Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

36 Hypoteseprøvning

Eksempel 4.1 (Rismelsbiller I)

⊳ [Fortsat fra eksempel 3.1 side 22.]

Antag at det i rismelsbilleeksemplet er sådan ∗ at man har en referencegift

hvorom man véd at når man doserer den på samme måde som den afprøvede

gift, så dør 23% af billerne. Spørgsmålet er om den afprøvede gift virker på

samme måde som referencegiften. I forhold til den statistiske model svarer

dette spørgsmål til den statistiske hypotese H 0 : θ = 0.23.

Når n = 144 og θ 0 = 0.23, bliver nθ 0 „ = 33.12 og n−nθ 0 = 110.88, så −2«

ln Q

y

144 − y

som funktion af y er −2 ln Q(y) = 2 y ln + (144 − y) ln og

33.12 110.88

dermed −2 ln Q obs = −2 ln Q(43) = 3.60. Den eksakte testsandsynlighed er

ε = P 0(−2 ln Q(Y ) ≥ 3.60)

!

X 144

=

0.23 y 0.77 144−y .

y

y : −2 ln Q(y)≥3.60

Ved almindelig udregning finder man at uligheden −2 ln Q(y) ≥ 3.60 er opfyldt

for y = 0, 1, 2, . . . , 23 og for y = 43, 44, 45, . . . , 144. Videre finder man at

P 0(Y ≤ 23) = 0.0249, og at P 0(Y ≥ 43) = 0.0344, så ε = 0.0249 + 0.0344 =

0.0593.

Hvis man vil slippe for en del af regneriet, kan man benytte χ 2 -approksimationen

til fordelingen af −2 ln Q for at finde testsandsynligheden; vi skal

anvende χ 2 -fordelingen med 1−0 = 1 frihedsgrad: grundmodellen har 1 ukendt

parameter, og under hypotesen er der 0 ukendte parametre. I en tabel over

fraktiler i χ 2 -fordelingen med 1 frihedsgrad (se f.eks. side 118) finder man at

90%-fraktilen er 2.71 og 95%-fraktilen 3.84, så der er et sted mellem 5% og

10% sandsynlighed for at få værdier større end 3.60; computeren siger at i

χ 2 -fordelingen med 1 frihedsgrad er der en sandsynlighed på 5.78% for at få

værdier større end 3.60, altså ganske tæt på den eksakte værdi.

Da testsandsynligheden er over 5%, vil man – hvis man bruger den sædvanlige

tommelfingerregel med et 5% signifikansniveau – ikke kunne afvise hypotesen,

dvs. de foreliggende observationer er ikke i modstrid med hypotesen om

at giften virker på samme måde som referencegiften.

Sammenligning af binomialfordelinger

⊳ [Fortsat fra side 22.]

Antag at man ønsker at undersøge om det kan antages at s forskellige binomialfordelinger

har samme sandsynlighedsparameter. Dette formuleres

som den statistiske hypotese H 0 : θ 1 = θ 2 = . . . = θ s , eller lidt mere præcist

som H 0 : θ ∈ Θ 0 hvor θ = (θ 1 , θ 2 , . . . , θ s ) og hvor parameterrummet

er Θ 0 = {θ ∈ [ 0 ; 1 ] s : θ 1 = θ 2 = . . . = θ s }.

For at teste H 0 skal vi først finde maksimaliseringsestimatoren under

H 0 , dvs. vi skal finde maksimumspunktet for restriktionen af ln L til Θ 0 .

Log-likelihoodfunktionen er givet ved formel (3.1) (side 22), og når alle


– men det er det ikke; denne del af eksemplet er opdigtet til lejligheden.

More magazines by this user
Similar magazines