Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

2 Den statistiske model

Vi vil først give en forholdsvis abstrakt præsentation af begrebet en

statistisk model og nogle af de tilhørende begrebdannelser, sidenhen kommer

en række illustrative eksempler.

Der foreligger en observation x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) som antages at være

en observeret værdi af en stokastisk variabel X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) med

værdier i observationsrummet X; mængden X er ofte R n eller N n 0 .

For hver værdi af en parameter θ tilhørende parameterrummet Θ

har man et sandsynlighedsmål P θ på X. Disse P θ ’er er alle sammen

kandidater til at være X’s fordeling, og for (mindst) én værdi θ er det

rigtigt at X’s fordeling er P θ . – Udsagnet »x er en observeret værdi af

den stokastiske variabel X, og for mindst én værdi af θ ∈ Θ er det rigtigt

at fordelingen af X er P θ « er (en formulering af) den statistiske model.

Modelfunktionen er en funktion f : X × Θ → [ 0 ; +∞ [ sådan at for

hvert fast θ ∈ Θ er funktionen x ↦→ f(x, θ) den sandsynligheds(tætheds)-

funktion som X har hvis θ er den rigtige værdi af parameteren.

Likelihoodfunktionen svarende til x er funktionen L : Θ → [ 0 ; +∞ [

givet ved L(θ) = f(x, θ). – Likelihoodfunktionen kommer til at spille en

central rolle i forbindelse med teorien for estimation af parametre og test

af statistiske hypoteser.

Hvis man kan skrive likelihoodfunktionen som L(θ) = g(x) h(t(x), θ)

for passende valgte funktioner g, h og t, så siges t at være sufficient

(eller at give en sufficient datareduktion). – Sufficiensbegrebet er især

interessant når t afbilder ind i et rum af meget mindre dimension end X,

typisk R eller R 2 .

Bemærkninger:

1. Parametre betegnes ofte med græske bogstaver.

2. Parameterrummet Θ er normalt af meget mindre dimension end

observationsrummet X.

3. Man vil sædvanligvis tilstræbe at parametriseringen er injektiv, dvs.

at afbildningen θ ↦→ P θ er injektiv.

4. Likelihoodfunktionen skal ikke summere eller integrere til 1.

5. Man opererer ofte med log-likelihoodfunktionen, dvs. logaritmen til

likelihoodfunktionen. Man benytter som regel den naturlige logaritme.

5

More magazines by this user
Similar magazines