Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

3 Estimation

En statistisk model er et udsagn om at det foreliggende datamateriale

kan opfattes som en observation fra en bestemt sandsynlighedsfordeling

der er specificeret pånær nogle få ukendte parametre. I dette kapitel skal

vi beskæftige os med estimationsproblemet, dvs. det problem hvordan

man ud fra model plus observationer skal bære sig ad med at udregne et

skøn eller estimat over modellens ukendte parametre.

Man kan ikke inden for matematikkens rammer deducere sig frem til

en løsning, det er nødvendigt at inddrage et eller flere udefra kommende

principper undervejs. Afhængigt af hvilke principper man vælger at gå ud

fra, kan man få forskellige estimationsmetoder. I det følgende præsenterer

vi den metode som man »plejer« at bruge her i landet (og i mange andre

lande). Først lidt terminologi:

◦ En stikprøvefunktion er en funktion der er defineret på observationsrummet

X (og som afbilder ind i R eller R n ).

Hvis t er en stikprøvefunktion, er t(X) en stokastisk variabel; ofte

skelner man ikke så voldsomt meget mellem t og t(X).

◦ En estimator er en stikprøvefunktion (eller stokastisk variabel) med

værdier i parameterrummet Θ.

Det er lidt underforstået at estimatoren skal være et nogenlunde

godt bud på den sande værdi af parameteren.

◦ Et estimat er en værdi som estimatoren antager, dvs. hvis t (eller

t(X)) er en estimator, så er t(x) et estimat.

◦ En central estimator for g(θ) (hvor g er en funktion defineret på Θ)

er en estimator t med den egenskab at E θ (t(X)) = g(θ) for ethvert

θ, dvs. en estimator som »i middel rammer rigtigt«.

3.1 Maksimaliseringsestimatoren

Antag at der foreligger en observation x der antages at kunne beskrives

med en statistisk model der er specificeret ved modelfunktionen f(x, θ).

Hvis man skal vurdere de forskellige mulige θ-værdier for at finde en der

kan udnævnes til at være et godt bud på »den sande værdi«, kunne man

basere vurderingen på værdierne af likelihoodfunktionen L(θ) = f(x, θ):

hvis L(θ 1 ) > L(θ 2 ), så er θ 1 et bedre bud på den sande værdi end θ 2

19

More magazines by this user
Similar magazines