Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

2.1 Eksempler 9

Tabel 2.2 Rismelsbillers overlevelse ved forskellige giftdoser.

koncentration

0.20 0.32 0.50 0.80

antal døde 43 50 47 48

antal ikke døde 101 19 7 2

i alt 144 69 54 50

stokastiske variable. Vi lader y j betegne antal døde biller og n j antal biller

i alt ved koncentration nr. j, j = 1, 2, 3, 4. Den statistiske model er da at

y = (y 1, y 2, y 3, y 4) = (43, 50, 47, 48) er en observeret værdi af en firedimensional

stokastisk variabel Y = (Y 1, Y 2, Y 3, Y 4) hvor Y 1, Y 2, Y 3 og Y 4 er indbyrdes

uafhængige binomialfordelte med antalsparametre n 1 = 144, n 2 = 69, n 3 = 54

og n 4 = 50 og sandsynlighedsparametre θ 1, θ 2, θ 3 og θ 4. Modelfunktionen er

f(y 1, y 2, y 3, y 4; θ 1, θ 2, θ 3, θ 4)

!

144

= θ y 1

1 (1 − θ 1) 144−y1 ·

y 1

!

54

θ y 3

3 (1 − θ 3) 54−y3 ·

y 3

!

69

θ y 2

2 (1 − θ 2) 69−y2 ·

y 2

!

50

θ y 4

4 (1 − θ 4) 50−y 4

.

y 4

Log-likelihoodfunktionen svarende til observationen y er

ln L(θ 1, θ 2, θ 3, θ 4)

= konst

+ 43 ln θ 1 + 101 ln(1 − θ 1) + 50 ln θ 2 + 19 ln(1 − θ 2)

+ 47 ln θ 3 + 7 ln(1 − θ 3) + 48 ln θ 4 + 2 ln(1 − θ 4).

⊲ [Eksemplet fortsætter i eksempel 3.2 side 22.]

Multinomialfordelingen

Multinomialfordelingen er en generalisation af binomialfordelingen: I situationer

hvor man har at gøre med n uafhængige gentagelser af et grundforsøg

der kan resultere i et af to mulige udfald, vil antallet af gange man

får den ene slags udfald, være binomialfordelt (jf. eksempel 2.10 i Del 1).

I situationer hvor man har at gøre med n uafhængige gentagelser af et

grundforsøg der kan resultere i et af r mulige udfald ω 1 , ω 2 , . . . , ω r , kan

man interessere sig for de stokastiske variable Y i der er lig antal gange

man får udfaldet ω i , i = 1, 2, . . . , r. Den r-dimensionale stokastiske variabel

Y = (Y 1 , Y 2 , . . . , Y r ) vil blive multinomialfordelt.

Under de beskrevne omstændigheder er fordelingen af Y af formen

P(Y = y) =

(

n

y 1 y 2 . . . y r

) r∏

i=1

θ yi

i (2.1)

More magazines by this user
Similar magazines