Noter til E6 - dirac
Noter til E6 - dirac
Noter til E6 - dirac
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
7.7 Opgaver 105<br />
vi indlejrer modellen i den mere generelle model der blot siger at forskellige<br />
x-værdier giver forskellige y-værdier, dvs. en k-stikprøvemodel (ensidet variansanalysemodel),<br />
se eksempel 7.1 side 86. Vi formulerer metoden i lineær<br />
algebra-sprog.<br />
Lad som i den generelle diskussion L 1 = {ξ : ξ ij = α + βx i} være underrummet<br />
svarende <strong>til</strong> modellen med lineær sammenhæng mellem x og y, og<br />
lad L = {ξ : ξ = µ i} være underrummet svarende <strong>til</strong> k-stikprøvemodellen. Der<br />
gælder at L 1 ⊂ L. Fra afsnit 7.1 ved vi at teststørrelsen for at teste L 1 i forhold<br />
<strong>til</strong> L er<br />
F =<br />
1<br />
dim L−dim L 1<br />
‖py − p 1y‖ 2<br />
1<br />
n−dim L<br />
‖y − py‖2<br />
hvor p og p 1 er projektionerne på L og L 1. Vi véd at dim L − dim L 1 = 4 −<br />
2 = 2 og n − dim L = 25 − 4 = 21. I den tidligere behandling af eksemplet<br />
(side 86) fandt vi ‖y − py‖ 2 <strong>til</strong> 101.32; ‖py − p 1y‖ 2 kan f.eks. udregnes som<br />
‖y −p 1y‖ 2 −‖y −py‖ 2 = 111.50−101.32 = 10.18. Teststørrelsen bliver dermed<br />
F = 5.09/4.82 = 1.06 der skal sammenholdes med F -fordelingen med 2 og<br />
21 frihedsgrader. Tabelopslag viser at testsandsynligheden bliver over 30%, så<br />
hypotesen godtages, dvs. der synes at være en lineær sammenhæng mellem<br />
varigheden af hypoxien og hypoxantinkoncentrationen. Det fremgår også af<br />
figur 7.1.<br />
7.7 Opgaver<br />
Opgave 7.1<br />
Dette er en berømt tosidet variansanalyse-opgave fra Københavns Universitet:<br />
En student cykler hver dag fra sit hjem <strong>til</strong> H.C. Ørsted Institutet og <strong>til</strong>bage<br />
igen. Han kan cykle to forskellige veje, én som han plejer at benytte, og én<br />
som han mistænker for at være en genvej. For at undersøge om det faktisk er<br />
en genvej måler han nogle gange hvor lang tid han er om turen. Resultaterne<br />
fremgår af nedenstående skema hvor tiderne er opgivet med 10 sekunder som<br />
enhed og ud fra et beregningsnulpunkt på 9 minutter.<br />
genvej<br />
sædvanlig vej<br />
udtur 4 −1 3 13 8 11 5 7<br />
hjemtur 11 6 16 18 17 21 19<br />
Da det som bekendt kan være vanskeligt at slippe væk fra H.C. Ørsted Institutet<br />
på cykel, tager hjemturen gennemsnitligt længere tid end udturen.<br />
Havde studenten ret i sin mistanke?<br />
Vejledning: Det er klart at disse resultater må kunne behandles ved tosidet<br />
variansanalyse; da cellerne imidlertid ikke indeholder lige mange observationer,<br />
kan den sædvanlige formel for projektionen på underrummet svarende <strong>til</strong><br />
additivitetshypotesen ikke bruges.