Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

40 Hypoteseprøvning

hvor by 1 = 69 · bβ 2 = 25.6, by 2 = 69 · 2 b β(1 − b β) = 32.9 og by 3 = 69 · (1 − b β) 2 = 10.6

er de »forventede« antal under H 0.

I grundmodellen er der 2 frie parametre (der er tre θ’er, men de summerer

til 1); under H 0 er der 1 fri parameter, nemlig β; derfor får −2 ln Q et antal

frihedsgrader på 2 − 1 = 1.

Man finder at −2 ln Q = 0.52, der med 1 frihedgrad svarer til en testsandsynlighed

på ca. 47%, så man kan sagtens antage at torskebestanden ved Lolland

er i Hardy-Weinberg ligevægt.

Enstikprøveproblemet i normalfordelingen

⊳ [Fortsat fra side 25.]

Antag at man ønsker at teste en hypotese om at middelværdien i normalfordelingen

har en bestemt værdi; i det formelle sprog bliver det til at

man ønsker at teste hypotesen H 0 : µ = µ 0 . Under H 0 er der en enkelt

ukendt parameter, nemlig σ 2 . Maksimaliseringsestimatet for σ 2 under H 0

findes som maksimumspunktet for log-likelihoodfunktionen (2.3) der nu

opfattes som en funktion af σ 2 alene (idet µ fixeres til µ 0 ), altså

ln L(µ 0 , σ 2 ) = konst − n 2 ln(σ2 ) − 1

2σ 2

der antager sit maksimum når σ 2 har værdien ̂σ 2

Kvotientteststørrelsen er Q = L(µ 0, ̂σ 2 )

L(̂µ, ̂σ 2 )

hvor

n


j=1

(y j − µ 0 ) 2

= 1 n

n∑

(y j − µ 0 ) 2 .

j=1

. Standardomskrivninger giver

(

)

−2 ln Q = 2 ln L(y, ̂σ 2 ) − ln L(µ 0 , ̂σ 2 )

)

= n ln

(1 + t2

n − 1

t = y − µ 0


s2 /n . (4.3)

Hypotesen forkastes for store værdier af −2 ln Q, dvs. for store værdier

af |t|.

Som bekendt er standardafvigelsen på Y lig √ σ 2 /n, så t-teststørrelsen

kan siges at måle forskellen mellem y og µ 0 i forhold til den estimerede

standardafvigelse på Y . Kvotienttestet er altså ækvivalent med et

test udført på en teststørrelse (t) der er »umiddelbart forståelig«.

Testsandsynligheden kan udregnes som ε = P 0 (|t| > |t obs |). Om fordelingen

af t under H 0 gælder

More magazines by this user
Similar magazines