Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

58 Nogle eksempler

Vi vil derfor i første omgang teste den statistiske hypotese

H 0 : λ ij = α i β j

hvor α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 , α 6 , β 1 , β 2 , β 3 , β 4 er ukendte parametre. (Mere

udførligt lyder hypotesen: Der findes parametre α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 , α 6 ,

β 1 , β 2 , β 3 , β 4 således at der for by j og aldersgruppe i gælder at lungekræftrisikoen

λ ij fås som λ ij = α i β j . – Hypotesen H 0 specificerer en

multiplikativ model, fordi aldersparametre og byparametre indgår multiplikativt.

En detalje vedrørende parametriseringen

Der er det særlige ved parametriseringen af modellen under H 0 at den

ikke er injektiv: den afbildning fra R 10

+ til R 24 der afbilder talsættet

(α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 , α 6 , β 1 , β 2 , β 3 , β 4 ) over i talsættet (α i β j ) i=1...6; j=1...4

er ikke injektiv, men billedmængden er faktisk kun en 9-dimensional flade.

(Man overbeviser sig let om at α i β j = αi ∗ β∗ j for alle i og j, hvis og kun

hvis der findes et c > 0 således at α i = c αi ∗ for alle i og βj ∗ = c β j for

alle j.)

De 10 parametre skal derfor pålægges ét bånd for at få en injektiv parametrisering.

Et sådant bånd kan være at α 1 = 1, eller at α 1 , α 2 , . . . , α 6 =

1, eller at α 1 α 2 . . . α 6 = 1, eller det tilsvarende for β, osv. I det aktuelle

eksempel vil vi benytte betingelsen β 1 = 1, dvs. vi fixerer Fredericia-parameteren

til 1. Modellen indeholder herefter ni ukendte parametre.

Estimation i den multiplikative model

I den multiplikative model lader det sig ikke gøre at opskrive eksplicitte

udtryk for estimaterne, man er henvist til i de konkrete tilfælde at benytte

numeriske metoder, f.eks. i form af hensigtsmæssige computerprogrammer.

I grundmodellen er likelihoodfunktionen

L =

6∏

i=1 j=1

= konst ·

4∏ (λ ij r ij ) yij

exp(−λ ij r ij )

y ij !

6∏

4∏

i=1 j=1

λ yij

ij exp(−λ ijr ij ).

Når man maksimaliserer med hensyn til λ ij -erne, får man (som allerede

nævnt) at maksimaliseringsestimaterne i grundmodellen er ̂λ ij = y ij /r ij .

Når vi i udtrykket for L erstatter λ ij med α i β j , får vi likelihoodfunktionen

L 0 under H 0 :

L 0 = konst ·

6∏

4∏

i=1 j=1

α yij

i β yij

j exp(−α i β j r ij )

More magazines by this user
Similar magazines