Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

3.2 Eksempler 27

med 63 frihedsgrader, dvs. standardafvigelsen estimeres til

p

25.8 × 10

−6

10 −6 sek = 0.005 × 10 −6 sek.

⊲ [Eksemplet fortsætter som eksempel 4.4 side 41.]

Tostikprøveproblemet i normalfordelingen

⊳ [Fortsat fra side 14.]

Log-likelihoodfunktionen (2.4) antager sit maksimum i punktet (y 1 , y 2 , ̂σ 2 )

hvor y 1 og y 2 er gennemsnittene i de to grupper, og

̂σ 2 = 1 n

2∑ ∑n i

(y ij − y i ) 2

i=1 j=1

(også her er n = n 1 + n 2 ). Ofte anvender man ikke ̂σ 2 som estimat over

σ 2 , men derimod

s 2 0 =

1

n − 2

2∑ ∑n i

(y ij − y i ) 2 .

i=1 j=1

Nævneren n − 2, antallet af frihedsgrader, bevirker at estimatoren bliver

central; det fremgår at nedenstående sætning der er et specialtilfælde af

sætning 7.1 side 81, jf. også afsnit 7.3.

Sætning 3.2

Antag at de stokastiske variable X ij er indbyrdes uafhængige normalfordelte

med samme varians σ 2 og med E X ij = µ i , j = 1, 2, . . . , n i , i = 1, 2.

Så gælder

1. De stokastiske variable X i = 1 ∑n i

X ij , i = 1, 2, er normalfordelte

n i

j=1

med middelværdi µ i og varians σ 2 /n i .

2. Den stokastiske variabel s 2 0 =

1

n − 2

i=1 j=1

2∑ ∑n i

(X ij − X i ) 2 er gammafordelt

med formparameter f/2 og skalaparameter 2σ 2 /f hvor

f = n − 2 og n = n 1 + n 2 , eller sagt på en anden måde: f/σ 2 · s 2 0

er χ 2 -fordelt med f frihedsgrader.

Heraf følger blandt andet at E s 2 0 = σ 2 .

3. De tre stokastiske variable X 1 , X 2 og s 2 0 er stokastisk uafhængige.

Supplerende bemærkninger:

◦ Antallet af frihedsgrader for variansskønnet s 2 0 er antal observationer

minus antal estimerede middelværdiparametre.

More magazines by this user
Similar magazines