Noter til E6 - dirac

38 Hypoteseprøvning
Tabel 4.1 Rismelsbillers overlevelse ved forskellige giftdoser: forventede antal
hvis giften virker på samme måde for alle fire koncentrationer.
koncentration
0.20 0.32 0.50 0.80
antal døde 85.4 40.9 32.0 29.7
antal ikke døde 58.6 28.1 22.0 20.3
i alt 144 69 54 50
Derefter udregner vi de »forventede« antal by j = n j
b θ og nj −by j og får tallene
i tabel 4.1. Kvotientteststørrelsen −2 ln Q (formel (4.2)) sammenligner nu disse
tal med de observerede antal (tabel 2.2 side 9):
−2 ln Q obs = 2 ` 43 ln 43 50 47 48
+ 50 ln + 47 ln + 48 ln
85.4 40.9 32.0 29.7
101 ln 101 19
+ 19 ln
58.6 28.1 + 7 ln 7
22.0 + 2 ln 2 ´
20.3
= 113.1.
Grundmodellen har fire ukendte parametre, og hvis H 0 er rigtig, er der én
ukendt parameter, så −2 ln Q-værdien skal sammenlignes med χ 2 -fordelingen
med 4 − 1 = 3 frihedsgrader. I denne fordeling er 99.9%-fraktilen lig 16.27 (se
f.eks. tabellen side 118), så der er langt under 0.01% sandsynlighed for at få en
værre −2 ln Q-værdi hvis hypotesen er rigtig. På den baggrund må vi forkaste
hypotesen og dermed konkludere at der er signifikant forskel på virkningen af
de fire giftkoncentrationer.
Multinomialfordelingen
⊳ [Fortsat fra side 23.]
Det kan ske at den faglige problemstilling siger at sandsynlighedsparameteren
θ i virkeligheden kun kan variere i en vis delmængde Θ 0 af
parameterrummet. Hvis Θ 0 er en differentiabel kurve eller flade, så er
problemet »pænt« set fra den matematiske statistiks synspunkt.
Eksempel 4.3 (Torsk i Østersøen)
⊳ [Fortsat fra eksempel 3.3 side 24.]
Ved simple ræsonnementer – som dog er af mindre interesse i nærværende
sammenhæng – kan man vise at hvis torskene parrer sig med tilfældigt uden
hensyntagen til genotype, og hvis populationen er lukket og i ligevægt, så vil de
tre genotyper optræde med sandsynlighederne θ 1 = β 2 , θ 2 = 2β(1 − β) og θ 3 =
(1−β) 2 hvor β er brøkdelen af A-gener i populationen (β er sandsynligheden for
at et tilfældigt valgt gen er A.) – Denne situation omtales som Hardy-Weinberg
ligevægt.
Man kan nu undersøge om de foreliggende observationer tyder på at de tre
torskepopulationer hver især er i Hardy-Weinberg ligevægt; her indskrænker