Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

76 Den flerdimensionale normalfordeling

Korollar 6.3

Hvis X er n-dimensionalt standardnormalfordelt og e 1 , e 2 , . . . , e n er en

ortonormalbasis for R n , så er X’s koordinater X 1 , X 2 , . . . , X n i denne

basis uafhængige og endimensionalt standardnormalfordelte.

Koordinaterne for X i basen e 1 , e 2 , . . . , e n er som bekendt X i = 〈X, e i 〉,

i = 1, 2, . . . , n,

Bevis

Da koordinattransformationsmatricen er en isometri, følger påstanden af

sætning 6.2 og bemærkning 2 til definition 6.1.

Definition 6.2 (Regulær normalfordeling)

Antag at µ ∈ R n og at Σ er en positivt definit lineær afbildning af R n

ind i sig selv (eller at µ er en n-dimensional søjlevektor og Σ en positivt

definit n × n-matrix).

Den n-dimensionale regulære normalfordeling med middelværdi µ og

varians Σ er den n-dimensionale kontinuerte fordeling hvis tæthedsfunktion

er

f(x) =

1

(2π) n/2 | det Σ| 1/2 exp( − 1 2 (x − µ)′ Σ −1 (x − µ) ) , x ∈ R n .

Bemærkninger:

1. For n = 1 fås den sædvanlige (endimensionale) normalfordeling

med middelværdi µ og varians σ 2 (= det enlige element i Σ).

2. Hvis Σ = σ 2 I, reducerer tæthedsfunktionen til

1

)

f(x) =

(−

(2πσ 2 ) exp 1 ‖x−µ‖ 2

n/2 2 σ

, x ∈ R n .

2

Med andre ord er X n-dimensionalt regulært normalfordelt med

parametre µ og σ 2 I, hvis og kun hvis X 1 , X 2 , . . . , X n er uafhængige

og endimensionalt normalfordelte sådan at X i har middelværdi µ i

og varians σ 2 .

3. Definitionen omtaler rask væk parametrene µ og Σ som middelværdi

og varians. Strengt taget burde man i første omgang have

givet dem nogle neutrale navne og sidenhen vise at de faktisk er

henholdsvis middelværdi og varians.

Man kan vise at de faktisk er middelværdi og varians på følgende

måde: I tilfældet µ = 0 og Σ = I er påstanden rigtig ifølge bemærkning

3 til definition 6.1. I det generelle tilfælde ser vi på

X = µ + Σ 1/2 U, hvor U er n-dimensionalt standardnormalfordelt

og Σ 1/2 er som i sætning B.5 side 115 (med A = Σ). Ifølge nedenstående

sætning 6.4 er X regulært normalfordelt med parametre µ

og Σ, og ifølge sætning 6.1 er E X = µ og Var X = Σ.

More magazines by this user
Similar magazines