tilbage til afdrag. Dette er årsagen til, at den højere beskattede låntager finder det optimalt at vente 

indtil renten falder yderligere. 

Det ses endvidere af figur 2, at de kritiske rentekurver afbrydes 2–3 år før lånets udløb. Dette skyldes, at 

det i lånets sidste år ikke vil være muligt at opnå konverteringsgevinster, som er store nok til at betale 

omkostningerne i forbindelse med konverteringen. Bortset fra en lidt anderledes definition af den kritiske 

rente, er kurverne i figur 2 ækvivalente med tilsvarende figurer pp. 69–72 i Jakobsen (1992). 

Det bemærkes endeligt, at det faktum, at de kritiske rentekurver for forskelligt beskattede låntagere er 

(næsten) ens for de fleste restløbetider, ikke er ensbetydende med, at de tre låntagertyper er indifferente 

14 Se i øvrigt Grosen and Sørensen (1993) for en beskrivelse af de forskellige konverteringsomkostninger samt en analyse af, 

hvordan størrelsen af konverteringsgevinsten afhænger af konverteringsomkostninger, lånetyper og restløbetid for det betragtede 

konverterbare realkreditlån.


8 

Kritisk effektiv rente på tiårig obl. 

7,5 

7 

6,5 

6 

5,5 

5 

0 5 10 15 20 25 30 

Restløbetid 

0% skat 34% skat 50% skat 

Figur 2. Kritisk rente afbildet som den effektive rente på et inkonverterbart tiårigt 8% 

stående lån ved tre forskellige skattesatser. 

over for beskatningen. Det betyder blot, at de har nogenlunde ens optimal konverteringsadfærd. Størrelsen 

af gevinsten kan derimod godt være meget forskellig. Det vender vi tilbage til i afsnit 6. 

Figur 3 viser kritiske rentekurver for en ubeskattet låntager ved tre forskellige værdier af rentevolatilitetsparameteren, 

σ. Det ses, at kurven flyttes nedad, når volatiliteten øges. Dette er et generelt resultat, som hænger 

sammen med, at når renteusikkerheden og dermed usikkerheden (volatiliteten) omkring obligationskurserne 

øges, så øges samtidig sandsynligheden for højere konverteringsgevinster. Derfor vil/bør låntager også være 

villige til at vente på et endnu lavere renteniveau inden konverteringen effektueres i forhold til situationen 

med lavere volatilitet. 

6. Simple strategier 

Efter at have beskrevet de optimale konverteringsstrategier kan vi nu arbejde os hen i mod et simpelt 

beslutningskriterium for, hvornår realkreditlån skal konverteres. Vi vil betegne dette beslutningskriterium 

for en simpel strategi. Mere præcist vil vi koncentrere os om et nøgletal kaldet kritisk procentvis gevinstkrav. 

Før vi gør det, defineres den procentvise gevinst formelt som 

PG(r, n) = 100% K(r, n) − ( RG(n)+O(n) ) D(r, 1 6 ) , 

K(r, n) 

hvor K(r, n) er nutidsværdien af de fremtidige betalinger på lånet. Tælleren i ovenstående formel angiver 

gevinsten ved en øjeblikkelig konvertering, idet ( RG(n)+O(n) ) D(r, 1 6 

) kan fortolkes som værdien af et nyt


8 

Kritisk effektiv rente på tiårig obl. 

7,5 

7 

6,5 

6 

5,5 

5 

0 5 10 15 20 25 30 

Restløbetid 

vol. 0,05 vol. 0,1185 vol. 0,20 

Figur 3. Kritisk rente afbildet som den effektive rente på et inkonverterbart tiårigt 8% 

stående lån ved tre forskellige rentevolatilitetsniveauer. 

lån optaget på markedsvilkår til at refinansiere det “gamle” lån med, hvis det konverteres. Det giver derfor 

god mening, at kalde PG for den procentvise gevinst ved konvertering. 

Nøgletallet kritisk procentvis gevinstkrav ved den n’te varselstidspunkt, PG(n), kan naturligt defineres som 

PG(n) =PG(r n ,n), idet r n angiver det kritiske renteniveau som defineret i afsnit 3. 

Vi har afbildet det kritiske procentvise gevinstkrav i figurerne 4–5. 15 Som det fremgår af disse figurer, udviser 

nøgletallet kritisk procentvis gevinstkrav et nærmest lineært forløb fra nul og op til et givet niveau som 

funktion af lånets restløbetid. 

Grundet det stort set lineære forløb for PG(·) i figurerne 4–5 inspireres man til at prøve med følgende simple 

konverteringsstrategi: 

1. Beregn vha. CIR-modellen PG(0) ved realkreditlånets optagelse. 

2. Træk en ret linie fra PG(0) ved realkreditlånets optagelse og ned til 0 ved realkreditlånets udløb. 

3. Benyt denne rette linie som beslutningsgrundlag for konvertering: Dvs. udregn til hvert varselstidspunkt 

gevinsten ved at konvertere i procent af værdien af det nuværende lån, hvis dette ikke konverteres, 

PG(r, n). Hvis denne PG(r, n) er større end eller lig med PG(n), konverteres lånet. 

For at kunne vurdere denne (simple) strategi relativt til den optimale strategi beskrevet tidligere, kan vi 

beregne nutidsværdien ved implementering af den optimale strategi og sammenligne med nutidsværdien fra 

15 Bemærk, at parameteren n i PG(n) erdenn’te termin, cf. figur 1, og altså ikke restløbetiden.


20 

Kritisk procentvis gevinstkrav 

15 

10 

5 

0 

0 5 10 15 20 25 30 

Restløbetid 

0% skat 34% skat 50% skat 

Figur 4. Kritisk procentvis gevinstkrav ved tre forskellige skattesatser. 

kuponrente for kont.lånsrente Obligations NV af tilb. bet., prc. tab ved 

underlig. obl. ved optagelse PG(0) kurs simpel strategi simpel strategi 

10% 13% 20,09% 79,50 79,56 0,08% 

10% 12% 20,15% 85,21 85,27 0,06% 

10% 11% 20,09% 92,09 92,13 0,05% 

9% 12% 15,49% 78,20 78,26 0,07% 

9% 11% 15,53% 84,44 84,48 0,05% 

9% 10% 15,47% 91,68 91,72 0,04% 

8% 11% 10,38% 77,21 77,26 0,06% 

8% 10% 10,40% 83,65 83,69 0,05% 

8% 9% 10,33% 91,16 91,20 0,04% 

7% 10% 5,00% 75,93 75,98 0,06% 

7% 9% 4,94% 82,69 82,73 0,06% 

7% 8% 4,86% 90,63 90,68 0,05% 

6% 9% 0,39% 74,49 74,52 0,05% 

6% 8% 0,36% 81,68 81,72 0,05% 

6% 7% 0,31% 90,15 90,19 0,04% 

Tabel 1. Vurdering af optimale versus simple konverteringsstrategier samt PG-værdier for 

udvalgte realkreditlån ved en skattesats på 0%. 

den simple strategi og vurdere den procentvise forskel for en række realkreditlån med forskellige underliggende 

obligationer og forskellige kontantlånsrenter.


25 

Kritisk procentvis gevinstkrav 

20 

15 

10 

5 

0 

0 5 10 15 20 25 30 

Restløbetid 

vol. 0,05 vol. 0,1185 vol. 0,20 

Figur 5. Kritisk procentvis gevinstkrav ved tre forskellige rentevolatilitetsniveauer. 



10% 13% 14,91% 79,39 79,39 0,00% 

10% 12% 15,46% 85,32 85,33 0,01% 

10% 11% 16,10% 92,20 92,21 0,02% 

9% 12% 10,15% 78,37 78,37 0,00% 

9% 11% 10,79% 84,49 84,50 0,00% 

9% 10% 11,49% 91,72 91,73 0,01% 

8% 11% 5,07% 77,12 77,12 0,00% 

8% 10% 5,83% 83,53 83,54 0,00% 

8% 9% 6,68% 91,21 91,22 0,01% 

7% 10% 0,57% 75,79 75,79 0,01% 

7% 9% 1,16% 82,69 82,70 0,01% 

7% 8% 1,94% 90,62 90,65 0,03% 

6% 9% — 74,48 74,48 0,00% 

6% 8% — 81,75 81,75 0,00% 

6% 7% — 90,12 90,12 0,00% 



Tabellerne 1–3 er sådanne beregninger for skattesatserne s =0,s =0,34 og s =0,50. Udgangspunktet for 

disse tabeller er det samme lån med de samme omkostninger som i forrige afsnit. Tabellerne er bygget op ud




10% 13% 10,70% 79,32 79,37 0,06% 

10% 12% 11,81% 85,32 85,33 0,01% 

10% 11% 13,03% 92,25 92,25 0,00% 

9% 12% 6,05% 78,38 78,45 0,08% 

9% 11% 7,30% 84,61 84,63 0,02% 

9% 10% 8,70% 91,70 91,71 0,00% 

8% 11% 1,53% 77,08 77,09 0,01% 

8% 10% 2,74% 83,53 83,54 0,01% 

8% 9% 4,27% 91,18 91,18 0,00% 

7% 10% — 75,89 75,89 0,00% 

7% 9% — 82,63 82,63 0,00% 

7% 8% 0,43% 90,67 90,68 0,01% 

6% 9% — 74,47 74,47 0,00% 

6% 8% — 81,76 81,76 0,00% 

6% 7% — 90,13 90,13 0,00% 



fra de første to kolonner. Med en given kuponrente for de bagvedliggende obligationer og kontantlånsrente kan 

man forholdvis simpelt vha. annuitetsformlen udregne kursen på de bagvedliggende obligationer på optagelsestidspunktet 

(4. kolonne). Ud fra CIR-modellen beregnes den optimale konverteringsstrategi og tilhørende 

kritiske procentvise gevinstkrav på optagelsestidspunktet (3. kolonne). Dernæst beregnes den tilhørende værdi 

af lånet, hvis vi følger den simple strategi (5. kolonne). Værdien af lånet ved brug af den simple strategi må 

nødvendigvis være højere end ved brug af den optimale strategi, idet den optimale strategi netop er valgt 

ud fra et kriterium om, at låntager skal tilbagebetale så lidt som muligt. Endelig beregnes den procentvise 

afvigelse, der derfor må være positiv (6. kolonne). 

Som det kan konstateres ved at iagtage tabellerne 1–3, er forskellene ved brug af den optimale konverteringsstrategi 

og den simple strategi, målt som procentvis forringelse af realkreditlånenes nutidsværdi, uhyre små. 

Jakobsen (1992) analyserer også forskellige simple konverteringsstrategier. Hans resultater er rapporteret i 

Jakobsen (1992, Table 6.4), hvor det ses at disse simple strategier resulterer i betydeligt større afvigelser. 

Ligeledes fremgår det af tabellerne, hvorledes PG(0) skal sættes i den simple strategi for en række konverterbare 

realkreditlån. “—” i tabellerne 2–3 markerer et gevinstkrav på 0%, som dog stort set aldrig opnås 

pga. den lave rente på disse lån. 16 For s =0,børPG(0) være uafhængig af kontantlånsrenten, da der 

her ikke er noget skattesubsidium, som låntager kan miste ved en eventuel konvertering. Den faste omkostning 

ved en eventuel konvertering udgør dog en varierende andel af obligationsrestgælden ved forskellige 

kontantlånsrentesatser. Denne relative forskel i de faste omkostninger samt numerisk unøjagtighed i den benyttede 

implementerede numeriske metode kan således forklare, hvorfor PG(0) alligevel ikke er fuldstændig 

uafhængig af kontantlånsrenten i tabel 1. Hvis vi afbildede den kritiske rente, r n sammen med PG(n) forde 

16 Dette resultat er til dels en konsekvens af de estimerede parametre til CIR-modellen og valget af denne model i det hele taget. 

Med et langsigtsniveau for den korte rente på θ =0,0752 og en forholdsvis høj tilpasningsparameter på κ =0,3421 er der en 

meget lille sandsynlighed for, at renten kommer tilstrækkeligt langt ned, til at det kan betale sig at konvertere de kontantlån, 

der er baseret på udstedelse af 6%- og til dels 7%-obligationer.


valgte realkreditlån ville vi se, at jo lavere PG(0) er, des lavere vil r n også være, cf. figurerne 2 og 4. Altså jo 

lavere PG(0) er, des længere skal renten ned, før der konverteres, og des mindre er sandsynligheden for, at et 

lån vil blive konverteret. Årsagen hertil er, at gevinstpotentialet ved en eventuel konvertering falder markant 

med faldende obligationsrente og stigende skattesats. Dvs. selvom der kompenseres ved, at gevinstkravet 

sænkes, vil sandsynligheden for, at det reducerede gevinstkrav opfyldes, være aftagende. 

Ovenstående analyse viser altså, at i en CIR-model vil et nøgletal som gevinstkrav (forstået som gevinst ved 

at konvertere frem for at fortsætte med det eksisterende lån frem til udløb) være et særdeles nyttigt redskab 

til bestemmelse af det optimale konverteringstidspunkt for et realkreditlån. 

7. Afslutning 

I nærværende artikel blev der taget udgangspunkt i det faktum, at et konverterbart realkreditlån kan opfattes 

som et hybridaktiv sammensat af et tilsvarende inkonverterbart lån samt en amerikansk calloption. Med 

udgangspunkt i denne observation påviste vi, at den nyere options- og rentestrukturteori er velegnet til at 

håndtere problemet vedrørende bestemmelse af den bedst mulige konverteringsstrategi for realkreditlån. Som 

følge af realkreditlånets struktur er dette fuldstændigt ækvivalent med problemet vedrørende bestemmelse 

af exercise-strategier for amerikanske optioner. 

Som konkret model for renteudviklingen og -usikkerheden valgte vi den simple og relativt velkendte CIRmodel. 

De opnåede resultater er dog på ingenmåde specifikke for lige netop dette valg. Uanset valg af 

rentestrukturmodel vil problemet med at fastlægge den optimale konverteringsstrategi i form af et kritisk 

renteforløb kræve implementering af en numerisk løsningsmetode på computer. Dette giver dog ikke anledning 

til synderlige problemer – vi har undervejs i analysen ikke oplevet vanskeligheder med hverken præcision eller 

beregningstid. 

Den foreslåede metode blev illustreret ved hjælp af konkrete eksempler. Analysen gav inspirationen til konstruktion 

af et særligt gevinstnøgletal. Det blev vist, hvorledes man ud fra dette nøgletal kunne tilnærme de 

optimale konverteringsstrategier med simple lineære strategier. En sammenligning af gevinsterne ved at følge 

henholdsvis optimale og simple konverteringsstrategier viste negligerbare afvigelser i form af tab i nutidsværdi 

på det konverterbare realkreditlån. Gevinstnøgletallet benyttes reelt set allerede i dag, idet det faktisk 

er det tal, som indgår i de fleste realkreditinstitutter og pengeinstitutters programmer til overvågning af 

realkreditlån. Det er dog vores indtryk, at disse overvågningsprogrammer bruger et fast absolut gevinstkrav. 

I denne artikel har vi sandsynliggjort, at gevinstkrav er det rigtige nøgletal at benytte i overvågningen, men 

man bør benytte et relativt gevinstkrav (i procent) og lade dette krav aftage med lånets løbetid. Et andet og 

langt sværere spørgsmål at besvare er at finde det optimale niveau for det procentvise gevinstkrav ved lånets 

optagelse. Vi har i tabellerne 1–3 udregnet dette optimale niveau for en lang række realkreditlån, men det er 

klart, at disse resultater er stærkt afhængige af den anvendte model (CIR) og de konkrete parameterestimater 

til CIR-modellen.


Appendiks 

I CIR-modellen vil værdien, V (r, t), af et finansielt aktiv – set fra låntagers perspektiv – opfylde følgende 

partielle differentialligning (PDE) 

1 

2 σ2 r t V rr + ( ) 

(1) 

κ(θ − r t ) − λr t Vr + V t − (1 − s)r t V =0, 

hvor λ er en risikopræmie. For at bestemme nutidsværdien på det finansielle aktiv løses denne partielle 

differentialligning med passende randbetingelser, der karakteriserer aktivet. For at bestemme C + (r, n) er 

ovenstående partielle differentialligning således løst numerisk. Den numeriske metode er beskrevet i Duffie 

(1992, pp. 204–210). 

At ligning (1) er den PDE, som værdien af et finansielt aktiv skal opfylde, kan man overbevise sig om ved 

følgende argument: 

Lad rt ∗ =(1− s)r t betegne efter-skat renten og lad V (r, t) ( V ∗ (r ∗ ,t) ) betegne værdien af et finansielt aktiv 

til tidspunkt t, hvis (efter-skat) renten er r (r ∗ ). Udbetalingerne fra det finansielle aktiv beskattes ikke. På 

grund af loven om én pris er der følgende sammenhæng mellem V og V ∗ , 

V (r, t) =V ∗ (r ∗ ,t)=V ( r∗ 

1 − s ,t)=V ∗( (1 − s)r, t ) . 

Af notationsmæssige årsager vil vi betegne afledte af V og V ∗ som V 11 , V 1 og V 2 i stedet for de mere gængse 

betegnelser V rr , V r og V t . 

Som defineret i afsnit 3 har vi udviklingen i r beskrevet ved den stokastiske differentialligning (SDE) 

dr t = κ(θ − r t )dt + σ √ r t dZ t . 

Ved hjælp af Itô’s lemma får vi så udviklingen i r ∗ som 

dr ∗ t = κ( θ(1 − s) − r ∗ t 

) 

dt + σ 

√ 

1 − s 

√ 

r 

∗ 

t dZ t . 

For atter at simplificere notationen beskrives udviklingen i r ved 

og r ∗ ved 

dr t = b(r t ,t)dt + a(r t ,t)dZ t , 

dr ∗ t = b ∗ (r ∗ t ,t)dt + a ∗ (r ∗ t ,t)dZ t . 

Herefter følger så den velkendte udledning af PDE’en fra CIR modellen. Dette indledes med at finde udviklingen 

i V ,hvorV t = V (r t ,t), ved hjælp af Itô’s lemma 

dV t = V 1 dr t + 1 2 V 11d〈r〉 t + V 2 dt 

= ( 1 

2 a2 (r t ,t)V 11 + b(r t ,t)V 1 + V 2 

) 

dt + a(rt ,t)V 1 dZ t 

= V t α V (r t ,t)dt + V t δ V (r t ,t)dZ t . 

Det sidste lighedstegn er igen blot for at simplificere notationen, idet α V og δ V betegner drift og volatilitet 

på afkastet af det finansielle aktiv med værdiprocessen V . Betragt nu to finansielle aktiver, V 1 og V 2 .Vi


danner nu en portefølje bestående af π 1 formueandele af V 1 og π 2 formueandele af V 2 . Værdiprocessen for 

denne portefølje betegnes Π. Udviklingen i afkastet på porteføljen kan beregnes ved hjælp af Itô’s lemma 

dΠ t dVt 

1 dVt 

2 

= π 1 

Π t Vt 

1 + π 2 

Vt 

2 

= ( π 1 α 1 (r t ,t)+π 2 α 2 (r t ,t) ) dt + ( π 1 δ 1 (r t ,t)+π 2 δ 2 (r t ,t) ) dZ t , 

hvor V -notationen på α og δ er undertrykt. Vælg nu π 1 og π 2 så afkastvolatiliteten på porteføljen bliver nul. 

Da skal der på grund af antagelsen om ingen arbitrage gælde, at 

( 

π1 α 1 (r t ,t)+π 2 α 2 (r t ,t) ) =(1− s)r t , 

idet aktivets udbetalinger (og løbende kursgevinster) ikke beskattes. Ved et simpelt lineært algebra argument 

samt et argument om at aktiverne i porteføljen kan udskiftes med alle andre aktiver, hvis værdiproces er på 

formen V ,kandetvises,at 

(2) 

α V (r t ,t) − (1 − s)r t = γ(r t ,t)δ V (r t ,t), 

hvor funktionen γ er uafhængig af det betragtede aktiv, V . Indsættes definitionerne på α og δ fås 

1 

2 a2 (r t ,t)V 11 + b(r t ,t)V 1 + V 2 − (1 − s)r t V t = γ(r t ,t)a(r t ,t)V 1 . 

Da funktionen a også er uafhængig af det betragtede aktiv, kan vi foretage substitutionen 

λ(r t ,t)=γ(r t ,t)a(r t ,t). 

I overensstemmelse med CIR modellen indføres markedsprisen på risiko, λ CIR , i stedet for funktionen λ, så 

(3) 

λ(r t ,t)=λ CIR r t . 

Herved reduceres vores ligning til 

1 

2 a2 (r t ,t)V 11 + ( b(r t ,t) − λ CIR ) 

r t V1 + V 2 − (1 − s)r t V t =0. 

Ved indsættelse af udtrykkene for a og b fremkommer ligning (1). 

Alternativt kunne ligning (1) have været udledt udfra V ∗ ved følgende argument: Udviklingen i V ∗ ,hvorV ∗ 

t 

= V ∗ (r ∗ t ,t), kan igen udledes ved hjælp af Itô’s lemma 

dV ∗ 

t 

= V1 ∗ dr∗ t + 1 2 V 11 ∗ d〈r∗ 〉 t + V2 ∗ dt 

( 1 ( 

= a ∗ (rt ∗ 2 

,t)) 2 

V 

∗ 

11 + b ∗ (rt ∗ ,t)V 1 ∗ + V 2 

∗ 

= V t α ∗ V (r∗ t ,t)dt + V tδ ∗ V (r∗ t ,t)dZ t. 

Et helt analogt porteføljeargument leder nu frem til, at 

) 

dt + a ∗ (r ∗ t ,t)V ∗ 

1 dZ t 

(4) 

α ∗ V (r∗ t ,t) − r∗ t = γ∗ (r ∗ t ,t)δ∗ V (r∗ t ,t). 

Indsættes definitionerne på α ∗ og δ ∗ fås 

1 ( 

a ∗ (rt ∗ ,t) ) 2 

V 

∗ 

2 

11 + b ∗ (rt ∗ ,t)V1 ∗ + V2 ∗ − rt ∗ Vt 

∗ = γ ∗ (rt ∗ ,t)a ∗ (rt ∗ ,t)V1 ∗ .


Igen indføres markedsprisen på risiko, λ CIR , i stedet for funktionen γ ∗ ,så 

(5) 

γ ∗ (r ∗ t ,t)a ∗ (r ∗ t ,t)=λ CIR r ∗ t . 

Herved reduceres vores ligning til 

1 ( 

a ∗ (r t ,t) ) 2 

V 

∗ 

2 

11 + ( b ∗ (rt ∗ ,t) − λCIR rt 

∗ ) 

V 

∗ 

1 + V2 ∗ − r∗ t V t ∗ =0. 

Ved indsættelse af udtrykkene for a ∗ og b ∗ fremkommer 

1 

( 

2 σ2 (1 − s)rt ∗ V11 ∗ + κ ( θ(1 − s) − rt ∗ ) ) 

− λ CIR rt 

∗ V1 ∗ + V2 ∗ − rt ∗ Vt ∗ =0. 

Ved at benytte at V1 ∗ (rt ∗ ,t)= 1 

1−s V 1(r t ,t), V11(r ∗ 

t ∗ ,t)= 1 

(1−s) 

V 2 11 (r t ,t)ogV2 ∗ (rt ∗ ,t)=V 2 (r t ,t) fremkommer 

ligning (1) endnu en gang. 

Bemærk iøvrigt, at a ∗ (rt ∗ ,t)=(1− s)a(r t ,t)ogb ∗ (rt ∗ ,t)=(1− s)b(r t ,t), således at α ∗ V (r∗ t ,t)=α V (r t ,t)og 

δV ∗ (r∗ t ,t)=δ V (r t ,t). Dermed følger det af ligning (2) og (4), at γ ∗ (rt ∗,t)=γ(r t,t), hvorved λ CIR i ligning (3) 

og (5) rent faktisk er den samme størrelse. 

Litteratur 

Bhattacharya, S. & G. M. Constantinides, editors (1989): Theory of Valuation, volume 1 of Frontiers of Modern Financial 

Theory. Rowman & Littlefield Publishers, Inc., Totowa, New Jersey, USA. 

Chan, K. C., G. A. Karolyi, F. A. Longstaff & A. B. Sanders (1992): “An Empirical Comparison of Alternative Models 

of the Short-Term Interest Rate,” The Journal of Finance, XLVII(3):1209–1227. 

Christensen, P. O. (1988): “The Optimal Call Strategy on and the Pricing of Danish Callable Bond Issues,” Publications 

from Department of Management, Odense Universitet 5/1988, Department of Management, Odense Universitet, Campusvej 

55, DK–5230 Odense M, Denmark. 

Cox, J. C., J. E. Ingersoll, Jr. & S. A. Ross (1985): “A Theory of the Term Structure of Interest Rates,” Econometrica, 

53(2):385–407. Reprinted in Bhattacharya and Constantinides (1989, p. 129–151). 

Cox, J. C. & M. Rubinstein (1985): Options Markets, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 07632, USA. 

Dahl, H. (1991): “Konverterbare obligationer – overreagerer markedet?,” finans/invest, (5):8–12. 

Duffie, J. D. (1992): Dynamic Asset Pricing Theory, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, USA. 

Grosen,A.&H.D.Sørensen(1993): “Boligejernes konverteringsgevinst,” Ejendomsmægleren, (8):2–7. 

Hull, J. & A. White (1993): “One-Factor Interest Rate Models and the Valuation of Interest Rate Derivative Securities,” 

Journal of Financial and Quantitative Analysis, 28(2):235–254. 

Jakobsen, S. (1992): Prepayment and the Valuation of Danish Morgage-Backed Bonds, Ph.D. dissertation, Department of 

Finance, The Aarhus School of Business, Fuglesangs Allé, DK–8210 Århus V, Denmark. 

Jørgensen, P. L. & M. B. Hansen (1995): “Den korte renteproces, rentestrukturmodellering og optionsprisfastsættelse,” 

finans/invest, (3):23–27. 

Mouritsen, J. & M. Møller (1986a): “Konvertering af obligationer,” finans/invest, (2):8–12. Anden halvdel af artiken findes 

i Mouritsen and Møller (1986b). 

(1986b): “Konvertering af obligationer (2),” finans/invest, (4):10–14. 

Afdeling for Virksomhedsledelse, Institut for Økonomi, Aarhus Universitet, Universitetsparken 350, DK–8000 

Århus C 

E-mail address: ecolochte@eco.aau.dk


Institut for Virksomhedsledelse, Odense Universitet, Campusvej 55, DK–5230 Odense M 

E-mail address: krm@busieco.ou.dk 

Institut for Finansiering, Handelshøjskolen i København, Rosenørns Allé 31, DK–1970 Frederiksberg C 

E-mail address: ficso@cbs.dk

EN SAMMENLIGNING AF KONVERTERINGSSTRATEGIER FOR ...

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Delete template?

Save as template ?