Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

4.2 Eksempler 37

θ’erne er ens, har vi

ln L(θ, θ, . . . , θ) = konst +

s∑ (

yj ln θ + (n j − y j ) ln(1 − θ) )

j=1

= konst + y ln θ + (n − y ) ln(1 − θ)

der antager sit maksimum i punktet ̂θ = y /n ; her er y = y 1 +y 2 +. . .+y s

og n = n 1 + n 2 + . . . + n s . Derfor bliver kvotientteststørrelsen

og

−2 ln Q = 2

= 2

Q =

(

s∑

j=1

s∑

j=1

L(̂θ, ̂θ, . . . , ̂θ)

L(̂θ 1 , ̂θ 2 , . . . , ̂θ s )

y j ln ̂θ ĵθ

+ (n j − y j ) ln 1 − ̂θ j

1 − ̂θ

)

(

y j ln y j

+ (n j − y j ) ln n )

j − y j

ŷ j n j − ŷ j

(4.2)

hvor ŷ j = n j ̂θ er det »forventede« antal gunstige i gruppe j under H0 ,

altså når grupperne har samme sandsynlighedsparameter. Det sidste udtryk

for −2 ln Q viser hvordan teststørrelsen sammenligner de observerede

antal gunstige hhv. ugunstige (dvs. y 1 , y 2 , . . . , y s og n 1 − y 1 , n 2 −

y 2 , . . . , n s − y s ) med de »forventede« antal gunstige hhv. ugunstige (dvs.

ŷ 1 , ŷ 2 , . . . , ŷ s og n 1 − ŷ 1 , n 2 − ŷ 2 , . . . , n s − ŷ s ). Testsandsynligheden er

ε = P 0 (−2 ln Q ≥ −2 ln Q obs )

hvor fodtegnet 0 på P angiver at sandsynligheden skal udregnes under

antagelse af at hypotesen er rigtig. † I givet fald er −2 ln Q asymptotisk χ 2 -

fordelt med s − 1 frihedsgrader. Som tommelfingerregel kan man benytte

χ 2 -approksimationen når alle de 2s »forventede« antal er 5 eller derover.

Eksempel 4.2 (Rismelsbiller II)

⊳ [Fortsat fra eksempel 3.2 side 22.]

Formålet med undersøgelsen er at finde ud af om giften virker forskelligt i

forskellige koncentrationer. Det gøres på den måde at man ser efter om tallene

tyder på at man kan tillade sig at antage at der ikke er forskel på virkningerne

af de forskellige koncentrationer. Det svarer i modellens termer til at teste den

statistiske hypotese

H 0 : θ 1 = θ 2 = θ 3 = θ 4.

For at gøre det skal vi først udregne estimatet over den af H 0 postulerede fælles

parameterværdi; det er b θ fælles = y /n = 188/317 = 0.59.

† Dette er ikke helt så uskyldigt som det måske kunne se ud til, for selv når hypotesen

er rigtig, er der stadig en ukendt parameter inde i billedet, nemlig den fælles værdi

af θ’erne.

More magazines by this user
Similar magazines