Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

6.2 Definition og egenskaber 77

Sætning 6.4

Hvis X er n-dimensionalt regulært normalfordelt med parametre µ og Σ,

hvis b ∈ R n er en konstant, og hvis A er er en bijektiv lineær afbildning

af R n ind i sig selv, så er Y = AX + b n-dimensionalt regulært

normalfordelt med parametre Aµ + b og AΣA ′ .

Bevis

Ifølge sætningen om transformation af tætheder (sætning 4.5 i Del 1) har

Y = AX + b tæthedsfunktionen

f Y (y) = f(A −1 (y − b)) | det A −1 |

hvor f er som i definition 6.2. Ved almindelig udregning fås dette til

f Y (y)

=

=

som ønsket.

1

1

(2π) n/2 | det Σ| 1/2 | det A| e− 2(A −1 (y−b)−µ) ′ Σ −1 (A −1 (y−b)−µ)

1

(2π) n/2 | det(AΣA ′ )| 1/2 e− 1 2 (y−(Aµ+b))′ (AΣA ′ ) −1 (y−(Aµ+b))

Eksempel 6.2

» –

X1

Lad os prøve med et simpelt eksempel med n = 2. Antag at X =

X 2

» –

µ1

er todimensionalt normalfordelt med parametre µ = og Σ = σ 2 I =

µ 2

» –

» – » –

1 0

σ 2 Y1 X1 + X 2

. Vi vil finde fordelingen af =

, dvs. Y = AX hvor

0 1

Y 2 X 1 − X 2

» – 1 1

A = .

1 −1

» –

µ1 + µ 2

Ifølge sætning 6.4 er Y todimensionalt normalfordelt med E Y =

µ 1 − µ 2

og varians σ 2 AA ′ = 2σ 2 I, dvs. X 1 + X 2 og X 1 − X 2 er uafhængige og normalfordelte

med middelværdi hhv. µ 1 + µ 2 og µ 1 − µ 2 og med samme varians

2σ 2 .

Vi vil definere den generelle n-dimensionale normalfordeling på følgende

måde:

Definition 6.3 (Den n-dimensionale normalfordeling)

Antag at µ ∈ R n og at Σ er en positivt semidefinit lineær afbildning af

R n ind i sig selv (eller µ er en n-dimensional søjlevektor og Σ en positivt

semidefinit n × n-matrix). Lad p betegne rangen af Σ.

Den n-dimensionale normalfordeling med middelværdi µ og varians Σ

er fordelingen af µ+BU hvor U er p-dimensionalt standardnormalfordelt

og B er en injektiv lineær afbildning af R p ind i R n sådan at BB ′ = Σ.

More magazines by this user
Similar magazines