Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

2.1 Eksempler 15

observationer

gruppe 1 y 11 y 12 . . . y 1j . . . y 1n1

gruppe 2 y 21 y 22 . . . y 2j . . . y 2n2

Her betegner y ij observation nr. j i gruppe nr. i, i = 1, 2. Grupperne

har henholdsvis n 1 og n 2 observationer. Vi vil gå ud fra at forskellen

mellem observationer inden for en gruppe er tilfældig, hvorimod der er

en systematisk forskel på to de grupper – det er derfor at observationerne

er inddelt i grupper! Endelig antages at y ij -erne er observerede værdier

af uafhængige stokastiske variable Y ij som er normalfordelte med samme

varians σ 2 og med E Y ij = µ i , j = 1, 2, . . . , n i , i = 1, 2. På denne måde beskriver

de to middelværdiparametre µ 1 og µ 2 den systematiske variation,

dvs. de to gruppers niveauer, medens variansparameteren σ 2 (samt normalfordelingen)

beskriver den tilfældige variation der altså er den samme

i begge grupper (denne antagelse kan man eventuelt teste, se opgave 4.2

side 45). Modelfunktionen er



2∑ ∑n i

( ) (y ij − µ i ) 2

n

f(y, µ 1 , µ 2 , σ 2 1

) = √ exp

2πσ

2 ⎜

− 1 i=1 j=1


2 σ 2



hvor y = (y 11 , y 12 , y 13 , . . . , y 1n1 , y 21 , y 22 , . . . , y 2n2 ) ∈ R n , (µ 1 , µ 2 ) ∈ R 2

og σ 2 > 0; vi har her sat n = n 1 + n 2 . Den til (2.2) svarende spaltning

af kvadratsummen er

2∑ ∑n i

(y ij − µ i ) 2 =

i=1 j=1

hvor y i = 1 n

∑n i

j=1

2∑ ∑n i

(y ij − y i ) 2 +

i=1 j=1

y ij er gennemsnittet i gruppe nr. i.

Log-likelihoodfunktionen er

2∑

n i (y i − µ i ) 2

ln L(µ 1 , µ 2 , σ 2 ) (2.4)



= konst − n 2 ln(σ2 ) − 1 2∑ ∑n i

2∑


2σ 2 (y ij − y i ) 2 + n i (y i − µ i ) 2 ⎠ .

⊲ [Fortsættes side 27.]

i=1 j=1

Eksempel 2.8 (C-vitamin)

C-vitamin (ascorbinsyre) er et veldefineret kemisk stof som man sagtens kan

fremstille industrielt, og man skulle tro at det industrielt fremstillede virker på

nøjagtig samme måde som »naturligt« C-vitamin. For at undersøge om det nu

også forholder sig sådan, har man foretaget et eksperiment med nogle marsvin

(små gnavere).

i=1

i=1

More magazines by this user
Similar magazines