Kære selvstuderende i matematik A - KVUC
Kære selvstuderende i matematik A - KVUC
Kære selvstuderende i matematik A - KVUC
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Kære <strong>selvstuderende</strong> i <strong>matematik</strong> A<br />
Herunder ser du et forslag til materiale, der kan udgøre dit eksaminationsgrundlag.<br />
Jeg hedder Birgitte Carstens og kan kontaktes på mail:bc@kvuc.dk eller tlf 49149281<br />
Eksaminationsgrundlaget for <strong>matematik</strong> B indgår også i eksaminationsgrundlaget for <strong>selvstuderende</strong> i<br />
<strong>matematik</strong> A.<br />
Der vil altså til den skriftlige og mundtlige eksamen forekomme spørgsmål i både B- og A-niveauet.<br />
Foruden de sider i B niveaubogen jeg har med i A eksaminationsgrundlaget kan det derfor være nyttigt<br />
for dig at repetere hele B niveauet, enten efter en bog du tidligere har brugt, eller den jeg har med i materialet.<br />
Eksamensspørgsmålene til den mundtlige eksamen ses nedenfor. I nogle af spørgsmålene henvises til<br />
projekter,som jeg anbefaler at du gennemregner. Dog står der ”evt” i spørgsmålene, så du behøver ikke<br />
indrage projektet. Projektoplæggene kan du se tilsidst i materialet.<br />
Tidligere eksamenssæt til den skriftlige eksamen kan findes på undervisningsministeriets hjemmeside:<br />
http://www.uvm.dk/Uddannelse/Gymnasiale%20uddannelser/Proever%20og%20eksamen/Centralt<br />
%20stillede%20skriftlige%20opgavesaet%20stx%20og%20hf.aspx<br />
På undervisningsministeriets hjemmeside kan du ligeledes finde lærerplanen:<br />
http://www.uvm.dk/Uddannelse/Gymnasiale%20uddannelser/Fagenes%20sider/Fag%20L-<br />
R/Matematik%20-%20stx.aspx<br />
Du skal bruge et cas-værktøj ligesom på B niveauet. Det kan f.eks være lommeregner TI inspire eller<br />
TI-89 . Evt kan du bruge en ti-89 emulator. Altså et lille (gratis) program til pc,der ”efterligner” den<br />
fysiske lommeregner.Bemærk at emulatoren mangler visse funktionaliteter, fx regression. Du kan finde<br />
emulatoren på nettet fx på adressen:<br />
http://sourceforge.net/projects/gtktiemu/<br />
Vejledning og eksempelsamling til TI inspire og TI-89 kan findes på adressen<br />
http://education.ti.com/educationportal/sites/DANMARK/nonProductMulti/laerere_undervisning.h<br />
tml?bid=2<br />
Du kan selvfølgelig også bruge pc med andre <strong>matematik</strong>programmer.<br />
Hvis du vil medbringe pc til eksamen, så husk at ansøge skolen om det<br />
Bemærk tidsfristerne (1/3 2010 for sommereksamen)<br />
God læselyst<br />
Birgitte Carstens
Eksaminationsgrundlag for <strong>selvstuderende</strong><br />
Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag.<br />
Er der foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Vigtigt! Hvis der<br />
er foretaget ændringer, skal den faglige vejleder godkende disse med påtegning på sidste side.<br />
Dato:<br />
Underskrift:<br />
* Husk at skrive dit fulde navn i skemaet herunder!<br />
Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser<br />
Termin maj-juni 2010 eller december-januar 2010/11<br />
Institution<br />
Uddannelse<br />
Fag og niveau<br />
Selvstuderende<br />
<strong>KVUC</strong><br />
stx<br />
Matematik A<br />
Navn og evt. anden identifikation<br />
Eksaminator<br />
Navn Birgitte Carstens<br />
Oversigt over temaer<br />
Titel 1 Repetition fra B niveau<br />
Titel 2<br />
Differentialregning<br />
Titel 3 Integralregning<br />
Titel 4 Differentialligninger og modellering<br />
Titel 5 Vektorer og analytisk geometri i planen<br />
Titel 6 Vektorer og analytisk geometri i rummet<br />
Titel 7<br />
Titel 8<br />
Trigonometriske funktioner<br />
Parameterkurver
Beskrivelse af de enkelte temaer<br />
Titel 1<br />
Indhold<br />
Repetition fra B niveau<br />
Anvendt litteratur:<br />
Carstensen,Frandsen, Studsgård: hf MAT B (systime) 38-68, 75-92, 95-117,173-<br />
182 , 247-263, 293-297, 299-315<br />
Særlige fokuspunkter<br />
Vækstmodeller<br />
Andengradspolynomiet<br />
Trigonometri<br />
Statestik og sandsynlighed<br />
Titel 2<br />
Indhold<br />
Differentialregning<br />
Kernestof:<br />
Emner: Differentiabilitet, tretrinsreglen, regneregler herunder produktreglen og<br />
sammensat funktion<br />
Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård:<br />
hf MAT B 129-147,151-169,195-198 Mat B-A si 101-111<br />
Supplerende stof:<br />
Emner: Differentiation af brøk, nye beviser for regler fra B<br />
Undervisningsmaterialer: projekt om differentialregning<br />
Særlige fokuspunkter<br />
Uddybe forståelsen for differentialregningen<br />
Gennemføre matematiske beviser<br />
Cas TI 89<br />
Titel 3<br />
Indhold<br />
Særlige fokuspunkter<br />
Integralregning<br />
Kernestof:<br />
Emner: Repetition af stamfunktion og bestemte integraler<br />
Arealberegninger herunder bevis for arealsætningen, Integration ved substitution,<br />
Integral som grænseværdi af summer brugt til bestemmelse af rumfang af omdrejningslegeme.<br />
Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård: hf MAT B (systime)<br />
217-221,225-239 Mat B-A 111-130, 301-320<br />
Regneregler for integration<br />
Matematisk bevis (arealsætningen)contra løsere overvejelser (rumfang som grænseværdi<br />
af summer)
Titel 4<br />
Indhold<br />
Særlige fokuspunkter<br />
Differentialligninger og modellering<br />
Kernestof:<br />
Emner: opstilling af differentialligninger,løsning af lineære differentialligninger<br />
og af den logistiske differentialligning<br />
Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård: hf MAT B til A<br />
132-152<br />
Supplerende stof<br />
Emner højere ordens differentialligninger , differentiallignings modeller (bl.a<br />
logistisk vækst med fiskeri)<br />
Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård: hf MAT B til A<br />
214-218,225-227 projektoplæg<br />
Opstilling af differentialligninger<br />
Løsning af differentialligninger<br />
Eksempler på opstilling af differentialligningsmodeller<br />
Anvende cas værktøj til løsning af differentialligninger<br />
Titel 5<br />
Indhold<br />
Særlige fokuspunkter<br />
Vektorer og analytisk geometri i planen<br />
Kernestof:<br />
Emner: Definitioner, koordinater,skalarprodukt, projektion, tværvektor, ligning<br />
for ret linje, afstandsformler, skæring, cirklens ligning<br />
Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård: MAT B-A<br />
Si 7-77<br />
Håndtere geometriske problemer analytisk<br />
Titel 6<br />
Indhold<br />
Særlige<br />
fokuspunkter<br />
Vektorer og analytisk geometri i rummet<br />
Emner: Definitioner, koordinater,skalarprodukt,projektion,vektorprodukt, parame-<br />
af ret linje, ligning plan ,afstandsformler,skæring, vinkler , kuglen<br />
terfremstilling<br />
Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård: MAT B –A<br />
Kernestof: 154-207<br />
supplerende stof: 237-239,287-292,<br />
Anvende vektorer og analytisk geometri i rummet
Titel 7<br />
Indhold<br />
Særlige fokuspunkter<br />
Trigonometriske funktioner<br />
Kernestof<br />
Emner: Radiantal,Trigonometriske funktioner og differentiation af disse ,<br />
harmonisk svingning<br />
Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård: MAT B-A 81-99<br />
supplerende stof: bevis for differentiation af sin(x),cos(x) tan(x) si 87-90<br />
Sammenhæng mellem regneforskrift og grafens form<br />
Titel 8<br />
Indhold<br />
Parameterkurver<br />
supplerende stof:<br />
Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård: MAT B-A<br />
Si 234 -259<br />
Særlige fokuspunkter<br />
Beskrive bevægelse, hastighed og acceleration for en partikel
Eksamensspørgsmål i mat A<br />
for <strong>selvstuderende</strong> med standard pensum 2010<br />
I kan komme ind på hvad som helst, der hører under overskriften, men I skal ihvertfald nå at gennemgå<br />
det, I er bedt om specielt at gøre rede for. Det forventes at I beviser de sætninger, der indgår som<br />
bevises i bogen.<br />
Eksaminationstiden er 30 min.Der gives 30 min forberedelsestid.<br />
Prøven er todelt. Første del består af eksaminandens præsentation af sit svar på det udtrukne spørgsmål<br />
suppleret med uddybende spørgsmål fra eksaminator. Anden del former sig som en samtale mellem<br />
eksaminand og eksaminator med udgangspunkt I det overordnede spørgsmål (dvs. overskriften)<br />
Under spørgsmålet står nogle sidetal, disse er kun vejledende (idet man jo under samtalen kan komme<br />
ind på alt hørende til overskriften) og vil ikke stå på det eksamensspørgsmål I trækker til eksamen.<br />
1 Vækstmodeller<br />
Du skal specielt gøre rede for lineær og eksponentiel vækst men også omtale andre vækstformer.<br />
[ B 38-41, 62-64,95-99,110-117,173-182, A 137-139]<br />
2 Vækstmodeller<br />
Du skal specielt gøre rede for potensvækst men også omtale andre vækstformer.<br />
[ B 38-41, 62-64,95-99,110-117,173-182]<br />
3 Differentialregning<br />
Du skal specielt gøre rede for, hvad det vil sige at en funktion er differentiabel samt regneregler for differentiable<br />
funktioner.<br />
Du kan evt. tage udgangspunkt i dit projekt om differentialregning.<br />
[B 129-140,151-156,195-198, A101-111 + projekt]<br />
4 Differentialregning<br />
Du skal specielt gøre rede for, hvad det vil sige at en funktion er differentiabel samt monotoniforhold for<br />
differentiable funktioner.<br />
Du kan evt. tage udgangspunkt i dit projekt om differentialregning.<br />
[B129-140, 195-198 + projekt]<br />
5 Integralregning<br />
Du skal specielt gøre rede for det ubestemteog det bestemte integral af en funktion f<br />
[B217-239, A111-117,A301-320]<br />
6 Integralregning<br />
Du skal specielt gøre rede for arealfunktionen og arealbestemmelse vha. integraler<br />
[B226-239, A301-320, A118-122]
7 Integralregning<br />
Du skal specielt gøre rede for integralet som grænseværdi for summer, herunder rumfang af omdrejningslegeme.<br />
[A121-128]<br />
8 Differentialligninger<br />
Du skal specielt gøre rede for differentialligninger af typen y’=ky og y’+ay=b<br />
[A133-142 + projekt]<br />
9 Differentialligninger<br />
Du skal specielt gøre rede for differentialligninger af typen y’+ay=h(x) og y’+g(x)y=h(x)<br />
[A142-147 + projekt]<br />
10 Differentialligninger<br />
Du skal specielt gøre rede for den logistiske differentialligning.<br />
Du kan evt. tage udgangspunkt i dit projekt om differentialligninger<br />
[A147-151 + projekt]<br />
11 Differentialligninger<br />
Du skal specielt gøre rede for en differentialligningsmodel efter eget valg.<br />
Du kan evt. tage udgangspunkt i dit projekt om differentialligninger<br />
[A214-218,225-227 + projekt]<br />
12 Vektorer og analytisk geometri<br />
Du skal specielt gøre rede for vektorbegrebet i 2D, herunder længden af en vektor,<br />
afstandsformlen og sætninger om regning med vektorer.<br />
[A 7-37]<br />
13 Vektorer og analytisk geometri<br />
Du skal specielt gøre rede for skalarproduktet mellem to vektorer i 2D og projektion<br />
af vektor på vektor.<br />
[A 47-48, 61-64]<br />
14 Vektorer og analytisk geometri<br />
Du skal specielt gøre rede for tværvektor og determinant af vektorpar.<br />
[A 26-27, 71-75]<br />
15 Vektorer og analytisk geometri<br />
Du skal specielt gøre rede for ligninger for den rette linje i<br />
2D samt afstand fra punkt til linje i 2D.<br />
[B 38-41, A 12-15, 25-32, 64-66, 237-239]<br />
16 Vektorer og analytisk geometri<br />
Du skal specielt gøre rede for afstandsformlen i 2D og ligning for en cirkel — herunder<br />
også tangent til en cirkel.<br />
[A9-12,41-44,66-70]
17 Vektorer og analytisk geometri<br />
Du skal specielt gøre rede for skalarproduktet mellem to vektorer i 2D og 3D samt vinklen mellem<br />
to (egentlige) vektorer<br />
[A47-56,160-161,164-166,197-200]<br />
18 Vektorer og analytisk geometri<br />
Du skal specielt gøre rede for vektorproduktet (krydsproduktet) mellem to vektorer i 3D samt hvad<br />
vektorproduktet kan anvendes til.<br />
[A183-190]<br />
19 Vektorer og analytisk geometri<br />
Du skal specielt gøre rede for parameterfremstilling for den rette linje i 3D, herunder skæring mellem<br />
to linjer og skæring mellem linje og plan.<br />
[A166-172, 190-193]<br />
20 Vektorer og analytisk geometri<br />
Du skal specielt gøre rede for planens ligning (i 3D) og afstand fra punkt til plan<br />
[A172-176,194-196,287-289]<br />
21 Vektorer og analytisk geometri<br />
Du skal specielt gøre rede for afstandsformlen i 3D samt kuglens ligning og tangentplan til kugle.<br />
[A 163-164,200-205]<br />
22 Trigonometri<br />
Du skal specielt gøre rede for sinus og cosinusrelationerne for en vilkårlig trekant.<br />
[ B 74-86]<br />
23Trigonometri<br />
Du skal specielt gøre rede for de trigonometriske funktioner<br />
f(x)=sin(x) , x∈<br />
R<br />
f(x)=cos(x) , x∈<br />
R<br />
f(x)=a⋅ sin(bx+c)+k<br />
og differentiation af disse.<br />
[A81-99]<br />
24 Parameterkurver<br />
Du skal specielt gøre rede for vektorfunktioners differentiabilitet og tangent<br />
[A235-259]<br />
25 Statistik og sandsynlig<br />
Du skal specielt gøre rede for hvordan man kan beskrive et grupperet observationssæt<br />
[ B bog 293-297,299-315,247-263]
Oplæg til projekt om differentialregning<br />
Formål<br />
• at repetere begrebet differentialregning fra mat B med henblik på mundtlig eksamen<br />
• at træne forståelsen for 3-trinsreglen<br />
• at vise at nogle af beviserne fra mat B kan laves enklere ved at anvende regneregler<br />
fra mat A<br />
• at regne et par opgaver med monotoniforhold<br />
Spørgsmålene<br />
• I skal besvare nedenstående spørgsmål. NB! de spørgsmål der er markeret Ekstra kan<br />
overspringes<br />
1: Begreberne differentialkvotient og tangent<br />
Lav en oversigt (som I kan bruge til den mundtlige eksamen) over hvad det vil sige at en funktion er<br />
differentiabel, herunder eksempler på anvendelse af 3-trinsreglen til bestemmelse af differentialkvotienten<br />
for nogle konkrete funktioner. [B-bogen 141-144]<br />
2: Regneregler for differentiable funktioner<br />
I B-bogen vises side 151 sumreglen (f+g)’(x o )= f’(x o )+g’(x o ) og i A-bogen vises side<br />
104-105 produktreglen ( f ⋅ g)( ′ xo) = f′ ( xo) g( xo) + f( xo) g′<br />
( xo)<br />
I skal på tilsvarende måde lave et bevis<br />
for mindst én af regnereglernefor differentiation af f(x)-g(x) ,kf(x) eller hvis I vil have mere udfordring<br />
så differentiation af f(x)/g(x)<br />
3: Bevis for formlen (x n )’=nx n-1 hvor n er et helt tal<br />
Formlen vises i B-bogen for n>0 og n=0 si158-159 desuden vises den når n=-3 si159<br />
Prøv tilsvarende at vise den for et vilkårligt negativt n ved at bruge brøkreglen<br />
4: Bevis for formlen (e kx )’=ke kx<br />
Formlen er vist i B-bogen side 162 . Et andet (lettere) bevis fås ved i stedet at udnytte at funktionen e kx<br />
er sammensat af funktionerne g(x) =kx og f(x) = e x og dernæst benytte regnereglen for differentialkvotient<br />
at sammensat funktion til at vise formlen.<br />
5: Bevis for formlen (a x )’ = ln(a)a x<br />
• Begrund først hvorfor a = e ln(a) for alle positive tal a.<br />
• Forklar derefter omskrivningen a x = (e ln(a) ) x = e ln(a)x<br />
• Benyt så resultatet i spørgsmål 4 til at vise formlen (a x )’ = ln(a)a x<br />
6: Ekstra: Bevis for formlen (x a )’ = ax a-1 for x>0 og vilkårligt a<br />
Omskriv først x a til formen e g(x)<br />
Brug dernæst reglen om differentiation af en sammensat funktion
7: Ekstra: Bevis for formlen (ln(x))’=1/x<br />
Sæt g(x) = ln(x). I skal ikke bevise at funktionen g er differentiabel (dvs. at man i 3. trin i tretrins-reglen<br />
kan finde en grænseværdi), men hvis man går ud fra at funktionen er differentiabel kan man let bestemme<br />
differentialkvotienten ved at benytte reglen om differentiation af sammensat funktion:<br />
• Gør først rede for at e g(x) = x<br />
• Differentier nu på begge side af lighedstegnet og husk at (lade som om) I ikke ved hvad g’(x) er.<br />
Bemærk: på venstre side benyttes reglen for sammensat funktion.<br />
• I skulle nu kunne slutte at g’(x)= 1/x dvs. at (ln(x))’ = 1/x.<br />
f ( x) f′ ( xgx ) ( ) − f( xg ) ′( x)<br />
8: Ekstra: Bevis regnereglen ( )′ =<br />
2<br />
Kan evt. laves ved<br />
gx ( ) ( gx ( ))<br />
1 1<br />
• først at vise at ( )′ =− ⋅ g′<br />
( x)<br />
2<br />
gx ( ) ( gx ( ))<br />
Hjælp: Udnyt at )(1/g(x) kan fås ved at sammensætte g(x) med funktionen 1/x<br />
f( x) 1<br />
• og derefter benytte at = f( x)<br />
⋅<br />
gx ( ) gx ( )<br />
9: Opgaver der skal regnes<br />
Vejledende eks.opgaver STX A nr. 1.013, 1.014 (trykfejl i opgaven f´(x) skal være negativ i<br />
]8;10[ ikke positiv) , 6.002, 6.004,
Oplæg til projekt i differentialligninger<br />
1. Forklar hvad der forstås ved ”en første ordens differentialligning”<br />
2. f ’(x) ( eller dy ) kaldes den første afledede.<br />
dx 2<br />
d y<br />
Differentieres f ’(x) får vi den anden afledede f ’’(x) ( eller )<br />
2<br />
3<br />
Differentieres f ’’(x) får vi den tredje afledede f ’’’(x) (eller f<br />
dx d y<br />
(3) (x) eller<br />
3<br />
osv<br />
dx<br />
)<br />
opgave 2: Hvis f(x) = x 3 +2x 2 -5x+1 hvad er da f ’(x) , f ’’(x) ,f (3) (x) og f (4) (x) ?<br />
3. Der findes også 2.ordens differentialligninger , 3.ordens differentialligninger osv.<br />
En 2. ordens differentialligning er en ligning, hvor den anden afledede indgår og evt. også den<br />
første afledede.<br />
Tilsvarende er en n-te ordens differentialligning en differentialligning, hvor den højest forekommende<br />
afledede funktion er f (n) (x).<br />
Opgave 3.1: Hvilken orden har følgende differentialligninger ?<br />
f ’’(x) = - 4⋅ f(x) f ’(x) + f ’’’(x) = x 2 f ’’(x) = 12x 2<br />
Opgave 3.2: løs på TI 89 differentialligningerne f ’’(x) = - 4⋅ f(x) og f ’’(x) = 4⋅ f(x)<br />
4. Differentialligningen<br />
b<br />
y’= y⋅ (b-ay) har ifølge sætning 5b si 151 løsningen<br />
f( x)<br />
= a<br />
bx<br />
1 + ce ⋅<br />
−<br />
Besvar enten opgave 4.1 eller 4.2 (4.2 er svær)<br />
Opgave 4.1: Vis ved indsætning at f(x) er en løsning til y’= y⋅ (b-ay)<br />
Opgave 4.2 : Bevis ved at benytte metoden beskrevet på bilaget, næste side<br />
at der ikke findes andre løsninger til differentialligningen y’= y⋅ (b-ay)<br />
end netop funktioner af form som f(x)
Bilag: Oversigt over beviserne for sætn 1 og 2 si 138-140, samt<br />
hvordan Sætning 5b tilsvarende kan vises<br />
Princippet i alle 3 beviser er det samme:<br />
Antag f(x) er løsning til den betragtede differentialligning<br />
Der indføres en snedigt valgt hjælpefunktion h(x)<br />
h´(x) udregnes og omskrives, så man ender med at se, at h(x) er løsning til en allerede kendt differential<br />
ligning.<br />
Vi kender altså forskriften for h(x) og kan finde f(x) udfra denne.<br />
Differential<br />
ligning<br />
Sætning 1<br />
Hjælpefunktion<br />
h(x)<br />
dy<br />
k y<br />
dx = ⋅ hx ( ) = f( x)<br />
⋅ e −kx<br />
h(x) er løsning<br />
af diff.ligning<br />
Forskrift h(x)<br />
Forskrift f(x)<br />
dy<br />
0<br />
dx = hx ( ) = c<br />
f ( x)<br />
= ce<br />
kx<br />
Sætning 2<br />
dy<br />
dx + a ⋅ y = b<br />
( ) ( ) b<br />
hx = f x−<br />
a<br />
Sætning 5b<br />
dy<br />
yb ( ay)<br />
dx = − 1<br />
hx ( ) =<br />
f ( x)<br />
dy<br />
a y<br />
dx = − ⋅<br />
(sætn 1, k=-a)<br />
dy<br />
b y a<br />
dx + ⋅ =<br />
(sætn 2 med<br />
a 2 =b og b 2 =a )<br />
hx ( ) = ce −ax f ( x)<br />
b2<br />
hx ( ) = + ce<br />
dvs<br />
a2<br />
a −<br />
hx ( ) = + ce<br />
2<br />
b<br />
−ax<br />
2<br />
2<br />
bx<br />
b<br />
= + ce<br />
a<br />
b<br />
f( x)<br />
=<br />
a<br />
1 + ce −<br />
−ax<br />
bx<br />
Beviset for sætning 5b er ikke gennemgået i bogen, men I kan vælge at medtage det i jeres projekt om<br />
differentialligninger.
5 Differentialligningsmodel<br />
Forestil dig at en fiskeart i en bestemt sø har en population P(t) ,som kan modelleres<br />
med en logistisk model med bærekapacitet (dvs maksimumsværdi) M= b/a og<br />
vækstraten b ,hvor tiden måles i år .<br />
P(t) er altså løsning til differentialligningen<br />
dy<br />
y( b ay)<br />
dt = −<br />
opgave 5.1 Tilpas modellen , dvs opstil nogle nye differentialligninger , der beskriver<br />
situationen, hvis der fanges fisk i søen og antallet hvert år er (Du skal ikke<br />
løse ligningerne)<br />
a) 100 fisk fanges hvert år.<br />
b) 25% af populationen fanges hvert år.<br />
c) en tredjedel af populationen fanges hvert år.<br />
d) Antallet af fisk der fanges hvert år er proportionalt med kvadratroden af<br />
antallet af fisk i søen<br />
opgave 5.2 Samme fiskebestand som i opg 5.1 med bærekapacitet M=2500 , og<br />
vækstraten b= 0,3 dermed a =b/M = 0.00012<br />
1) opskriv differentialligningen P opfylder uden fiskeri<br />
Antag P(0)=2500 og dermed P’(0) = 0 altså der er ligevægt i søen før<br />
fiskeriet starter, antallet af fisk er konstant på det bæredygtige antal.<br />
2) Starter man fiskeri vil antallet af fisk P selvfølgelig falde, spørgsmålet er om det vil stabilisere<br />
sig på en ny lavere værdi eller fiskebestanden helt uddør.<br />
Undersøg om det er muligt at ramme en ny ligevægts situation<br />
Dvs. en værdi af P som gør P‘ = 0 i nedenstående tilfælde:<br />
a) 100 fisk fanges hvert år.<br />
b) 25% af populationen fanges hvert år.<br />
c) en tredjedel af populationen fanges hvert år.<br />
3) Hvor stor en fiskeribelastning kan populationen tåle uden at bryde sammen ?<br />
6 Regn de vejledende eksamensopgaver<br />
8.010 , 8.009 , 8.018, 8.019, 8.020, 8.022