Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

3.2 Eksempler 29

idet de øvrige to dobbelte produkter fra kvadreringen af den treleddede

størrelse summerer til 0. Ved omskrivningen har vi opnået at α kun optræder

i det sidste led, og dette antager sin mindsteværdi 0 netop når

α = y − βx. De resterende led udgør en andengradsfunktion af β, og

denne funktion ∑ antager sit minimum når differentialkvotienten er 0, dvs.

(xi − x)(y i − y)

når β = ∑ (xi − x) 2 . Konklusionen bliver således at maksimaliseringsestimaterne

er

̂β =

n∑

(x i − x)(y i − y)

i=1

n∑

(x i − x) 2

i=1

̂α = y − ̂βx.

(Det er her forudsat at ∑ (x i − x) 2 ikke er 0, dvs. at ikke alle x’erne

er ens. – Hvis alle x’erne er ens, har det næppe nogen mening at prøve

at estimere en funktion der skal vise hvordan y afhænger af x.) – Den

estimerede regressionslinje er (den linje hvis ligning er)

y = ̂α + ̂βx.

Den værdi af σ 2 der maksimaliserer log-likelihoodfunktionen, er

̂σ 2 = 1 n

n∑

(y i − (̂α + ̂βx i )) 2 .

i=1

Som oftest angiver man dog i stedet det centrale variansestimat

s 2 02 =

1

n − 2

n∑

(y i − (̂α + ̂βx i )) 2 .

i=1

der har n − 2 frihedsgrader. Med betegnelsen SS x =

n∑

(x i − x) 2 gælder

følgende om estimatorernes fordeling (jf. sætning 7.1 side 81 og afsnit

7.6):

Sætning 3.3

1. Estimatoren ̂β er normalfordelt med middelværdi β og varians σ 2 /SS x .

2. a) Estimatoren ̂α er normalfordelt med middelværdi α og varians

σ 2 (

1

n + x2

SS x

).

b) Estimatorerne

/√

̂α og ̂β er korrelerede; korrelationen mellem

dem er −1 1 + SS nx 2 x .

i=1

More magazines by this user
Similar magazines