Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

110 En udledning af normalfordelingen

hvor g = −(ln f) ′ .

Da f er en tæthedsfunktion, gælder at f(x) → 0 for x → ±∞, og

derfor vil ln L(µ) → −∞ for µ → ±∞; det betyder at ln L antager sit

maksimum i (mindst) et punkt ̂µ, og at dette er et stationært punkt, dvs.

(ln L) ′ (̂µ) = 0. Da det forlanges at ̂µ = x, er vi nu nået frem til at der

skal gælde

n∑

g(x i − x) = 0 (A.1)

i=1

for alle stikprøver x 1 , x 2 , . . . , x n .

Tag nu en stikprøve med to elementer x og −x; da gennemsnittet af

disse to er 0, giver (A.1) at g(x) + g(−x) = 0, dvs. g(−x) = −g(x) for

ethvert x. Specielt er g(0) = 0.

Tag så en stikprøve med tre elementer x, y og −(x + y); da deres

gennemsnit er 0, giver (A.1) at g(x)+g(y)+g(−(x+y)) = 0, og da vi netop

har vist at g er en lige funktion, kan vi konkludere at g(x+y) = g(x)+g(y)

for alle x og y. Det følger nu af sætning A.1 nedenfor at funktionen g

må være af formen g(x) = cx for en eller anden konstant c. Da g blot

var en forkortelse for −(ln f) ′ , må ln f derfor være af formen ln f(x) =

b − cx 2 /2 hvor b er en integrationskonstant, og så bliver f af formen

f(x) = a e −cx2 /2 hvor a = e b . Da f skal integrere til 1, må konstanten c

nødvendigvis være positiv – og man kunne så passende omdøbe den til

σ 2 – og konstanten a er entydigt bestemt (a = 1/ √ 2πσ 2 ). Funktionen

f må altså nødvendigvis være tæthedsfunktionen for normalfordelingen

med middelværdi 0 og varians σ 2 , og den søgte type fordelinger er altså

normalfordelingerne med middelværdi µ og varians σ 2 .

Cauchys funktionalligning

I dette afsnit vises en sætning som anvendes i det forrige, og som må

siges at høre med til den »matematisk almendannelse«.

Sætning A.1

Antag at f er en reel funktion sådan at der for alle x, y ∈ R gælder at

f(x + y) = f(x) + f(y). (A.2)

Hvis f er kontinuert i et punkt x 0 ≠ 0, så findes et tal c sådan at f er

af formen f(x) = c x.

Bevis

Vi ser først på hvad man kan slutte ud fra betingelsen f(x + y) = f(x) +

f(y).

1. Hvis man sætter x = y = 0, fås at f(0) = f(0)+f(0), dvs. f(0) = 0.

2. Hvis man sætter y = −x, fås så at for et vilkårligt x ∈ R er

f(x) + f(−x) = 0, altså f(−x) = −f(x).

More magazines by this user
Similar magazines