Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

26 Estimation

̂σ 2 = 1 n

n∑

(y j − y) 2 .

j=1

Man plejer dog at benytte et andet estimat for variansparameteren σ 2 ,

nemlig

s 2 =

1

n − 1

n∑

(y j − y) 2 ,

j=1

hvilket hænger sammen med at s 2 er en central estimator; det fremgår

af nedenstående sætning der er et specialtilfælde af sætning 7.1 side 81,

jf. også afsnit 7.2.

Sætning 3.1

Antag at X 1 , X 2 , . . . , X n er indbyrdes uafhængige identisk normalfordelte

stokastiske variable med middelværdi µ og varians σ 2 . Så gælder

1. Den stokastiske variabel X = 1 n∑

X j er normalfordelt med mid-

n

delværdi µ og varians σ 2 /n.

j=1

2. Den stokastiske variabel s 2 = 1

n − 1

n∑

(X j − X) 2 er gammafordelt

med formparameter f/2 og skalaparameter 2σ 2 /f hvor f = n − 1,

eller sagt på en anden måde: f/σ 2 · s 2 er χ 2 -fordelt med f frihedsgrader.

Heraf følger blandt andet at E s 2 = σ 2 .

3. De to stokastiske variable X og s 2 er stokastisk uafhængige.

j=1

Bemærkninger: Antallet af frihedsgrader for variansskønnet i en normalfordelingsmodel

er typisk antal observationer minus antal estimerede frie

middelværdiparametre; antallet af frihedsgrader fortæller noget om præcisionen

af variansskønnet, jf. opgave 3.2.

⊲ [Fortsættes side 40.]

Eksempel 3.5 (Lysets hastighed)

⊳ [Fortsat fra eksempel 2.7 side 14.]

Hvis vi går ud fra at de 64 positive værdier i tabel 2.5 kan betragtes som

observationer fra en og samme normalfordeling, så skal denne normalfordelings

middelværdi estimeres til y = 27.75 og dens varians til s 2 = 25.8 med 63

frihedsgrader. Det betyder at passagetidens middelværdi estimeres til

(27.75 × 10 −3 + 24.8) × 10 −6 sek = 24.828 × 10 −6 sek,

og passagetidens varians estimeres til

25.8 × (10 −3 × 10 −6 sek) 2 = 25.8 × 10 −6 (10 −6 sek) 2

More magazines by this user
Similar magazines