Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

4.2 Eksempler 41

Sætning 4.1

Antag at X 1 , X 2 , . . . , X n er indbyrdes uafhængige identisk normalfordelte

stokastiske variable med middelværdi µ 0 og varians σ 2 , og sæt X =

1

n

n∑

i=1

X i og s 2 = 1

n − 1

n∑ (

Xi − X ) 2

. Så følger den stokastiske variabel

i=1

t = X − µ 0


s2 /n

t-fordelingen.

t-fordelingen med f frihedsgrader

er den kontinuerte fordeling

som har tæthedsfunktion

1 Γ( f+1

2

√ ) „

πf Γ( f 2 ) 1 + x2

f

« −

f+1

2

,

en t-fordeling med n − 1 frihedsgrader.

Supplerende bemærkninger:

◦ Det er en særlig – og væsentlig – pointe at fordelingen af t under H 0

ikke afhænger af den ukendte parameter σ 2 (og heller ikke af µ 0 ).

Endvidere er t en dimensionsløs størrelse ( – det bør teststørrelser

altid være). Se også opgave 4.1.

◦ t-fordelingen er symmetrisk omkring 0, og testsandsynligheden kan

derfor udregnes som P(|t| > |t obs |) = 2 P(t > |t obs |).

I visse situationer kan man argumentere for det fornuftige i kun

at forkaste hypotesen hvis t er stor og positiv (svarende til at y er

større end µ 0 ); det kan for eksempel komme på tale hvis man på

forhånd kan sige at hvis ikke µ = µ 0 , så er µ > µ 0 . I så fald skal

testsandsynligheden udregnes som ε = P(t > |t obs |).

Tilsvarende, hvis man kun vil forkaste hypotesen når t er stor og

negativ, skal testsandsynligheden udregnes som ε = P(t < −|t obs |).

Et t-test der forkaster hypotesen når |t| er stor, kaldes et tosidet

t-test, og et test der forkaster hypotesen når t er stor og positiv

[eller stor og negativ], kaldes et ensidet test.

◦ Fraktiler i t-fordelingen fås ud af computeren eller fra et statistisk

tabelværk, se også side 124.

Da fordelingen er symmetrisk om 0, vil tabelværkerne ofte kun

indeholde fraktiler for sandsynligheder større end 0.5

◦ t-teststørrelsen kaldes undertiden for Student’s t til ære for W.S. Gosset

der i 1908 publicerede den første artikel om t-testet, og som

skrev under pseudonymet Student.

◦ Se også afsnit 7.2.

Eksempel 4.4 (Lysets hastighed)

⊳ [Fortsat fra eksempel 3.5 side 26.]

I vore dage er en meter pr. definition den strækning som lyset i vakuum gennemløber

på 1/299 792 458 sekund, så lyset har den kendte hastighed 299 792 458

meter pr. sekund, og det vil derfor bruge τ 0 = 2.48238 × 10 −5 sekunder på at

tilbagelægge en strækning på 7442 meter. Størrelsen τ 0 svarer til en tabelværdi

på ((τ 0 × 10 6 ) − 24.8) × 10 3 = 23.8, så det ville være interessant at undersøge

om de foreliggende data er forenelige med hypotesen om at den ukendte middelværdi

µ har værdien µ 0 = 23.8. Vi vil derfor teste den statistiske hypotese

H 0 : µ = 23.8.

x ∈ R.

William Sealy Gosset, 1876-

1937.

Brygger ved Guinness-bryggeriet

i Dublin, med interesser (og

evner) for den nye statistiske

videnskab. Han opfandt t-testet

i forbindelse med kvalitetskontrolproblemer

i bryggeprocessen,

og fandt fordelingen af

t-teststørrelsen (1908).

Han publicerede sine statistiske

arbejder under pseudonymet

Student, fordi bryggeriet ikke

ønskede at reklamere alt for

meget med at dets medarbejdere

beskæftigede sig med så

suspekte emner som statistik.

More magazines by this user
Similar magazines