Noter til E6 - dirac

7.7 Opgaver 105
vi indlejrer modellen i den mere generelle model der blot siger at forskellige
x-værdier giver forskellige y-værdier, dvs. en k-stikprøvemodel (ensidet variansanalysemodel),
se eksempel 7.1 side 86. Vi formulerer metoden i lineær
algebra-sprog.
Lad som i den generelle diskussion L 1 = {ξ : ξ ij = α + βx i} være underrummet
svarende til modellen med lineær sammenhæng mellem x og y, og
lad L = {ξ : ξ = µ i} være underrummet svarende til k-stikprøvemodellen. Der
gælder at L 1 ⊂ L. Fra afsnit 7.1 ved vi at teststørrelsen for at teste L 1 i forhold
til L er
F =
1
dim L−dim L 1
‖py − p 1y‖ 2
1
n−dim L
‖y − py‖2
hvor p og p 1 er projektionerne på L og L 1. Vi véd at dim L − dim L 1 = 4 −
2 = 2 og n − dim L = 25 − 4 = 21. I den tidligere behandling af eksemplet
(side 86) fandt vi ‖y − py‖ 2 til 101.32; ‖py − p 1y‖ 2 kan f.eks. udregnes som
‖y −p 1y‖ 2 −‖y −py‖ 2 = 111.50−101.32 = 10.18. Teststørrelsen bliver dermed
F = 5.09/4.82 = 1.06 der skal sammenholdes med F -fordelingen med 2 og
21 frihedsgrader. Tabelopslag viser at testsandsynligheden bliver over 30%, så
hypotesen godtages, dvs. der synes at være en lineær sammenhæng mellem
varigheden af hypoxien og hypoxantinkoncentrationen. Det fremgår også af
figur 7.1.
7.7 Opgaver
Opgave 7.1
Dette er en berømt tosidet variansanalyse-opgave fra Københavns Universitet:
En student cykler hver dag fra sit hjem til H.C. Ørsted Institutet og tilbage
igen. Han kan cykle to forskellige veje, én som han plejer at benytte, og én
som han mistænker for at være en genvej. For at undersøge om det faktisk er
en genvej måler han nogle gange hvor lang tid han er om turen. Resultaterne
fremgår af nedenstående skema hvor tiderne er opgivet med 10 sekunder som
enhed og ud fra et beregningsnulpunkt på 9 minutter.
genvej
sædvanlig vej
udtur 4 −1 3 13 8 11 5 7
hjemtur 11 6 16 18 17 21 19
Da det som bekendt kan være vanskeligt at slippe væk fra H.C. Ørsted Institutet
på cykel, tager hjemturen gennemsnitligt længere tid end udturen.
Havde studenten ret i sin mistanke?
Vejledning: Det er klart at disse resultater må kunne behandles ved tosidet
variansanalyse; da cellerne imidlertid ikke indeholder lige mange observationer,
kan den sædvanlige formel for projektionen på underrummet svarende til
additivitetshypotesen ikke bruges.