Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

10 Den statistiske model

når y = (y 1 , y 2 , . . . , y r ) er et sæt af ikke-negative heltal der summerer

til n; parameteren θ = (θ 1 , θ 2 , . . . , θ r ) er et sæt af ikke-negative reelle tal

der summerer til 1, og θ i er sandsynligheden for at grundforsøget giver

udfaldet ω i . Størrelsen

(

)

n

n!

=

y 1 y 2 . . . y r

r∏

y i !

er en såkaldt multinomialkoefficient og er lig med antallet af måder

hvorpå man kan dele en mængde med n elementer op i r delmængder

sådan at delmængde nr. i indeholder netop y i elementer, i = 1, 2, . . . , r.

Sandsynlighedsfordelingen givet ved sandsynlighedsfunktionen (2.1)

omtales som multinomialfordelingen med r klasser (eller kategorier) og

med antalsparameter n (som er et kendt tal) og sandsynlighedsparameter

θ.

⊲ [Læs fortsættelsen side 23.]

Eksempel 2.5 (Torsk i Østersøen)

Den 6. marts 1961 fangede nogle havbiologer 69 torsk ved Lolland og undersøgte

arten af blodets hæmoglobin i hver enkelt torsk. Senere på året fangede man

desuden nogle torsk ved Bornholm og ved Ålandsøerne og undersøgte dem på

samme måde. 2

Man mener at hæmoglobin-arten bestemmes af ét enkelt gen, og det som

biologerne bestemte, var torskenes genotype for så vidt angår dette gen. Genet

kan optræde i to udgaver som traditionen tro kaldes for A og a, og de mulige

genotyper er da AA, Aa og aa. Den fundne fordeling på genotyper for hver af

de tre lokaliteter ses i tabel 2.3.

På hver geografisk lokalitet har man klassificeret et antal torsk i tre mulige klasser,

så på hver lokalitet er der tale om en multinomialfordelingssituation. (Når

der er tre klasser, taler man også om en trinomialfordeling.) Som grundmodel

benytter vi derfor den model der siger at de tre observerede tripler

0 1 0 1

y 1L 27

y L = @ y 2L

A = @ 30A ,

y 3L 12

0 1 0 1

y 1B 14

y B = @ y 2B

A = @ 20A ,

y 3B 52

0 1 0 1

y 1Å

0

y Å

= @ y A 2Å

= @ 5 A .

y 3Å

75

stammer fra hver sin multinomialfordeling med antalsparametre hhv. n L = 69,

n B = 86 og n Å

= 80 og med sandsynlighedsparametre hhv.

i=1

0 1 0 1 0 1

θ 1L

θ 1B

θ 1Å

θ L = @ θ 2L

A , θ B = @ θ 2B

A , θ Å

= @ θ A 2Å

.

θ 3L θ 3B θ 3Å

More magazines by this user
Similar magazines