Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

B Nogle resultater

fra lineær algebra

De næste sider præsenterer forskellige resultater fra lineær algebra,

nærmere bestemt fra teorien for endeligdimensionale reelle vektorrum

med indre produkt.

Notation og definitioner

Vektorrummet betegnes typisk V . Underrum betegnes L, L 1 , L 2 , . . . Vektorer

betegnes normalt med fede bogstaver (x, u, v osv.). Nulvektoren er

0. Når vi repræsenterer vektorerne ved hjælp af deres koordinatsæt i

forhold til en valgt basis, skriver vi koordinatsættene som søjlematricer.

Lineære afbildninger [og deres matricer] betegnes ofte med bogstaver

som A og B; den transponerede til A betegnes A ′ . Nulrummet for A

betegnes N (A) og billedrummet (‘range’) R(A). Den identiske afbildning

[enhedsmatricen] betegnes I.

Skalarproduktet eller det indre produkt af u og v skrives 〈u, v〉 og i

matrixnotation u ′ v. Længden af u skrives ‖u‖.

To vektorer u og v er ortogonale, kort u ⊥ v, hvis 〈u, v〉 = 0.

Hvis L 1 og L 2 er to ortogonale underrum (dvs. enhver vektor i L 1 er

ortogonal på enhver vektor i L 2 ), så er den ortogonale direkte sum af L 1

og L 2 underrummet

L 1 ⊕ L 2 = {u 1 + u 2 : u 1 ∈ L 1 , u 2 ∈ L 2 }.

Hvis v ∈ L 1 ⊕ L 2 , så har v en entydig opspaltning som v = u 1 + u 2 hvor

u 1 ∈ L 1 og u 2 ∈ L 2 . Der gælder at dim L 1 ⊕ L 2 = dim L 1 + dim L 2 .

Det ortogonale komplement til underrummet L betegnes L ⊥ . Vi har

så at V = L⊕L ⊥ . Ortogonalprojektionen af V på underrummet L er den

lineære afbildning p af V ind i sig selv for hvilken px ∈ L og x−px ∈ L ⊥

for alle x ∈ V .

En symmetrisk lineær afbildning [en symmetrisk matrix] A er positivt

semidefinit hvis 〈x, Ax〉 ≥ 0 [eller x ′ Ax ≥ 0] for alle x; den er positivt

definit hvis ulighedstegnet er skarpt for alle x ≠ 0. Vi vil undertiden

bruge skrivemåderne A ≥ 0 og A > 0 til at angive at A er positivt

semidefinit hhv. positivt definit.

Hvis den lineære afbildning A af R n ind i sig selv er positivt semidefinit,

så findes en ortonormalbasis af egenvektorer, og egenværdierne er

113

More magazines by this user
Similar magazines