Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

3.2 Eksempler 25

I Poissonfordelingen er variansen lig med middelværdien, så ifølge de

sædvanlige regneregler er middelværdi og varians af estimatoren ̂µ = Y /n

E µ ̂µ = µ,

Var µ ̂µ = µ/n. (3.2)

Den generelle teori (jf. side 20) oplyser at for store n er

E µ ̂µ ≈ µ,

Var µ ̂µ ≈ ( (

E µ −D 2 ln L(µ, Y ) )) −1

( ( )) −1 Y

= E µ

µ 2

= µ/n.

Eksempel 3.4 (Hestespark)

⊳ [Fortsat fra eksempel 2.6 side 11.]

I hestesparkeksemplet er y = 0 · 109 + 1 · 65 + 2 · 22 + 3 · 3 + 4 · 1 = 122, så

bµ = 122/200 = 0.61.

Antallet af soldater i et givet regiment der i et givet år dør som følge

af at være sparket af en hest, er altså (ifølge modellen) Poissonfordelt med en

parameter der estimeres til 0.61. Den estimerede standardafvigelse på estimatet

er p bµ/n = 0.06, jf. formel (3.2).

Ligefordeling på et interval

⊳ [Fortsat fra side 12.]

Likelihoodfunktionen er

L(θ) =

{ 1/θ

n

når x max < θ

0 ellers.

Denne funktion antager ikke sit maksimum, men det er ikke desto mindre

fristende at udnævne ̂θ = x max til maksimaliseringsestimatet. – Tingene

ville se pænere ud hvis vi gik over til at betragte ligefordelingen på det

afsluttede interval fra 0 til θ.

Likelihoodfunktionen er ikke differentiabel i hele sit definitionsområde

(som er ] 0 ; +∞ [); de regularitetsbetingelser der sikrer at maksimaliseringsestimatoren

er asymptotisk normalfordelt (side 20), er derfor ikke

opfyldt, og ̂θ = X max er da faktisk heller ikke asymptotisk normalfordelt.

Enstikprøveproblemet i normalfordelingen

⊳ [Fortsat fra side 12.]

Ved at løse ligningen D ln L = 0 hvor ln L er log-likelihoodfunktionen

(2.3), finder man maksimaliseringsestimaterne for µ og σ 2 til

̂µ = y = 1 n

n∑

y j ,

j=1

More magazines by this user
Similar magazines