Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

24 Estimation

1

θ 2

1

θ 3

θ 1

Figur 3.1 Sandsynlighedssimplexet i det tredimensionale rum, dvs.

{(θ 1, θ 2, θ 3) ∈ [ 0 ; 1 ] : θ 1 + θ 2 + θ 3 = 1}.

1

Eksempel 3.3 (Torsk i Østersøen)

⊳ [Fortsat fra eksempel 2.5 side 10.]

Hvis vi indskrænker os til at studere torskene ved Lolland, er opgaven at bestemme

det punkt θ = (θ 1, θ 2, θ 1) i det tredimensionale sandsynlighedssimplex

(jf. figur 3.1) som maksimaliserer log-likelihoodfunktionen

ln L(θ) = konst + 27 ln θ 1 + 30 ln θ 2 + 12 ln θ 3.

Ifølge det foregående er b θ 1 = 27/69 = 0.39, b θ 2 = 30/69 = 0.43 og b θ 3 = 12/69 =

0.17.

⊲ [Eksemplet fortsættes i eksempel 4.3 side 38.]

Enstikprøveproblemet i Poissonfordelingen

⊳ [Fortsat fra side 11.]

Log-likelihoodfunktionen og dens to første afledede er

ln L(µ) = konst + y ln µ − nµ,

D ln L(µ) = y

µ − n,

D 2 ln L(µ) = − y

µ 2

når µ > 0. Hvis y > 0, har ligningen D ln L(µ) = 0 den entydige løsning

̂µ = y /n, og da D ln L er negativ, er dette det entydige maksimumspunkt.

Man ser desuden at formlen ̂µ = y /n også giver maksimumspunktet i

den situation hvor y = 0.

More magazines by this user
Similar magazines