Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

3.2 Eksempler 23

Eksempel 3.2 (Rismelsbiller II)

⊳ [Fortsat fra eksempel 2.4 side 8.]

I rismelsbille-eksemplet hvor hver gruppe (koncentration) har sin egen binomialfordelingsparameter,

estimeres denne som brøkdel døde i den pågældende

gruppe, dvs.

( θ b 1, θ b 2, θ b 3, θ b 4) = (0.30, 0.72, 0.87, 0.96).

q

De estimerede standardafvigelser er bθ j(1 − θ b j)/n j, dvs. 0.04, 0.05, 0.05 og

0.03.

⊲ [Eksemplet fortsætter som eksempel 4.2 side 37.]

Multinomialfordelingen

⊳ [Fortsat fra side 9.]

Hvis y = (y 1 , y 2 , . . . , y r ) er en observation fra en multinomialfordeling

med r klasser, antalsparameter n og sandsynlighedsparameter θ, så er

log-likelihoodfunktionen

r∑

ln L(θ) = konst + y i ln θ i .

Parameteren θ skal estimeres som maksimumspunktet ̂θ (i Θ) for ln L;

parameterrummet Θ er mængden af talsæt θ = (θ 1 , θ 2 , . . . , θ r ) for hvilke

θ i ≥ 0, i = 1, 2, . . . , r, og θ 1 , θ 2 , . . . , θ r = 1. Man ville vel umiddelbart

formode at θ i skal estimeres ved y i /n, og det er da også det rigtige svar;

men hvordan viser man det?

Én mulighed er at benytte en af de generelle metoder til bestemmelse

af ekstremum under bibetingelser. En anden mulighed er at vise at vores

formodning er rigtig. Vi vælger den sidste mulighed og skal altså vise

at hvis vi sætter ̂θ i = y i /n, i = 1, 2, . . . , r, og ̂θ = (̂θ 1 , ̂θ 2 , . . . , ̂θ r ), så er

ln L(θ) ≤ ln L(̂θ) for alle θ ∈ Θ.

Det snedige trick der skal bruges hertil, er at ln t ≤ t − 1 for alle t (og

med lighedstegn hvis og kun hvis t = 1). Der gælder derfor

r∑

ln L(θ) − ln L(̂θ) = y i ln θ i

i=1

̂θ i

r∑

( )

θi

≤ y i − 1

̂θ i

=

=

i=1

i=1

i=1

r∑

(

)

θ i

y i

y i /n − y i

r∑

(nθ i − y i )

i=1

= 0.

Ulighedstegnet er skarpt medmindre θ i = ̂θ i for alle i = 1, 2, . . . , r.

⊲ [Fortsættes side 38.]

More magazines by this user
Similar magazines