Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

8 Den statistiske model

Tabel 2.1 Skematisk opstilling ved sammenligning af binomialfordelinger

gruppe nr.

1 2 3 . . . s

antal gunstige y 1 y 2 y 3 . . . y s

antal ikke-gunstige n 1 − y 1 n 2 − y 2 n 3 − y 3 . . . n s − y s

i alt n 1 n 2 n 3 . . . n s

Sammenligning af binomialfordelinger

Man har observationer y 1 , y 2 , . . . , y s af stokastiske variable Y 1 , Y 2 , . . . , Y s

der er indbyrdes uafhængige binomialfordelte således at Y j har antalsparameter

n j (kendt) og sandsynlighedsparameter θ j ∈ [ 0 ; 1 ]. Man kan

med fordel tænke på observationerne som foreliggende i et skema som i

tabel 2.1. Modelfunktionen er

s∏

( )

nj

f(y, θ) =

θ yj

j (1 − θ j ) nj−yj

y j

j=1

hvor parametervariablen θ = (θ 1 , θ 2 , . . . , θ s ) varierer i Θ = [ 0 ; 1 ] s , og

s∏

observationsvariablen y = (y 1 , y 2 , . . . , y s ) varierer i X = {0, 1, . . . , n j }.

Likelihoodfunktionen og log-likelihoodfunktionen svarende til y er

L(θ) = konst 1 ·

ln L(θ) = konst 2 +

s∏

j=1

θ yj

j (1 − θ j ) nj−yj ,

j=1

s∑ (

yj ln θ j + (n j − y j ) ln(1 − θ j ) )

j=1

hvor konst 1 er produktet af de s binomialkoefficenter, og hvor konst 2 er

ln(konst 1 ).

⊲ [Fortsættes side 22.]

Eksempel 2.4 (Rismelsbiller II)

Man har udsat nogle rismelsbiller for gift i forskellige koncentrationer, nemlig

0.20, 0.32, 0.50 og 0.80 mg/cm 2 , og dernæst set hvor mange af billerne der

var døde efter 13 dages forløb. (Giften strøs ud på gulvet hvor billerne færdes,

derfor måles koncentrationen i mængde pr. areal.) Forsøgsresultaterne er vist

i tabel 2.2.

Man er interesseret i at undersøge om der er forskel på virkningen af de

forskellige koncentrationer. Vi vil derfor opstille en statistisk model der gør en

sådan undersøgelse mulig.

Som i eksempel 2.3 vil vi antage at antal døde biller ved hver af de fire

giftkoncentrationer kan opfattes som observerede værdier af binomialfordelte

More magazines by this user
Similar magazines