Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

6 Den statistiske model

Punkt-notationen

Hvis man har nogle indicerede

værdier, f.eks. a 1 , a 2 , . . . , a n,

bruger man som betegnelse for

summen af dem det samme

symbol, men med et punkt på

indexets plads:

nX

a = a i

i=1

Tilsvarende hvis der er mere

end et index:

og

b i = X j

b j = X i

b ij

b ij

Lidt mere notation:

1. Undertiden har vi brug for at præcisere at L er likelihoodfunktionen

hørende netop til x, og så vil vi skrive L(θ; x).

2. Symbolerne E θ og Var θ bruges når der er grund til at præcisere at

middelværdien hhv. variansen udregnes med hensyn til den sandsynlighedsfordeling

der svarer til parameterværdien θ, dvs. med

hensyn til P θ .

2.1 Eksempler

Enstikprøveproblemet for 01-variable

I den generelle formulering af enstikprøveproblemet for 01-variable har

man en observation x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) der antages at være en observeret

værdi af en stokastisk variabel X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) med værdier

i X = {0, 1} n . De enkelte X’er antages at være uafhængige identisk fordelte

01-variable, og P(X i = 1) = θ hvor θ er den ukendte parameter.

Parameterrummet er Θ = [ 0 ; 1 ]. Modelfunktionen er

f(x, θ) = θ x (1 − θ) n−x , (x, θ) ∈ X × Θ,

og likelihoodfunktionen er

L(θ) = θ x (1 − θ) n−x , θ ∈ Θ.

Som det ses, afhænger likelihoodfunktionen kun af x gennem x , dvs. x

er sufficient, eller mere præcist: funktionen der afbilder x over i x , er

sufficient.

⊲ [Læs fortsættelsen side 21.]

Eksempel 2.1

Lad os sige at man har udført 7 gentagelser af et forsøg der har de to mulige

udfald 0 og 1, og at man har opnået værdierne 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0. Vi vil opstille

en statistisk model herfor.

Der foreligger observationen x = (1, 1, 0, 1, 1, 0, 0) som antages at være

en værdi af en 7-dimensional stokastisk variabel X = (X 1, X 2, . . . , X 7) med

værdier i X = {0, 1} 7 . De enkelte X i’er antages at være uafhængige identisk

fordelte 01-variable, og P(X i = 1) = θ hvor θ er den ukendte parameter. Parameterrummet

er Θ = [ 0 ; 1 ]. Modelfunktionen er

f(x, θ) =

7Y

θ x i

(1 − θ) 1−x i

= θ x (1 − θ) 7−x .

i=1

Likelihoodfunktionen svarende til observationen x = (1, 1, 0, 1, 1, 0, 0) er

L(θ) = θ 4 (1 − θ) 3 , θ ∈ [ 0 ; 1 ].

More magazines by this user
Similar magazines