Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

2.1 Eksempler 13

tionen er

n∏

f(y, µ, σ 2 1

) = √

(− exp 1 (y j − µ) 2 )

j=1 2πσ

2 2

σ 2



= (2πσ 2 ) −n/2 exp⎝− 1 ∑

n

2σ 2 (y j − µ) 2 ⎠

hvor y = (y 1 , y 2 , . . . , y n ) ∈ R n , µ ∈ R og σ 2 > 0.

Standardomskrivninger giver at

n∑

(y j − µ) 2

altså

j=1

=

=

=

n∑ (

(yj − y) + (y − µ) ) 2

j=1

j=1

j=1

n∑

n∑

(y j − y) 2 + 2(y − µ) (y j − y) + n (y − µ) 2

j=1

n∑

(y j − y) 2 + n(y − µ) 2 ,

j=1

n∑

(y j − µ) 2 =

j=1

n∑

(y j − y) 2 + n(y − µ) 2 . (2.2)

j=1

Ved hjælp heraf får vi log-likelihoodfunktionen til

ln L(µ, σ 2 ) (2.3)

= konst − n 2 ln(σ2 ) − 1

2σ 2

= konst − n 2 ln(σ2 ) − 1

2σ 2

n


j=1

∑ n

j=1

(y j − µ) 2

(y j − y) 2 −

n(y − µ)2

2σ 2 .

Vi kan i øvrigt udnytte formel (2.2) til endnu et formål: hvis vi indsætter

µ = 0, får vi

n∑

n∑

n∑

(y j − y) 2 = yj 2 − ny 2 = yj 2 − 1 n y2

j=1

j=1

dvs. summen af de kvadratiske afvigelser af y’erne fra y kan udregnes

ud fra summen af y’erne og summen af kvadraterne på y’erne. For at

udregne likelihoodfunktionen behøver man altså ikke kende de enkelte

observationer, det er nok at kende summen og summen af kvadraterne

(dvs. stikprøvefunktionen t(y) = ( ∑ y, ∑ y 2 ) er sufficient (jf. side 5)).

⊲ [Læs fortsættelsen side 25.]

j=1

More magazines by this user
Similar magazines