Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

115

derfor definere en afbildning C af R p ind i sig selv ved Cu = B ′ x hvor

x er entydigt fastlagt ved betingelserne x ∈ L og A ′ x = u.

Ved standardargumenter overbeviser man sig om at C bliver en lineær

afbildning. Dernæst skal det vises at A = BC og at C er en isometri.

Hvis A ′ x = u, er BCu = BB ′ x ifølge definitionen af C. Pr. antagelse

er BB ′ = AA ′ , så BB ′ x = AA ′ x, og da A ′ x = u ifølge definitionen af x,

er AA ′ x = Au. Altså BCu = Au, dvs. A = BC.

Vi vil vise at C er en isometri ved at vise at den bevarer indre produkt.

Vi ser derfor på to vektorer u 1 og u 2 i R p med tilsvarende vektorer

x 1 og x 2 i L. Så er 〈Cu 1 , Cu 2 〉 = 〈B ′ x 1 , B ′ x 2 〉 = 〈x 1 , BB ′ x 2 〉 =

〈x 1 , AA ′ x 2 〉 = 〈A ′ x 1 , A ′ x 2 〉 = 〈u 1 , u 2 〉.

Sætning B.5

Lad A være en symmetrisk og positiv semidefinit lineær afbildning af R n

ind i sig selv, og sæt p = dim R(A) (dvs. p er rangen af A). Da gælder

1. Der findes netop én symmetrisk og positiv semidefinit lineær afbildning

A 1/2 af R n ind i sig selv med den egenskab at A 1/2 A 1/2 = A.

2. Der findes en injektiv lineær afbildning B af R p ind i R n med den

egenskab at BB ′ = A; B er entydigt bestemt pånær isometri.

Bevis

Ifølge generelle resultater om symmetriske lineære afbildninger følger det

af det givne at der findes en ortonormal basis e 1 , e 2 , . . . , e n af egenvektorer

for A med tilhørende egenvektorer λ 1 , λ 2 , . . . , λ n hvor λ 1 ≥ λ 2 ≥

. . . ≥ λ p > 0 og λ p+1 = λ p+2 = . . . = λ n = 0.

Hvis A 1/2 har de ønskede egenskaber, findes der en ortonormalbasis af

egenvektorer, og disse egenvektorer er automatisk også egenvektorer for

A (med egenværdier som er kvadraterne på A 1/2 ’s egenværdier). Derfor

må A 1/2 nødvendigvis være den lineære afbildning hvis matrixrepræsentation

i basen e 1 , e 2 , . . . , e n er diagonalmatricen med diagonalelementer


λ1 , √ λ 2 , . . . , √ λ n .

Som B kan vi bruge den lineære afbildning hvis matrixrepræsentation

i forhold til standardbasen i R p og basen e 1 , e 2 , . . . , e n i R n er den

n × p-matrix som på den (i, j)-te plads har √ λ i hvis i = j og 0 ellers.

Entydigheden af B følger f.eks. af sætning B.4.

More magazines by this user
Similar magazines