Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

5.3 Ulykker på en granatfabrik 69

f y


400

300

200

100

0


0 1 2 3 4 5 6+ y

Figur 5.7 Model 1: Observerede antal (sorte søjler) og forventede antal (hvide

søjler) fra tabel 5.12.

derved kunne man få et perfekt fit (med ̂µ i = y i , i = 1, 2, . . . , n),

men man ville i høj grad være i strid med Fisher’s maksime om at

statistikkens formål er datareduktion (side 4). Men der endnu et

trin i modelopbygningen:

◦ Det antages endvidere at µ 1 , µ 2 , . . . , µ n er uafhængige observationer

fra en og samme sandsynlighedsfordeling. Denne sandsynlighedsfordeling

skal være en kontinuert fordeling på den positive halvakse,

og det viser sig bekvemt at benytte en gammafordeling med, lad os

sige, formparameter κ og skalaparameter β, altså med en tæthedsfunktion

g(µ) =

1

Γ(κ)β κ µκ−1 exp(−µ/β), µ > 0.

◦ Den betingede sandsynlighed for at en kvinde kommer ud for netop

y ulykker givet at hun har et bestemt µ, er µy

exp(−µ). Den ubetingede

sandsynlighed fås ved at blande de betingede sandsynligheder

y!

med hensyn til µ’s fordeling, altså

P(Y = y) =

=

=

=

∫ +∞

0

∫ +∞

µ y

µ y

exp(−µ) · g(µ) dµ

y!

0 y! exp(−µ) 1

Γ(κ)β κ µκ−1 exp(−µ/β) dµ

( ) κ ( ) y

Γ(y + κ) 1 β

y! Γ(κ) β + 1 β + 1

Γ(y + κ)

y! Γ(κ) pκ (1 − p) y ,

More magazines by this user
Similar magazines