Kære selvstuderende i hf matematik B Herunder ser du et ... - KVUC

kvuc.dk

Kære selvstuderende i hf matematik B Herunder ser du et ... - KVUC

Kære selvstuderende i hf matematik B

Herunder ser du et forslag til materiale, der kan udgøre dit eksaminationsgrundlag.

Eksamensspørgsmålene til mundtlig eksamen ses til sidst.

Link til fagets læreplan:

www.uvm.dk. Det er undervisningsministeriets hjemmeside og her skal du gå ind

under Uddannelser og dagtilbud og vælge Love og regler under Gymnasiale uddannelser.

Vælg så Studieretninger og fag, hfe , Læreplaner og tilsidst Matematik B

under de nye læreplaner.

På den samme side kan du finde tidligere eksamenssæt til skriftlig eksamen.

Vælg under Gymnasiale uddannelser Prøver og eksamen. Og herunder Skriftlige

opgavesæt . Vælg så Opgavesæt for hf og find her opgaverne til Matematik B hfenkeltfag.

Vær opmærksom på at den mundtlige eksamen "skal inddrage gennemførte projektforløb

og temaopgaver". I den forbindelse er vedhæftet fire oplæg til rapporter, der

kan inddrages i den mundtlige eksamination i visse spørgsmål.

Til den mundtlige eksamen bedømmes din udarbejdede rapport ikke.

Det er nødvendigt, at du har et cas-værktøj. Det kan være grafregneren TI-nSpire eller

et tilsvarende værktøj, der kan udføre såkaldt ”symbolsk manipulation”.

Bemærk at vi har en hold-side på Fronter. Kig endelig på den!

Her kan du f.eks. finde ovennævnte læreplan, de tidligere stillede eksamenssæt samt

facitliste, tilhørende noter, TI-nSpire vejledninger mm.

Der vil også komme forskellige praktiske oplysninger som indkaldelse til orienteringsmøde,

rækkefølge til eksamen mv.

Husk du kan få en times vejledning med mig. Men lav en aftale i god tid.

Jeg kan kontaktes på mailadressen: sims@kvuc.dk

Med venlig hilsen

Simon Sonnichsen

1


Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Hvis du ønsker ændringer, skal det godkendes af din vejleder inden 1. april (sommereksamen)/1. november

(vintereksamen). Tag kontakt til din vejleder.

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser:

Termin 2013

Institution

Uddannelse

Fag og niveau

414 Københavns VUC

HF-e

Matematik B

Selvstuderende

Eksaminator

Simon Sonnichsen

Oversigt over temaer

Titel 1

Titel 2

Titel 3

Titel 4

Titel 5

Titel 6

Bogstavregning og ligninger

Trigonometri

Funktioner

Differentialregning

Integralregning

Statistik

Grundbøger:

Carstensen , Frandsen , Studsgaard : MAT B , Systime, 1. udgave 2011, 3.oplag

Fristrup, Nørgaard, Rasmussen.: MAT C, Systime, 2. udg. 2010, 1. oplag

Desuden diverse noter, som nævnt i det følgende.

2


Titel 1

Indhold

Bogstavregning og ligninger

Kernestof:

Carstensen mfl.: MatB HF, Systime , 1.udg. 2007 s16-17+32-44+46-53+56-

57+65-67+95-98+192-194+208-213

Fristrup mfl.: MatC, Systime, 2. udg. 2010, s10-14+165-169+170-174+205-

207

Note om løsning af to ligninger med to ubekendte.

Supplerende stof: Det gyldne snit og Fibonacci-tallene (historisk perspektiv)

Note01: Det Gyldne Snit og Fibonacci-tallene

Særlige fokuspunkter


regning med bogstaver og tal, kvadratsætningerne

Titel 2

Indhold

Særlige fokuspunkter

Trigonometri

Kernestof

Mat B: side 74-86

Note 2: Sinus og cosinus til stumpe vinkler

Supplerende stof:

Beviserne i ovennævnte tekst

Rapport 1 om Geometri

Arealformlen, Sinus – og cosinusrelationerne , anvendelser og beviser

Analyse af geometriske figurer

TI nSpire: basal brug og arbejde med uafrundede resultater

Titel 3

Indhold

Særlige fokuspunkter

Funktioner og vækst

Kernestof

Mat B : side 32 -71, 94-119, 172-188

Supplerende stof

Beviserne i ovennævnte tekst

Note 3: Kapitalfremskrivningsformelen

Note 4: Eksponentiel vækst, formler for a og b.

Note 5: Potensvækst, formler for a og b

Note 6: Potensvækst, vækstform

Note 7: Vækstmodeller – oversigt

Rapport 2 om Vækstmodeller

Funktionsbegrebet

Andengradspolynomiet

Lineær –,eksponentiel –, potens – og logaritmefunktion

Vækstmodeller

Oversættelse mellem matematisk og almindeligt sprog

TI-nSpire: grafer og regression

3


Titel 4

Indhold

Særlige fokuspunkter

Differentilaregning

Kernestof

Mat B: side 128- 170, 194-203

Supplerende stof

Beviserne i ovenstående tekst

Note 6: Betydningen af konstanterne a,b,c og d for en parabel

Note 7: Monotoniforhold

Rapport 3 om Differentialregning

Differentialkvotient og tangent

Simple differentiable funktioner, tretrinsreglen

Regneregler for differentialkvotienter

Matematiske beviser

Skriftlig formidling om matematiske begreber

TI-nSpire: Differentialkvotient og tangent

Titel 5

Indhold

Særlige fokuspunkter

Integralregning

Kernestof

Mat B: side 216-239

Supplerende stof

Beviserne i ovennævnte tekst

Stamfunktion, det ubestemte integral

Areal og bestemt integral

TI-nSpire: integral

Titel 6 Statistik ( indgår KUN i den mundtlige eksamen )

Indhold

Særlige fokuspunkter

Kernestof

Supplerende stof:

Mat B: side 246-258, 292-297, 299-313

Note 8: Grupperede observationer

Note 9: Lidt mere om normalfordelingen

Note 10: Om stikprøver

Rapport 4 om Binomialfordelingen

Grupperede observationer , deskriptorer og illustrationer

Normalfordelingen

Binomialfordelingen

TI-nSpire: binomialfordeling og normalfordeling

4


RAPPORT 1

OM GEOMETRI

Indledning:

Vi har arbejdet med retvinklede og vilkårlige trekanter og hvordan ukendte stykker i disse findes ud

fra kendte. I dette projekt er det jeres opgave netop at finde ukendte store afstande ud fra opmåling

af mindre afstande.

Bemærk at formålet med opgaven delvist er at I forklarer hvad I gør og hvorfor. Dvs I skal blandt

andet forklare hvilke formler i benytter og I skal tydeliggøre hvordan I benytter disse. Ikke mindst

skal I konkludere konkret. En ikke tilfredsstillende besvarelse skal genafleveres.

Vi går i Kongens have og laver målinger til 2 delopgaver i projektet:

Opgave1a: Udregning af højden på et træ eller en bygning.

(Teori: Ligedannede trekanter, Retvinklede trekanter)

Ud fra en mindre trekant beregnes højden af en større trekant.

1. Vælg et punkt på græsset

hvorfra det er muligt at se

træets/husets top tydeligt.

2. Ud fra punktet måles afstanden

til træet/huset.

3. Fra punktet trækkes en snor

sådan at det peger fra punktet

mod træets top.

4. Stil et a4-papir på højkant

pegende mod træet og med

vandret underkant. Sørg for

at papiret har et hjørne i

punktet.

5. Marker hvor på papiret snoren

skærer papirets kant.

6. Ud fra den retvinklede trekant der nu er markeret på papiret og længden til træet beregnes nu

træets højde.

Opgave1b: Udregning af afstand til fjernt objekt.

(Teori: sinus- og cos-relationerne)

Ud fra opmåling af afstand mellem 4 punkter i en firkant, hvor siderne peger på det fjerne objekt,

beregnes afstanden til dette.

5


1. Opstilling af studerende (ABCD)

i firkant med sidelængder på ca

15-20m (måles med snor eller

målebånd). (Se eksempelillustration

neden for).

2. Sørg for at de to sider i trekanten

peger på præcist det samme fjerne

punkt, eks en statue eller lignende.

3. Mål de 5 afstande mellem punkterne

ABCD som vist, dvs AB,

AC, BC, BD samt CD.

4. Beregn ud fra disse længder den

ukendte længde BF.

(-Bemærk at længderne på illustrationen blot er tilfældige eksempler)

RAPPORT 2 .

OM VÆKSTMODELLER.

Indledning.

Vi har beskæftiget os med tre generelle vækstmodeller:

Lineær vækst: f(x) = ax+b

Eksponentiel vækst: f(x) = b∙a x

Potensvækst: f(x) = b∙x a

I får her 3 datasæt, dvs. tabeller med punkter. For hver af disse 3 datasæt skal I afgøre hvilken af de

tre vækstmodeller, der passer bedst til data vha. regression.

Dette kan gøres ved først at indtaste data i lommeregnerens Stats/List Editor og dernæst lave de tre

typer regression. Skriv hver gang værdien for r 2 op. Den bedste model vil så være den med r 2 -

værdien tættest på 1.

Man kan også bruge Excel. Eller et andet cas-værktøj.

Opgaver

For hver af de tre datasæt skal den valgte vækstmodel og tilhørende regneforskrift med de specifikke

a- og b-værdier angives.

Hvis modellen viser sig at være lineær, skal I forklare betydningen af a samt finde ud af hvad

der sker med y-værdierne, hvis x vokser med 3.

Hvis modellen viser sig at være eksponentiel, skal I forklare betydningen af a samt finde ud af

hvad der sker med y-værdierne, hvis x vokser med 5. Angiv desuden fordoblings- eller halveringskonstanten.

Hvis modellen viser sig at være en potensmodel, skal I finde ud af hvad der sker med y-

værdierne, hvis x-værdien vokser med 40%

6


Der vil desuden være specifikke spørgsmål i forbindelse med hvert datasæt.

Datasæt 1

Nedenstående tabel viser sammenhængen mellem diameteren (mm) og den elektriske modstand

(ohm) for manganintråde af samme længde. Modstanden er en funktion af diameteren.

Trådens diameter (mm) 0,32 0,38 0,46 0,56 0,71 0,91 1,22

Trådens modstand (ohm) 5,30 3,75 2,53 1,69 1,05 0,63 0,36

1. Find den model, der passer bedst – og angiv regneforskriften. Husk at notere de tre værdier for r 2 .

2. Bestem modstanden, når diameteren er 0,80mm

3. Bestem diameteren når modstanden er 1,50 ohm.

Datasæt 2

Politiken havde 16. september 2004 en artikel om antallet af elever på efterskoler i perioden 1970-

2004. Herfra nedenstående tal

År 1970 1980 1990 2000 2004

Antal elever 6178 10406 16921 21500 24100

1.

Bestem en regneforskrift for den model, der bedst angiver antallet af elever på efterskolerne som

funktion af antal år efter 1970. Og husk at begrunde valget ved at angive de tre fundne r 2 -værdier.

NB: I den første liste skal indtastes x-værdierne, dvs. antal år efter 1970. Altså: 0, 10, 20, 30, 34.

Der opstår så et problem, når I skal lave potensregressionen PowerReg. For her tillades kun positive

tal. Dvs. den første x-værdi på 0 duer ikke. Nu vil det være lidt voldsomt bare at fjerne første datasæt,

så prøv at finde på en anden løsning!

2.

Bestem antallet af elever på efterskolerne i år 2009 ifølge denne model. Sammenlign gerne med

fakta!

3.

I hvilket år oversteg antallet af elever på efterskolerne 20000 ifølge modellen?

7


Datasæt3

Tabellen viser antallet af indbyggere i New York i perioden 1790-1900

År 1790 1800 1820 1840 1860 1880 1900

Indbyggertal i tusinder 33 60 124 312 813 1912 3437

1.

Bestem hvilken en af modellerne der bedst angiver indbyggertallet i tusinder som funktion af antal

år efter 1790. Og angiv regneforskriften.

NB: Her opstår samme problem som med efterskolerne, når I skal lave potensregressionen.

2.

Hvor mange indbyggere ville der have været i New York i 2009 , hvis udviklingen havde fulgt

modellen? Sammenlign gerne med fakta!

3.

Hvilket år oversteg indbyggertallet i New York 2 millioner ?

Har I husket at svare på de ekstra spørgsmål der hører til den fundne model – fra side 1!?

8


Rapport 3

OM DIFFERENTIALREGNING

1.

Definition af differentialkvotient

Forklar hvad det vil sige at en funktion er differentiabel i et punkt x 0 med differentialkvotienten

f ( x 0

) . Forklaringen skal indeholde en grafskitse med sekanter og tangent. Tegn den meget gerne

i hånden. Det er en ”sund” øvelse.

Giv også et (grafisk) eksempel på en funktion der ikke er differentiabel i et punkt.

Og forklar hvorfor den ikke er differentiabel.

2.

Tretrinsreglen.

Gør rede for tretrinsreglen og vis et eksempel på brug af tretrinsreglen. I kan f.eks. vælge at finde

2

1

differentialkvotienten for f ( x)

x eller f ( x)

x eller f ( x)

.

x

3.

Monotoniforhold.

Forklar hvordan man kan finde monotoniforholdene for en funktion f (x)

ved hjælp af dens afledede

funktion f (x)

.

Find desuden monotoniforholdene og de lokale ekstrema for funktionerne

3 2

3 2

3 2

f ( x)

x 6x

9x

2 og g ( x)

x 6x

12x

5 og h ( x)

0,5x

3x

8x

4

Illustrér grafisk.

Hvor mange vandrette tangenter kan et tredjegradspolynomium have?

9


Rapport 4

OM BINOMIALFORDELINGEN

Giv en fremstilling af binomialfordelingen. Herunder skal indgå:

1.

En redegørelse for begreberne:

Basisforsøg, binomialforsøg, uafhængighed, antalsparameter, sandsynlighedsparameter og betydningen

af K(n,r).

2.

En symmetrisk terning kastes 5 gange, antal enere noteres.

a) Argumenter for at det drejer sig om et binomialforsøg. Vær opmærksom på at bruge de faglige

betegnelser fra spørgsmål 1.

b) Forklar hvordan man bestemmer sandsynligheden for at slå netop 2 enere, dvs. argumenter for

hvordan formlen P(X=2)=K(5,2)·(1/6) 2·(5/6) 3 fremkommer.

c) Tag udgangspunkt i punkt b) og argumenter for den generelle formel til bestemmelse af binomiale

sandsynligheder:

P(x=r)=K(n,r)·p r ·(1-p) n-r

3.

Find eller konstruer en opgave, der handler om noget og som omhandler en binomialfordeling.

I opgaven skal indgå bestemmelse af både enkelte og kumulerede sandsynligheder.

Løs opgaven

10


Informationer & gode råd om mundtlig eksamen matematik B

Den mundtlig eksamen består af

• 30 minutters forberedelsestid med alle hjælpemidler (dog ikke mobiltelefon og anden mulig

kommunikation med omverdenen)

(ekskl. trækning af spørgsmål m.m. har du reelt ca. 25 min)

• 30 minutters eksamination

(ekskl. karaktergivning m.m. er det reelt ca. 22 min)

Eksamensspørgsmål

• kendes på forhånd og de ligger på Fronter

• forventes forberedt hjemmefra, herunder også noter

• detaljerne ordnes i forberedelsestiden

Eksempel på et eksamensspørgsmål:

9

Differentialregning

Gør rede for begrebet differentialkvotient og for tretrins-reglen

2

Udled differentialkvotienten for funktionen f ( x)

ax bx c .

Forklar hvordan toppunktet for en parabel kan bestemmes ved hjælp af differentialregning.

Mundtlig eksamen - forløb

• ca. 14-16 minutter til første del, som er en selvstændig fremlæggelse af det udtrukne spørgsmål.

I eksemplet:

Gør rede for begrebet differentialkvotient og for tretrins-reglen

2

Udled differentialkvotienten for funktionen f ( x)

ax bx c .

Forklar hvordan toppunktet for en parabel kan bestemmes ved hjælp af differentialregning.

• ca. 6-8 minutter til anden del, som er en perspektiverende samtale jf. titlen: I eksemplet Differentialkvotient.

Anden del er en samtale mellem eksaminand og eksaminator med udgangspunkt i den overordnede

titel på spørgsmålet.

Samtalen kan tage udgangspunkt i nogle elementer fra første del og giver mulighed for at vise

kendskab til anvendelser af teorien. Man kan også komme ind på andre områder under titlen. I

samtaledelen kan man ikke afkræves bevistunge eller meget detaljerede redegørelser. Formålet

med samtalen er at vise overblik over det faglige område.

• Det er første del du skal forberede dig på, men overvej evt. selv brugen af alle 22 minutter.

11


Mundtlig eksamen - noter

• Lav noter til alle spørgsmål hjemme og så kortfattede som muligt

• Oplæsning tæller ikke positivt, så læg noterne på bordet ved tavlen – og brug dem sparsomt under

eksaminationen.

HUSK

22 minutter er ret lang tid....

Kom godt i gang:

F.eks.:

13.

Integralregning.

Gør rede for begrebet stamfunktion.

Fortæl dernæst om arealfunktionen og gør rede for sammenhængen mellem areal og stamfunktion.

Gør rede for begrebet stamfunktion betyder ikke kun: F

( x)

f ( x)

Der er jo meget mere at sige...

Fortæl dernæst om arealfunktionen...

Sig ikke straks: Arealfunktionen er en stamfunktion til f(x). Præsentér tingene. Først : fortæl hvad A(x)

er for en funktion. Ved hjælp af en figur...

( på den måde er 22-24 minutter lang tid... – der er tid nok til det )

Det er en god ide at lave mundtlig prøveeksamen hjemme, hvor man taler højt med sig selv. Tag tid på

din fremlæggelse.

12


Eksamensspørgsmål til mundtlig eksamen 2012 Matematik B hf-e. ( Selvstuderende )

1.

Trigonometri

Definér sinus og cosinus til en vinkel ved hjælp af enhedscirklen.

Bevis sinusrelationerne.

2.

Trigonometri

Definér sinus og cosinus til en vinkel ved hjælp af enhedscirklen.

Bevis cosinusrelationerne.

3.

Andengradspolynomiet

Gør rede for andengradspolynomiets graf.

Herunder bestemmelse af toppunktets koordinater.

4.

Andengradpolynomiet

Forklar hvordan man bestemmer rødder i et andengradpolynomium.

Bevis sætningen om faktoropløsning af et andengradspolynomium.

5.

Ligninger

Gør rede for løsning af en andengradsligning.

Forklar hvordan man bestemmer eventuel skæring mellem parabel og linje.

6.

Eksponentiel udvikling

Definér eksponentiel udvikling og forklar, hvad der kendetegner vækstformen.

Gør rede for bestemmelse af fordobling- og halveringskonstant.

7.

Eksponential- og logaritmefunktioner

x

Gør kort rede for eksponentialfunktionerne f ( x)

a .

Gør dernæst rede for titals-logaritmefunktionen og dens egenskaber, herunder logaritmeregnereglerne.

8.

Vækstmodeller

Gør rede for vækstform og regneforskrift for lineær-, eksponentiel- og potensvækst.

Inddrag beviser efter eget valg.

Forklar hvordan man kan undersøge om en given udvikling kan beskrives ved en af vækstmodellerne

og giv eksempler.

Inddrag gerne rapporten om Vækstmodeller.

13


9.

Differentialregning

Gør rede for begrebet differentialkvotient og for tretrins-reglen

2

Udled differentialkvotienten for funktionen f ( x)

ax bx c .

Forklar hvordan toppunktet for en parabel kan bestemmes ved hjælp af differentialregning.

10.

Differentialregning

Gør rede for begrebet differentialkvotient og for tretrins-reglen.

Udled differentialkvotienten for funktionen f ( x)

x .

11.

Differentialregning

Forklar hvad en differentialkvotient er.

Gør rede for regneregler for differentialkvotienter og gør derefter rede for differentiation af funktionen

f(x)=x n , hvor n er et helt tal.

12.

Differentialregning

Forklar hvad en differentialkvotient er.

Forklar dernæst hvordan man kan bestemme monotoniforhold for en differentiabel funktion ved hjælp

af den afledede funktion.

Giv et eksempel på bestemmelse af monotoniforhold for et tredjegradspolynomium.

Inddrag gerne rapporten om Differentialregning.

13.

Integralregning.

Gør rede for begrebet stamfunktion.

Fortæl om arealfunktionen og gør rede for sammenhængen mellem areal og stamfunktion.

14.

Integralregning

Gør rede for begrebet stamfunktion.

Gør dernæst rede for det bestemte integral, herunder regneregler og anvendelse.

15.

Statistik

Gør rede for begreber og grafiske illustrationer der bruges til beskrivelse af et grupperet observationssæt.

Tag udgangspunkt i et konkret eksempel.

Forklar dernæst hvad der kendetegner et normalfordelt observationssæt. Giv et eksempel.

14


16.

Statistik

Forklar hvad der kendetegner binomialforsøg.

Gør rede for formlen til bestemmelse af binomiale sandsynligheder.

Tag gerne udgangspunkt i et konkret eksempel.

Inddrag gerne rapporten om Binomialfordelingen.

Hvad menes med formuleringen ”Gør rede for”?

Her forventes som hovedregel, at du har beviser med i din fremlæggelse.

I bedømmelsen af din præstation indgår nemlig, om du selvstændigt kan redegøre for matematiske

ræsonnementer og beviser.

Bemærk at her adskiller kravene sig væsentligt fra kravene til mundtlig eksamen i matematik C.

I spørgsmål 15 og 16 indgår ikke egentlige beviser, så her er det selvfølgelig ikke et krav.

Bemærk i øvrigt:

I spørgsmål, hvor der skal medtages eksempler, som illustrerer teorien, eller hvor du selv vælger at

inddrage et eksempel (f.eks. i statistik) er det vigtigt, at du har forberedt det på forhånd. Eksaminationstiden

skal jo ikke gå med at foretage beregninger, men med at forklare begreberne.

15

More magazines by this user
Similar magazines