Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

5.3 Ulykker på en granatfabrik 67

Om teststørrelser

Læseren vil måske have bemærket visse fælles træk ved de −2 ln Q-udtryk

der forekommer i dette kapitel. De er alle af formen

−2 ln Q = 2 ∑ Modellens forventede antal

obs.antal · ln

Hypotesens forventede antal

og er (tilnærmelsesvis) χ 2 -fordelt med et antal frihedsgrader som er »det

reelle antal parametre under modellen« minus »det reelle antal parametre

under hypotesen«. Dette gælder faktisk helt generelt når man tester

hypoteser om Poissonfordelte observationer (dog under forudsætning af

at summen af de forventede antal er lig summen af de observerede antal).

5.3 Ulykker på en granatfabrik

I dette eksempel virker det oplagt at forsøge sig med en Poissonfordelingsmodel.

Det viser sig imidlertid at den ikke passer særlig godt, så man må

finde på noget andet.

Situationen

Man har undersøgt hvor mange ulykkestilfælde hver enkelt arbejder på

en granatfabrik i England kom ud for i løbet af en fem ugers periode.

Det hele foregik under første verdenskrig, så de pågældende arbejdere

var kvinder (mens mændene var soldater). I tabel 5.11 ses fordelingen af

n = 647 kvinder efter antallet y af ulykkestilfælde i en fem ugers periode. 6

Man søger en statistisk model der kan beskrive dette talmateriale.

Lad y i betegne antal ulykker som kvinde nr. i kommer ud for; y i tænkes

at være en observation af en stokastisk variabel Y i , i = 1, 2, . . . , n. Vi

går ud fra at de stokastiske variable Y 1 , Y 2 , . . . , Y n er indbyrdes uafhængige

(men det er måske en lidt diskutabel antagelse).

Vi indfører betegnelsen f y for antallet af kvinder der har været ude for

netop y ulykker, dvs. i det foreliggende tilfælde er f 0 = 447, f 1 = 132 osv.

∞∑

Det samlede antal ulykker er da lig 0f 0 + 1f + 2f 2 + . . . = yf y = 301.

Model 1

I første omgang kan man forsøge sig med en model hvor Y 1 , Y 2 , . . . , Y n er

uafhængige og identisk Poissonfordelte med parameter µ, dvs.

P(Y i = y) = µy

y! exp(−µ).

Poissonfordelingen kommer ind i billedet ud fra en forestilling om at ulykkerne

sker »helt tilfældigt«, og man kan sige at parameteren µ beskriver

kvindernes »ulykkestilbøjelighed«.

y=0

More magazines by this user
Similar magazines