Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

6.2 Definition og egenskaber 75

6.2 Definition og egenskaber

I dette afsnit skal vi indføre den flerdimensionale normalfordeling og vise

at hvis X er n-dimensionalt normalfordelt med parametre µ og Σ, og

hvis A er en p×n-matrix og b en p×1-matrix, så er AX+b p-dimensionalt

normalfordelt med parametre Aµ + b og AΣA ′ .

Det er imidlertid ikke helt trivielt at definere den n-dimensionale normalfordeling

med parametre µ og Σ i det tilfælde hvor Σ ikke er regulær.

Derfor går vi frem i en række skridt.

Definition 6.1 (Standardnormalfordeling)

Den n-dimensionale standardnormalfordeling er den n-dimensionale kontinuerte

fordeling som har tæthedsfunktion

f(x) =

1

(2π) n/2 exp( − 1 2 ‖x‖2) , x ∈ R n .

Bemærkninger til definitionen:

1. Den endimensionale standardnormalfordeling er det samme som

den sædvanlige (endimensionale) normalfordeling med middelværdi

0 og varians 1.

⎡ ⎤

X 1

X 2

2. Den n-dimensionale stokastiske variabel X = ⎢ ⎥ er n-dimensionalt

standardnormalfordelt, hvis og kun hvis X 1 , X 2 , . . . , X n er

⎣ . ⎦

X n

uafhængige og endimensionalt standardnormalfordelte. Det følger

af at

1

(2π) n/2 exp( − 1 2 ‖x‖2) =

n∏

i=1

1



e − 1 2 x2 i .

3. Hvis X er standardnormalfordelt, så er E X = 0 og Var X = I.

(Det følger af punkt 2.)

Sætning 6.2

Hvis A er en isometrisk lineær afbildning af R n ind i sig selv, og hvis X

er n-dimensionalt standardnormalfordelt, så bliver AX igen n-dimensionalt

standardnormalfordelt.

Bevis

Ifølge sætningen om transformation af tætheder (sætning 4.5 i Del 1)

har Y = AX tæthedsfunktionen f(A −1 y) | det A −1 | hvor f er som i

definition 6.1. Da f kun afhænger af x gennem ‖x‖, og da ‖A −1 y‖ = ‖y‖

fordi A er en isometri, er f(A −1 y) = f(y); desuden er det A = 1, igen

fordi A er en isometri. Altså er f(A −1 y) | det A −1 | = f(y).

More magazines by this user
Similar magazines