Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

20 Estimation

er; hvis man godtager dette ræsonnement, så må konsekvensen være at

θ skal estimeres som den værdi ̂θ der maksimaliserer L.

Definition 3.1

Maksimaliseringsestimatoren er den funktion der til en observation x ∈ X

leverer maksimumspunktet ̂θ = ̂θ(x) for likelihoodfunktionen svarende

til x. Maksimaliseringsestimatet er den værdi som maksimaliseringsestimatoren

antager.

Ovenstående definition er naturligvis noget sjusket og ufuldstændig: der

er ingen der siger at likelihoodfunktionen har netop ét maksimumspunkt,

man kan godt komme ud for at der er flere maksimumspunkter, eller slet

ingen. En lidt bedre definition kunne se sådan ud:

Definition 3.2

Et maksimaliseringsestimat hørende til observationen x er et maksimumspunkt

̂θ(x) for likelihoodfunktionen hørende til x. En maksimaliseringsestimator

er en (ikke nødvendigvis overalt defineret) funktion af X ind i

Θ der til en observation x leverer et maksimaliseringsestimat.

Maksimaliseringsestimatoren er et bud på en generel metode til udregning

af estimatorer. For at vurdere om det er et fornuftigt bud, kan man

stille forskellige spørgsmål og se hvordan de besvares.

1. Hvor nemt er det at anvende metoden i konkrete modeller?

Metoden går i praksis ud på at man skal finde maksimumspunkt(er)

for funktionen L; at finde maksimumspunkter for en reel funktion

er en almindelig og velforstået matematisk problemstilling som kan

angribes (og løses) med standardmetoder.

Det er i øvrigt oftest en fordel at bestemme ̂θ som maksimumspunkt

for log-likelihoodfunktionen ln L. Hvis ln L er en differentiabel funktion,

skal maksimumspunkter i det indre af Θ som bekendt søges

blandt løsningerne til ligningen D log L(θ) = 0.

2. Findes der matematiske sætninger om maksimaliseringsestimatorens

egenskaber, f.eks. om eksistens og entydighed, og om hvor tæt

̂θ ligger på θ?

Ja, det gør der.

Der findes en række generelle resultater om at når visse betingelser

er opfyldt, og antallet af observationer går mod uendelig, så vil

sandsynligheden for at der eksisterer et entydigt maksimaliseringsestimat,

gå mod 1, og P θ (|̂θ(X) − θ| > ε) går mod 0 (for ethvert

ε > 0).

Når nogle flere betingelser er opfyldt, blandt andet skal Θ være en

åben mængde, og de tre første afledede af ln L skal eksistere og opfylde

visse regularitetsbetingelser, så gælder at for n → ∞ er ̂θ(X)

asymptotisk normalfordelt med asymptotisk middelværdi θ og en

More magazines by this user
Similar magazines