25.04.2014 Views

Kære selvstuderende i matematik A - KVUC

Kære selvstuderende i matematik A - KVUC

Kære selvstuderende i matematik A - KVUC

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

Kære <strong>selvstuderende</strong> i <strong>matematik</strong> A<br />

Herunder ser du et forslag til materiale, der kan udgøre dit eksaminationsgrundlag.<br />

Jeg hedder Birgitte Carstens og kan kontaktes på mail:bc@kvuc.dk eller tlf 49149281<br />

Eksaminationsgrundlaget for <strong>matematik</strong> B indgår også i eksaminationsgrundlaget for <strong>selvstuderende</strong> i<br />

<strong>matematik</strong> A.<br />

Der vil altså til den skriftlige og mundtlige eksamen forekomme spørgsmål i både B- og A-niveauet.<br />

Foruden de sider i B niveaubogen jeg har med i A eksaminationsgrundlaget kan det derfor være nyttigt<br />

for dig at repetere hele B niveauet, enten efter en bog du tidligere har brugt, eller den jeg har med i materialet.<br />

Eksamensspørgsmålene til den mundtlige eksamen ses nedenfor. I nogle af spørgsmålene henvises til<br />

projekter,som jeg anbefaler at du gennemregner. Dog står der ”evt” i spørgsmålene, så du behøver ikke<br />

indrage projektet. Projektoplæggene kan du se tilsidst i materialet.<br />

Tidligere eksamenssæt til den skriftlige eksamen kan findes på undervisningsministeriets hjemmeside:<br />

http://www.uvm.dk/Uddannelse/Gymnasiale%20uddannelser/Proever%20og%20eksamen/Centralt<br />

%20stillede%20skriftlige%20opgavesaet%20stx%20og%20hf.aspx<br />

På undervisningsministeriets hjemmeside kan du ligeledes finde lærerplanen:<br />

http://www.uvm.dk/Uddannelse/Gymnasiale%20uddannelser/Fagenes%20sider/Fag%20L-<br />

R/Matematik%20-%20stx.aspx<br />

Du skal bruge et cas-værktøj ligesom på B niveauet. Det kan f.eks være lommeregner TI inspire eller<br />

TI-89 . Evt kan du bruge en ti-89 emulator. Altså et lille (gratis) program til pc,der ”efterligner” den<br />

fysiske lommeregner.Bemærk at emulatoren mangler visse funktionaliteter, fx regression. Du kan finde<br />

emulatoren på nettet fx på adressen:<br />

http://sourceforge.net/projects/gtktiemu/<br />

Vejledning og eksempelsamling til TI inspire og TI-89 kan findes på adressen<br />

http://education.ti.com/educationportal/sites/DANMARK/nonProductMulti/laerere_undervisning.h<br />

tml?bid=2<br />

Du kan selvfølgelig også bruge pc med andre <strong>matematik</strong>programmer.<br />

Hvis du vil medbringe pc til eksamen, så husk at ansøge skolen om det<br />

Bemærk tidsfristerne (1/3 2010 for sommereksamen)<br />

God læselyst<br />

Birgitte Carstens


Eksaminationsgrundlag for <strong>selvstuderende</strong><br />

Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag.<br />

Er der foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Vigtigt! Hvis der<br />

er foretaget ændringer, skal den faglige vejleder godkende disse med påtegning på sidste side.<br />

Dato:<br />

Underskrift:<br />

* Husk at skrive dit fulde navn i skemaet herunder!<br />

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser<br />

Termin maj-juni 2010 eller december-januar 2010/11<br />

Institution<br />

Uddannelse<br />

Fag og niveau<br />

Selvstuderende<br />

<strong>KVUC</strong><br />

stx<br />

Matematik A<br />

Navn og evt. anden identifikation<br />

Eksaminator<br />

Navn Birgitte Carstens<br />

Oversigt over temaer<br />

Titel 1 Repetition fra B niveau<br />

Titel 2<br />

Differentialregning<br />

Titel 3 Integralregning<br />

Titel 4 Differentialligninger og modellering<br />

Titel 5 Vektorer og analytisk geometri i planen<br />

Titel 6 Vektorer og analytisk geometri i rummet<br />

Titel 7<br />

Titel 8<br />

Trigonometriske funktioner<br />

Parameterkurver


Beskrivelse af de enkelte temaer<br />

Titel 1<br />

Indhold<br />

Repetition fra B niveau<br />

Anvendt litteratur:<br />

Carstensen,Frandsen, Studsgård: hf MAT B (systime) 38-68, 75-92, 95-117,173-<br />

182 , 247-263, 293-297, 299-315<br />

Særlige fokuspunkter<br />

Vækstmodeller<br />

Andengradspolynomiet<br />

Trigonometri<br />

Statestik og sandsynlighed<br />

Titel 2<br />

Indhold<br />

Differentialregning<br />

Kernestof:<br />

Emner: Differentiabilitet, tretrinsreglen, regneregler herunder produktreglen og<br />

sammensat funktion<br />

Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård:<br />

hf MAT B 129-147,151-169,195-198 Mat B-A si 101-111<br />

Supplerende stof:<br />

Emner: Differentiation af brøk, nye beviser for regler fra B<br />

Undervisningsmaterialer: projekt om differentialregning<br />

Særlige fokuspunkter<br />

Uddybe forståelsen for differentialregningen<br />

Gennemføre matematiske beviser<br />

Cas TI 89<br />

Titel 3<br />

Indhold<br />

Særlige fokuspunkter<br />

Integralregning<br />

Kernestof:<br />

Emner: Repetition af stamfunktion og bestemte integraler<br />

Arealberegninger herunder bevis for arealsætningen, Integration ved substitution,<br />

Integral som grænseværdi af summer brugt til bestemmelse af rumfang af omdrejningslegeme.<br />

Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård: hf MAT B (systime)<br />

217-221,225-239 Mat B-A 111-130, 301-320<br />

Regneregler for integration<br />

Matematisk bevis (arealsætningen)contra løsere overvejelser (rumfang som grænseværdi<br />

af summer)


Titel 4<br />

Indhold<br />

Særlige fokuspunkter<br />

Differentialligninger og modellering<br />

Kernestof:<br />

Emner: opstilling af differentialligninger,løsning af lineære differentialligninger<br />

og af den logistiske differentialligning<br />

Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård: hf MAT B til A<br />

132-152<br />

Supplerende stof<br />

Emner højere ordens differentialligninger , differentiallignings modeller (bl.a<br />

logistisk vækst med fiskeri)<br />

Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård: hf MAT B til A<br />

214-218,225-227 projektoplæg<br />

Opstilling af differentialligninger<br />

Løsning af differentialligninger<br />

Eksempler på opstilling af differentialligningsmodeller<br />

Anvende cas værktøj til løsning af differentialligninger<br />

Titel 5<br />

Indhold<br />

Særlige fokuspunkter<br />

Vektorer og analytisk geometri i planen<br />

Kernestof:<br />

Emner: Definitioner, koordinater,skalarprodukt, projektion, tværvektor, ligning<br />

for ret linje, afstandsformler, skæring, cirklens ligning<br />

Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård: MAT B-A<br />

Si 7-77<br />

Håndtere geometriske problemer analytisk<br />

Titel 6<br />

Indhold<br />

Særlige<br />

fokuspunkter<br />

Vektorer og analytisk geometri i rummet<br />

Emner: Definitioner, koordinater,skalarprodukt,projektion,vektorprodukt, parame-<br />

af ret linje, ligning plan ,afstandsformler,skæring, vinkler , kuglen<br />

terfremstilling<br />

Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård: MAT B –A<br />

Kernestof: 154-207<br />

supplerende stof: 237-239,287-292,<br />

Anvende vektorer og analytisk geometri i rummet


Titel 7<br />

Indhold<br />

Særlige fokuspunkter<br />

Trigonometriske funktioner<br />

Kernestof<br />

Emner: Radiantal,Trigonometriske funktioner og differentiation af disse ,<br />

harmonisk svingning<br />

Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård: MAT B-A 81-99<br />

supplerende stof: bevis for differentiation af sin(x),cos(x) tan(x) si 87-90<br />

Sammenhæng mellem regneforskrift og grafens form<br />

Titel 8<br />

Indhold<br />

Parameterkurver<br />

supplerende stof:<br />

Undervisningsmaterialer: Carstensen,Frandsen, Studsgård: MAT B-A<br />

Si 234 -259<br />

Særlige fokuspunkter<br />

Beskrive bevægelse, hastighed og acceleration for en partikel


Eksamensspørgsmål i mat A<br />

for <strong>selvstuderende</strong> med standard pensum 2010<br />

I kan komme ind på hvad som helst, der hører under overskriften, men I skal ihvertfald nå at gennemgå<br />

det, I er bedt om specielt at gøre rede for. Det forventes at I beviser de sætninger, der indgår som<br />

bevises i bogen.<br />

Eksaminationstiden er 30 min.Der gives 30 min forberedelsestid.<br />

Prøven er todelt. Første del består af eksaminandens præsentation af sit svar på det udtrukne spørgsmål<br />

suppleret med uddybende spørgsmål fra eksaminator. Anden del former sig som en samtale mellem<br />

eksaminand og eksaminator med udgangspunkt I det overordnede spørgsmål (dvs. overskriften)<br />

Under spørgsmålet står nogle sidetal, disse er kun vejledende (idet man jo under samtalen kan komme<br />

ind på alt hørende til overskriften) og vil ikke stå på det eksamensspørgsmål I trækker til eksamen.<br />

1 Vækstmodeller<br />

Du skal specielt gøre rede for lineær og eksponentiel vækst men også omtale andre vækstformer.<br />

[ B 38-41, 62-64,95-99,110-117,173-182, A 137-139]<br />

2 Vækstmodeller<br />

Du skal specielt gøre rede for potensvækst men også omtale andre vækstformer.<br />

[ B 38-41, 62-64,95-99,110-117,173-182]<br />

3 Differentialregning<br />

Du skal specielt gøre rede for, hvad det vil sige at en funktion er differentiabel samt regneregler for differentiable<br />

funktioner.<br />

Du kan evt. tage udgangspunkt i dit projekt om differentialregning.<br />

[B 129-140,151-156,195-198, A101-111 + projekt]<br />

4 Differentialregning<br />

Du skal specielt gøre rede for, hvad det vil sige at en funktion er differentiabel samt monotoniforhold for<br />

differentiable funktioner.<br />

Du kan evt. tage udgangspunkt i dit projekt om differentialregning.<br />

[B129-140, 195-198 + projekt]<br />

5 Integralregning<br />

Du skal specielt gøre rede for det ubestemteog det bestemte integral af en funktion f<br />

[B217-239, A111-117,A301-320]<br />

6 Integralregning<br />

Du skal specielt gøre rede for arealfunktionen og arealbestemmelse vha. integraler<br />

[B226-239, A301-320, A118-122]


7 Integralregning<br />

Du skal specielt gøre rede for integralet som grænseværdi for summer, herunder rumfang af omdrejningslegeme.<br />

[A121-128]<br />

8 Differentialligninger<br />

Du skal specielt gøre rede for differentialligninger af typen y’=ky og y’+ay=b<br />

[A133-142 + projekt]<br />

9 Differentialligninger<br />

Du skal specielt gøre rede for differentialligninger af typen y’+ay=h(x) og y’+g(x)y=h(x)<br />

[A142-147 + projekt]<br />

10 Differentialligninger<br />

Du skal specielt gøre rede for den logistiske differentialligning.<br />

Du kan evt. tage udgangspunkt i dit projekt om differentialligninger<br />

[A147-151 + projekt]<br />

11 Differentialligninger<br />

Du skal specielt gøre rede for en differentialligningsmodel efter eget valg.<br />

Du kan evt. tage udgangspunkt i dit projekt om differentialligninger<br />

[A214-218,225-227 + projekt]<br />

12 Vektorer og analytisk geometri<br />

Du skal specielt gøre rede for vektorbegrebet i 2D, herunder længden af en vektor,<br />

afstandsformlen og sætninger om regning med vektorer.<br />

[A 7-37]<br />

13 Vektorer og analytisk geometri<br />

Du skal specielt gøre rede for skalarproduktet mellem to vektorer i 2D og projektion<br />

af vektor på vektor.<br />

[A 47-48, 61-64]<br />

14 Vektorer og analytisk geometri<br />

Du skal specielt gøre rede for tværvektor og determinant af vektorpar.<br />

[A 26-27, 71-75]<br />

15 Vektorer og analytisk geometri<br />

Du skal specielt gøre rede for ligninger for den rette linje i<br />

2D samt afstand fra punkt til linje i 2D.<br />

[B 38-41, A 12-15, 25-32, 64-66, 237-239]<br />

16 Vektorer og analytisk geometri<br />

Du skal specielt gøre rede for afstandsformlen i 2D og ligning for en cirkel — herunder<br />

også tangent til en cirkel.<br />

[A9-12,41-44,66-70]


17 Vektorer og analytisk geometri<br />

Du skal specielt gøre rede for skalarproduktet mellem to vektorer i 2D og 3D samt vinklen mellem<br />

to (egentlige) vektorer<br />

[A47-56,160-161,164-166,197-200]<br />

18 Vektorer og analytisk geometri<br />

Du skal specielt gøre rede for vektorproduktet (krydsproduktet) mellem to vektorer i 3D samt hvad<br />

vektorproduktet kan anvendes til.<br />

[A183-190]<br />

19 Vektorer og analytisk geometri<br />

Du skal specielt gøre rede for parameterfremstilling for den rette linje i 3D, herunder skæring mellem<br />

to linjer og skæring mellem linje og plan.<br />

[A166-172, 190-193]<br />

20 Vektorer og analytisk geometri<br />

Du skal specielt gøre rede for planens ligning (i 3D) og afstand fra punkt til plan<br />

[A172-176,194-196,287-289]<br />

21 Vektorer og analytisk geometri<br />

Du skal specielt gøre rede for afstandsformlen i 3D samt kuglens ligning og tangentplan til kugle.<br />

[A 163-164,200-205]<br />

22 Trigonometri<br />

Du skal specielt gøre rede for sinus og cosinusrelationerne for en vilkårlig trekant.<br />

[ B 74-86]<br />

23Trigonometri<br />

Du skal specielt gøre rede for de trigonometriske funktioner<br />

f(x)=sin(x) , x∈<br />

R<br />

f(x)=cos(x) , x∈<br />

R<br />

f(x)=a⋅ sin(bx+c)+k<br />

og differentiation af disse.<br />

[A81-99]<br />

24 Parameterkurver<br />

Du skal specielt gøre rede for vektorfunktioners differentiabilitet og tangent<br />

[A235-259]<br />

25 Statistik og sandsynlig<br />

Du skal specielt gøre rede for hvordan man kan beskrive et grupperet observationssæt<br />

[ B bog 293-297,299-315,247-263]


Oplæg til projekt om differentialregning<br />

Formål<br />

• at repetere begrebet differentialregning fra mat B med henblik på mundtlig eksamen<br />

• at træne forståelsen for 3-trinsreglen<br />

• at vise at nogle af beviserne fra mat B kan laves enklere ved at anvende regneregler<br />

fra mat A<br />

• at regne et par opgaver med monotoniforhold<br />

Spørgsmålene<br />

• I skal besvare nedenstående spørgsmål. NB! de spørgsmål der er markeret Ekstra kan<br />

overspringes<br />

1: Begreberne differentialkvotient og tangent<br />

Lav en oversigt (som I kan bruge til den mundtlige eksamen) over hvad det vil sige at en funktion er<br />

differentiabel, herunder eksempler på anvendelse af 3-trinsreglen til bestemmelse af differentialkvotienten<br />

for nogle konkrete funktioner. [B-bogen 141-144]<br />

2: Regneregler for differentiable funktioner<br />

I B-bogen vises side 151 sumreglen (f+g)’(x o )= f’(x o )+g’(x o ) og i A-bogen vises side<br />

104-105 produktreglen ( f ⋅ g)( ′ xo) = f′ ( xo) g( xo) + f( xo) g′<br />

( xo)<br />

I skal på tilsvarende måde lave et bevis<br />

for mindst én af regnereglernefor differentiation af f(x)-g(x) ,kf(x) eller hvis I vil have mere udfordring<br />

så differentiation af f(x)/g(x)<br />

3: Bevis for formlen (x n )’=nx n-1 hvor n er et helt tal<br />

Formlen vises i B-bogen for n>0 og n=0 si158-159 desuden vises den når n=-3 si159<br />

Prøv tilsvarende at vise den for et vilkårligt negativt n ved at bruge brøkreglen<br />

4: Bevis for formlen (e kx )’=ke kx<br />

Formlen er vist i B-bogen side 162 . Et andet (lettere) bevis fås ved i stedet at udnytte at funktionen e kx<br />

er sammensat af funktionerne g(x) =kx og f(x) = e x og dernæst benytte regnereglen for differentialkvotient<br />

at sammensat funktion til at vise formlen.<br />

5: Bevis for formlen (a x )’ = ln(a)a x<br />

• Begrund først hvorfor a = e ln(a) for alle positive tal a.<br />

• Forklar derefter omskrivningen a x = (e ln(a) ) x = e ln(a)x<br />

• Benyt så resultatet i spørgsmål 4 til at vise formlen (a x )’ = ln(a)a x<br />

6: Ekstra: Bevis for formlen (x a )’ = ax a-1 for x>0 og vilkårligt a<br />

Omskriv først x a til formen e g(x)<br />

Brug dernæst reglen om differentiation af en sammensat funktion


7: Ekstra: Bevis for formlen (ln(x))’=1/x<br />

Sæt g(x) = ln(x). I skal ikke bevise at funktionen g er differentiabel (dvs. at man i 3. trin i tretrins-reglen<br />

kan finde en grænseværdi), men hvis man går ud fra at funktionen er differentiabel kan man let bestemme<br />

differentialkvotienten ved at benytte reglen om differentiation af sammensat funktion:<br />

• Gør først rede for at e g(x) = x<br />

• Differentier nu på begge side af lighedstegnet og husk at (lade som om) I ikke ved hvad g’(x) er.<br />

Bemærk: på venstre side benyttes reglen for sammensat funktion.<br />

• I skulle nu kunne slutte at g’(x)= 1/x dvs. at (ln(x))’ = 1/x.<br />

f ( x) f′ ( xgx ) ( ) − f( xg ) ′( x)<br />

8: Ekstra: Bevis regnereglen ( )′ =<br />

2<br />

Kan evt. laves ved<br />

gx ( ) ( gx ( ))<br />

1 1<br />

• først at vise at ( )′ =− ⋅ g′<br />

( x)<br />

2<br />

gx ( ) ( gx ( ))<br />

Hjælp: Udnyt at )(1/g(x) kan fås ved at sammensætte g(x) med funktionen 1/x<br />

f( x) 1<br />

• og derefter benytte at = f( x)<br />

⋅<br />

gx ( ) gx ( )<br />

9: Opgaver der skal regnes<br />

Vejledende eks.opgaver STX A nr. 1.013, 1.014 (trykfejl i opgaven f´(x) skal være negativ i<br />

]8;10[ ikke positiv) , 6.002, 6.004,


Oplæg til projekt i differentialligninger<br />

1. Forklar hvad der forstås ved ”en første ordens differentialligning”<br />

2. f ’(x) ( eller dy ) kaldes den første afledede.<br />

dx 2<br />

d y<br />

Differentieres f ’(x) får vi den anden afledede f ’’(x) ( eller )<br />

2<br />

3<br />

Differentieres f ’’(x) får vi den tredje afledede f ’’’(x) (eller f<br />

dx d y<br />

(3) (x) eller<br />

3<br />

osv<br />

dx<br />

)<br />

opgave 2: Hvis f(x) = x 3 +2x 2 -5x+1 hvad er da f ’(x) , f ’’(x) ,f (3) (x) og f (4) (x) ?<br />

3. Der findes også 2.ordens differentialligninger , 3.ordens differentialligninger osv.<br />

En 2. ordens differentialligning er en ligning, hvor den anden afledede indgår og evt. også den<br />

første afledede.<br />

Tilsvarende er en n-te ordens differentialligning en differentialligning, hvor den højest forekommende<br />

afledede funktion er f (n) (x).<br />

Opgave 3.1: Hvilken orden har følgende differentialligninger ?<br />

f ’’(x) = - 4⋅ f(x) f ’(x) + f ’’’(x) = x 2 f ’’(x) = 12x 2<br />

Opgave 3.2: løs på TI 89 differentialligningerne f ’’(x) = - 4⋅ f(x) og f ’’(x) = 4⋅ f(x)<br />

4. Differentialligningen<br />

b<br />

y’= y⋅ (b-ay) har ifølge sætning 5b si 151 løsningen<br />

f( x)<br />

= a<br />

bx<br />

1 + ce ⋅<br />

−<br />

Besvar enten opgave 4.1 eller 4.2 (4.2 er svær)<br />

Opgave 4.1: Vis ved indsætning at f(x) er en løsning til y’= y⋅ (b-ay)<br />

Opgave 4.2 : Bevis ved at benytte metoden beskrevet på bilaget, næste side<br />

at der ikke findes andre løsninger til differentialligningen y’= y⋅ (b-ay)<br />

end netop funktioner af form som f(x)


Bilag: Oversigt over beviserne for sætn 1 og 2 si 138-140, samt<br />

hvordan Sætning 5b tilsvarende kan vises<br />

Princippet i alle 3 beviser er det samme:<br />

Antag f(x) er løsning til den betragtede differentialligning<br />

Der indføres en snedigt valgt hjælpefunktion h(x)<br />

h´(x) udregnes og omskrives, så man ender med at se, at h(x) er løsning til en allerede kendt differential<br />

ligning.<br />

Vi kender altså forskriften for h(x) og kan finde f(x) udfra denne.<br />

Differential<br />

ligning<br />

Sætning 1<br />

Hjælpefunktion<br />

h(x)<br />

dy<br />

k y<br />

dx = ⋅ hx ( ) = f( x)<br />

⋅ e −kx<br />

h(x) er løsning<br />

af diff.ligning<br />

Forskrift h(x)<br />

Forskrift f(x)<br />

dy<br />

0<br />

dx = hx ( ) = c<br />

f ( x)<br />

= ce<br />

kx<br />

Sætning 2<br />

dy<br />

dx + a ⋅ y = b<br />

( ) ( ) b<br />

hx = f x−<br />

a<br />

Sætning 5b<br />

dy<br />

yb ( ay)<br />

dx = − 1<br />

hx ( ) =<br />

f ( x)<br />

dy<br />

a y<br />

dx = − ⋅<br />

(sætn 1, k=-a)<br />

dy<br />

b y a<br />

dx + ⋅ =<br />

(sætn 2 med<br />

a 2 =b og b 2 =a )<br />

hx ( ) = ce −ax f ( x)<br />

b2<br />

hx ( ) = + ce<br />

dvs<br />

a2<br />

a −<br />

hx ( ) = + ce<br />

2<br />

b<br />

−ax<br />

2<br />

2<br />

bx<br />

b<br />

= + ce<br />

a<br />

b<br />

f( x)<br />

=<br />

a<br />

1 + ce −<br />

−ax<br />

bx<br />

Beviset for sætning 5b er ikke gennemgået i bogen, men I kan vælge at medtage det i jeres projekt om<br />

differentialligninger.


5 Differentialligningsmodel<br />

Forestil dig at en fiskeart i en bestemt sø har en population P(t) ,som kan modelleres<br />

med en logistisk model med bærekapacitet (dvs maksimumsværdi) M= b/a og<br />

vækstraten b ,hvor tiden måles i år .<br />

P(t) er altså løsning til differentialligningen<br />

dy<br />

y( b ay)<br />

dt = −<br />

opgave 5.1 Tilpas modellen , dvs opstil nogle nye differentialligninger , der beskriver<br />

situationen, hvis der fanges fisk i søen og antallet hvert år er (Du skal ikke<br />

løse ligningerne)<br />

a) 100 fisk fanges hvert år.<br />

b) 25% af populationen fanges hvert år.<br />

c) en tredjedel af populationen fanges hvert år.<br />

d) Antallet af fisk der fanges hvert år er proportionalt med kvadratroden af<br />

antallet af fisk i søen<br />

opgave 5.2 Samme fiskebestand som i opg 5.1 med bærekapacitet M=2500 , og<br />

vækstraten b= 0,3 dermed a =b/M = 0.00012<br />

1) opskriv differentialligningen P opfylder uden fiskeri<br />

Antag P(0)=2500 og dermed P’(0) = 0 altså der er ligevægt i søen før<br />

fiskeriet starter, antallet af fisk er konstant på det bæredygtige antal.<br />

2) Starter man fiskeri vil antallet af fisk P selvfølgelig falde, spørgsmålet er om det vil stabilisere<br />

sig på en ny lavere værdi eller fiskebestanden helt uddør.<br />

Undersøg om det er muligt at ramme en ny ligevægts situation<br />

Dvs. en værdi af P som gør P‘ = 0 i nedenstående tilfælde:<br />

a) 100 fisk fanges hvert år.<br />

b) 25% af populationen fanges hvert år.<br />

c) en tredjedel af populationen fanges hvert år.<br />

3) Hvor stor en fiskeribelastning kan populationen tåle uden at bryde sammen ?<br />

6 Regn de vejledende eksamensopgaver<br />

8.010 , 8.009 , 8.018, 8.019, 8.020, 8.022

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!